CHP离散时间系统的相位结构与逆系统实用教案

1、1引言(ynyn) 本章在第二章的基础上继续讨论离散时间系统(xtng)的分析问题。第二章主要讨论了离散时间系统(xtng)的传输函数、频率响应，零极点分析，系统(xtng)的结构。并重点讨论了系统(xtng)的幅频特性及IIR系统(xtng)的结构及实现，本章将讨论： 离散时间系统(xtng)的相频特性； FIR系统(xtng)的线性相位特点； 两种特殊的IIR系统(xtng)：全通系统(xtng)和最小相位系统(xtng)； FIR系统(xtng)的结构和实现； 系统(xtng)的Lattice结构； 逆系统(xtng)。第1页/共90页第一页，共91页。25.1 离散时间(shjin)系

2、统的频率响应 系统的频率响应(公式略)包括幅频特性和相频特性。幅频特性反映了信号通过系统后各频率成分衰减情况。 相频特性反映了信号的各频率成分经过系统后在时间上发生的位移情况。 很多场合下，一个理想的离散时间系统（滤波器）除了具有(jyu)希望的幅频特性外（如低通、带通、高通等），最好具有(jyu)线性相位,即argH()jek 其中(qzhng)k为常数。产生什么效果？第2页/共90页第二页，共91页。35.1 离散(lsn)时间系统的频率响应()H()()()jjjjkjY eeX eeX e分析：现假设系统的幅频特性为1，考虑(kol)信号经过线性相位系统后的输出。设系统的输入序列为x(

3、n)，则输出序列为y(n)的频率特性为由DTFT的性质可知(k zh)输出序列( )()y nx nk此式说明，输出序列y(n)为输入序列为x(n)在时间上位移。结论结论当系统具有线性相位时，传输无失真（有一定的延迟）。第3页/共90页第三页，共91页。45.1 离散时间(shjin)系统的频率响应图5.1.1给出x(n)和两种相位情况下的输出y(n),由图可见,当系统具有线性相位时,输出和输入仅在时间上移动了K个抽样周期;若系统不具有线性相位时,输出波形明显地发生(fshng)失真。例( )( )/p 定义(dngy)系统的相位延迟(PD)第4页/共90页第四页，共91页。55.1 离散时间

4、系统(xtng)的频率响应第5页/共90页第五页，共91页。65.1 离散时间系统(xtng)的频率响应 线性相位的一般(ybn)情况(群延迟仍为一个常数)( )argH()jek 定义系统(xtng)的群延迟( )( )gd 由上面的分析可知，线性相位的群延迟为一常数。可以将群延迟作为相频特性是否线性的度量，同时，它也表示了系统输出的延迟。例如对一个FIR系统的线性相位具有(其中N为h(n)的长度)( )()/N 12第6页/共90页第六页，共91页。700( )( )cos(),( ):Narrowband Signalacx nx nnx n若：其中(qzhng)C为信号的最高频,则可以

5、证明：0000( )()()cos()jagpy nH ex nn即：相位延迟 反映(fnyng)了载波信号的延迟， 而群延迟 反映(fnyng)了输出包络的延迟。 0()p0()g5.1 离散时间系统(xtng)的频率响应下面讨论FIR系统的线性相位特性零相位滤波问题!非因果系统因果系统第7页/共90页第七页，共91页。85.2 FIR系统(xtng)的线性相位特性 数字滤波器的IIR和FIR两种，由于IIR系统的h(n)无限长，很难实现线性相位，反之，由于FIR系统的h(n)有限长，容易实现某种对称性，从而获得(hud)线性相位。结论：当FIR系统h(n)满足( )()h nh Nn 1该

6、系统具有线性相位。其中+表示偶对称，-表示奇对称。同时(tngsh)由于N可取奇或偶，共有四种情况，为偶数且为奇数且为偶数且为奇数且NnNhn、hNnNhn、hNnNhn、hNnNhn、h),1()(4),1()(3),1()(2),1()(1下面分析两种情况，余下两种请大家自己分析。第8页/共90页第八页，共91页。95.2 FIR系统的线性相位(xingwi)特性h(n)=h(N-1-n)为偶对称为偶对称(duchn)h(n)= -h(N-n-1)为奇对称为奇对称(duchn)N为偶N为奇N为偶N为奇第9页/共90页第九页，共91页。105.2 FIR系统的线性相位(xingwi)特性 1

