高中数学解题思想方法技巧全集33 导数开门 腾龙起凤_免

1、.数学破题36计第33计 导数开门 腾龙起凤计名释义导数蕴涵着丰富的数学思想和数学文化，它不仅是数学解题的工具，又是一种先进的思维取向.近年高考对导数加大了力度，不仅体现在解题工具上，更着力于思维取向的考查.导数，她像是一条腾跃的龙和开屏的凤，潜移默化地改变着我们思考问题的习惯.数学思想的引领，辨证思想的渗透，帮助着我们确立科学的思维取向.典例示范【例1】 （2005年北京卷）过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 .【分析】 本题中没有给出切线方程，而要我们求切点坐标和切线斜率，似乎太难为我们考生了.但如果想到导数的几何意义，我们不妨一试.【解答】 对于未给定切点的要先求

2、导数，即y=（ex）.设切点为(x0，e)，y=ex，yx= x=e. 则切线方程为y-e=e(x-x0),切线过（0，0）点，0e=e(0-x0)，x0=1，e=e,切点坐标为（1，e),切线斜率为e.【点评】 求导既是一种解题方法，又是一种思维取向，故要求我们将方法与思维并存，表里合一，协调匹配.【例2】 若函数f (x)=loga（x3-ax) （a>0,a1)在区间(，0)内单调递增，则a的取值范围是 ( )A. B. C. D.【解答】 B 设u=x3-ax，则u=3x2-a.当a>1时，f (x)在上单调递增，必须u=3x2-a>0，即a<3x2在上恒成立.

3、又0<3x2<，a0，这与a>1矛盾.当0<a<1时，f (x)在上单调递增，必须u=3x2-a<0，即a>3x2在上恒成立，a且（-）3 -a (-)>0，即a>,故有a<1,故正确答案为B.【点评】 此题是对数型复合函数，因真数含立方，故宜用导数解决.【例3】 已知aR，讨论函数f (x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数.【解答】 f(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x+(2a+1).令f（x)0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.(1)当=(a+2)2-4(2a+1)=a2-

4、4a=a(a-4)>0.即a<0或a>4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0. 有两个不同实根x1，x2，不妨设x1<x2，于是f(x)=ex(x-x1)(x-x2).从而有下表：x（-，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f(x)+0-0+f (x)f (x1)为极大值f (x2)为极小值即此时f (x)有两个极值点.(2)当在=0，即a=0或a= 4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2.于是f(x)=ex(x-x1)2.故当x<x1时，f(x)>0；当x>x2时，f(x)>0.因此f (x)无极值

5、.(3)当<0，即0<a<4时，x2+(a+2)x+(2a+1)>0，f(x)=exx2+(a+2)x+(2a+1)>0，故f (x)为增函数，此时f (x)无极值.因此 当a>4或a<0时，f (x)有2个极值点，当0a4时，f (x)无极值点.【点评】 此题虽不是求极值，但确定极值点个数实际上还是考查极值，解答时最好列表分析，便于确定极值点的个数.对应训练1.已知函数f (x)=的图象在点M（-1，f (-1)处的切线方程为x+2y+5=0.(1)求函数y=f (x)的解析式； （2）求函数y=f (x)的单调区间.2.已知函数f (x)=，x0，

6、1.()求f (x)的单调区间和值域；（）设a1，函数g (x)=x3-3a2x-2a，x0，1.若对于任意x10,1，总存在x00,1,使得g (x)=f (x1)成立，求a的取值范围.3.已知a0，函数f (x)=(x2-2ax)ex.()当x为何值时，f x)取得最小值？证明你的结论；（）设f (x)在1，1上是单调函数，求a的取值范围.参考答案1.分析：由已知导出f (-1)=-2，结合f(-1)= -，易求出a、b的值.解析:(1)由函数f (x)的图象在点M(-1，f (-1)处的切线方程为x+2y+5=0，知-1+2f (-1)+5=0，即f (-1)=-2，f(-1)= -.f

7、(x)=，即解得a=2，b=3(b+10，b= -1舍去）.所以所求的函数解析式是f (x)=.(2)f(x)=.令-2x2+12x+6=0，解得x1=3-2，x2=3+2，当x<3-2，或x>3+2时，f(x)<0;当3-2<x<3+2时，f(x)>0. 所以f (x)= 在(-，3-2内是减函数；在（3-2，3+2)内是增函数； 在（32，+)内是减函数.点评：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等知识，考查运用数学知识分析、解决问题的能力.2.解析：()对函数f (x)求导,得f(x)=，令f(x)=0解得x=或x=.当x变化时，f(x)、f (x)的

8、变化情况如下表：x0（0，）（，1）1f(x)+-0+-f(x)-4-3所以，当x(0，)时，f (x)是减函数；当x(，1)时，f (x)是增函数；当x0,1时，f (x)的值域为4，3.()对函数g (x)求导，得g(x)=3(x2-a2).因为a1，当x(0,1)时，g(x)<3(1-a2)0.因此当x(0,1)时，g (x)为减函数，从而当x0,1时有g(x)g(1)，g(0).又g (1)=1-2a-3a2，g(0)= -2a，即当x0,1时有g (x)1-2a-3a2，-2a.任给x10，1，f (x1)-4,-3,存在x00，1使得g(x0)= f (x1)，则1-2a-3

9、a2，-2a-4,-3.即解式得a1或a-； 解式得a.又a1，故a的取值范围为1a.点评：本小题主要考查函数的单调性、值域、集合的包含关系、解不等式基础知识，以及逻辑思维能力、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.3.分析：（)利用导数的性质解决问题.()利用函数f (x)在1，1上是单调函数的充要条件是x21.(x=x2时f (x)取到极小值）解：()对函数f (x)，求导数，得：f(x)=(x2-2ax)ex+(2x-2a)ex=x2+2x(1-a)x-2aex，令f(x)=0，得x2+2(1-a)x-2aex=0，从而x2+2(1-a)x-2a=0.解得x1=a-1-，x2=a-1+，其中x1<x2.当x变化时，f(x)、f (x)的变化如下表x（-，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f(x)+0-0+f(x)极大值极小值即f (x)在x=x1处取到极大值，在x=x2处取到极小值. 当a0时，x1<-1，x20，f (x)在（x1，x2)为减函数，在(x2,+)为增函数，而当x<0时，f (x)=x(x-2a)ex>0，当x=0时，f (x)=0.所以当x=a-1+时，f (x)取得最