7、、h(n)= h(N-1-n),且N为偶数(u sh)()( )( )( )( )()( )( )( )NNNnnnNnnnNNnnNnnNNnNnnnNnNnnH zh n zh n zh n zh n zh Nn zh n zh n zh nzz 111200211202112210012101（第10页/共90页第十页，共91页。115.2 FIR系统的线性相位(xingwi)特性jwze)( )NNNNnnH zzh n zz 111122220（-n+（)()( )NNNNjjnjjnH eeh n ee 111122220（-n+令则系统(xtng)的频率响应当取+号时()( )c

8、os()NNjjnNH eeh nn 11220122第11页/共90页第十一页，共91页。125.2 FIR系统(xtng)的线性相位特性()( )sin()NNjjjnNH eeh nn 112220122arg()jNH e 12arg()jNH e122系统(xtng)的相频特性为当取 - 号时系统(xtng)的相频特性为由以上分析可知，此时的FIR系统具有线性相位。第12页/共90页第十二页，共91页。135.2 FIR系统(xtng)的线性相位特性同理可求出N奇数时系统的相频特性分别为偶对称奇对称 通过以上分析可知，当FIR DF的抽样(chu yn)响应满足对称时，该滤波器具有线

9、性相位，其中，当h(n)为奇对称时，通过滤波器的所有频率分量将产生90。的相移。arg()arg()jjNH eNH e 12122第13页/共90页第十三页，共91页。145.2 FIR系统(xtng)的线性相位特性 小结: 上述四种FIR数字滤波器分别称为(chn wi)类型、类型、类型和类型。其相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。幅度特性取决于h(n)。 设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。下面下面(xi mian)讨论具有线性相位讨论具有线性相位FIR滤波器滤波器零点分布及幅频响应问题零点分布及幅频响应问题第14页/共90

10、页第十四页，共91页。155.3 具有线性相位的 FIR系统的零点(ln din)分析)( )()( )( )()()NNnnnnNm NnNmmNNnnNH zh n zh Nn zzh m zzh n zzH z 110011101110111（一、零点分析利用(lyng)h(n)的对称性可知其中+表示偶对称，-表示奇对称。由上式容易可以看出(kn ch)H(Z-1)的零点也是H(Z)的零点。第15页/共90页第十五页，共91页。165.3 具有线性相位的 FIR系统的零点(ln din)分析kjkkzr e设H(Z)的一个零点(ln din)为 ，当幅值和相角处在不同位置时，存在以下四种

11、情况：下面(xi mian)分析这四种情况下的零点分布:总结分布特点第16页/共90页第十六页，共91页。175.3 具有线性相位的 FIR系统(xtng)的零点分析、情况(qngkung)(qngkung)一：。zr，kkk在单位圆内且和, 10分析：在这种情况下H（Z-1）的零点(ln din)也是H（Z）的零点(ln din)，同时，零点(ln din)为复数，当成对出现，即此时有四个互为倒数的两组共轭 对零点(ln din)，如下图所示：第17页/共90页第十七页，共91页。185.3 具有线性相位的 FIR系统的零点(ln din)分析、情况、情况(qngkung)(qngkung)

12、二：二：。zr，kkk在实轴上且和, 10分析：此时零点不在单位圆上，但在实轴上，是实数,共轭就是自己，所以(suy)有一对互为倒数的零点,如下图所示：第18页/共90页第十八页，共91页。195.3 具有(jyu)线性相位的 FIR系统的零点分析、情况(qngkung)(qngkung)三：。zr，kkk在单位圆上且和, 10分析：此时零点在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己(zj)的共轭，所以有一对共轭零点，如下图所示：第19页/共90页第十九页，共91页。205.3 具有线性相位的 FIR系统(xtng)的零点分析、情况(qngkung)(qngkung)四：. 10kkr，且和分析

13、：此时零点既在单位(dnwi)圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以以单出现，且只有两种可能，zk=1或zk=-1。如下图所示：第20页/共90页第二十页，共91页。215.3 具有(jyu)线性相位的 FIR系统的零点分析 通过以上分析可知，一个具有线性相位的FIR DF，其转移(zhuny)函数可表示为上述四情况的级联，即)kmlnkmlnH zHzHzHzHz（:4 order:4 order:2 order:2 order:2 order:2 order:1 order:1 order上述子传输函数分别对应四种情况下的一阶、二阶和四阶子系统。由于其均具有对称的系数，它们均为线性相

14、位子系统。为实现H（Z）提供了方便(fngbin)，H（Z）各种情况下的零点位置示意图如下如所示。第21页/共90页第二十一页，共91页。225.3 具有线性相位的 FIR系统的零点(ln din)分析第22页/共90页第二十二页，共91页。235.3 具有线性相位(xingwi)的 FIR系统的零点分析 二、线性相位(xingwi)FIR DF幅频响应特点为偶数奇对称类型为奇数奇对称类型为偶数偶对称类型为奇数偶对称、类型N：、N：、N：、N：,44,33,22,11 在一个FIR系统中，满足图5.3.1所示的对称(duchn)性，称此进的H（Z）为镜像对称(duchn)多项式（MIP），下面

15、分析这引MIP在z=1或z=-1处幅频响应的特点。)()NH zzH z 11（第23页/共90页第二十三页，共91页。245.3 具有线性相位的 FIR系统(xtng)的零点分析 第一类FIR DF (偶对称,N为奇)的特点： 恒相时延，相位曲线(qxin)是过原点的直线。 H(1)=H(1),H(-1)=H(-1),即Z=-1和1(或零点和点)都能保证5.3.1式成立, 点相当模拟频率 s2，或者说模拟频率的最高频(高频端),因此,此类FIR DF可灵活设置低通高通和带通滤波器.第24页/共90页第二十四页，共91页。255.3 具有线性相位的 FIR系统(xtng)的零点分析 第二类FI

16、R DF (偶对称,N为偶)的特点： 恒相时延，相位曲线是过原点的直线。 H(1)=H(1), H(-1)=-H(-1),即点一定是幅度函数的零点,以保证对称性成立。 点是零点说明高端不通，所以这类FIR系统(xtng)只能做低通和带通,不能设计高通和带阻滤波器.第25页/共90页第二十五页，共91页。265.3 具有线性相位的 FIR系统的零点(ln din)分析 第三类FIR DF (奇对称,N为奇) 的特点： 恒群时延，有 /2 附加(fji)相移，相位曲线是截距为/2 、斜率为 -(N-1)/2 的直线。 对零频和频均为奇对称, H()=-H() ，即H(1)=-H(1)， H(-1)

17、=-H(-1)，所以零频和频都必须是H()的零点，以保证对称性。所以这类FIR系统只能做带通。第26页/共90页第二十六页，共91页。275.3 具有线性相位的 FIR系统(xtng)的零点分析 第四类FIR DF (奇对称,N为偶)的特点： 恒群时延，有/2 附加相移。相位曲线与第三类相同。 幅度曲线对原点奇对称，H(1)=-H(1)零频是的零点。 幅度曲线对H(-1)=H(-1),即点偶对称。所以(suy)这类FIR系统只能做高通和带通滤波器。第27页/共90页第二十七页，共91页。285.3 具有线性相位的 FIR系统(xtng)的零点分析 小结： 线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要(

18、zhngyo)的一种，应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适 类型，并在设计时遵循其约束条件。第28页/共90页第二十八页，共91页。295.4 全通系统(xtng)与最小相位系统(xtng) 一、全通系统 全通系统在滤波器结构设计、多速率信号处理、滤波器组和信道相位均衡等设计中有广泛应用。 如果一个因果系统的的幅频响应对所有(suyu)频率都等于1或常数，即1| ,11| )(|111zzzHap该系统称为(chn wi)全通系统。一个最简单的全通滤波器为 纯延迟kapzzH | )(| 0 , 1| )(|japeH另一个一阶全通系统为极点和零点以单位圆镜像对称，通过幅频响应验证第29页

19、/共90页第二十九页，共91页。30此时为小于1 1的实数。这种表示只能(zh nn)(zh nn)在求频响时使用。二阶全通系统： 111111(1)(1 ()( )(1)(1)apzzHzzz一对位于单位(dnwi)(dnwi)圆内的共轭极点，一对共轭零点和极点以单位(dnwi)(dnwi)圆为镜像对称 。其幅频特性和相频特性分别(fnbi)为cos)(2sin)(arctan)(arg)()(| )(|11212japapapapeHzHzHzH第30页/共90页第三十页，共91页。315.4 全通系统(xtng)与最小相位系统(xtng)1| ,1)(11*1kNkkkapzzzH一个(

20、y )高阶的全通系统可表示为NNNNNNNNapzazazazzazaazH)1(111)1(1111| )(|或表示(biosh)为1()( )( )NapzA zHzA z 即2*()()()1jjjapapapHeHeHe对该全通系统，可以证明：第31页/共90页第三十一页，共91页。325.4 全通系统(xtng)与最小相位系统(xtng) 全通系统的特点 (1)全通系统是个IIR系统（不考虑纯延迟形式）; (2)全通系统的零极点数相同; (3)极零点以单位圆镜像对称（才能保证具有全通特性，即幅频响应为常数; (4)全通系统的所有零点均在单位圆外（为了保证系统稳定，极点在单位圆内，因此

21、与其关于单位圆对称的零点只能(zh nn)在单位圆外）; (5)相频特性单调递减; (6)全延迟为正值。第32页/共90页第三十二页，共91页。335.4 全通系统(xtng)与最小相位系统(xtng) 全通系统(xtng)的应用 (1) IIR系统(xtng)的单位抽样响应无限长，无法对称，即无法作到线性相位。在实际中，可以用一个全通系统(xtng)和IIR系统(xtng)相级联，在不改变幅频响应的情况下对相频响应做矫正，使其接近线性相位;具体方法在最小相位系统(xtng)中介绍。 (2)全通系统(xtng)还广泛应用在系统(xtng)分析及一些特殊滤波器的设计方面（如功率互补IIR滤波器组

22、）。第33页/共90页第三十三页，共91页。345.4 全通系统(xtng)与最小相位系统(xtng)一阶全通系统(xtng)第34页/共90页第三十四页，共91页。355.4 全通系统(xtng)与最小相位系统(xtng) 二、最小相位系统 如果一个稳定(wndng)的因果系统的所有零点均在单位圆内,则称系统为最小相位系统,若所有零点均在单位圆外,则称系统为最大相位系统,若单位圆内外均匀有零点称为混合系统。 性质1 在一组具有相同幅频响应的因果的且是稳定(wndng)的滤波器集合中，最小相位滤波器对于轴（零相位）具有最小的相位偏移。 性质2 令h(n)为所有具有相同幅频响应的离散时间系统的单

23、位抽样响应，hmin(n)是其中最小相位离散系统的单位抽样响应，并定义单位抽样响应的累积能量第35页/共90页第三十五页，共91页。365.4 全通系统(xtng)与最小相位系统(xtng)则该性质指出，最小相位系统的抽样响应的能量集中在n为较小值的范围内，也即在所有具有(jyu)相同幅频响应的离散系统中，最小相位离散系统的单位抽样啊应h(n)具有(jyu)最小的延迟。因此, hmin(n)也称为最小延迟序列。第36页/共90页第三十六页，共91页。375.4 全通系统(xtng)与最小相位系统(xtng) 例5.4.3第37页/共90页第三十七页，共91页。385.4 全通系统(xtng)与

24、最小相位系统(xtng) 例5.4.3第38页/共90页第三十八页，共91页。395.4 全通系统(xtng)与最小相位系统(xtng)3性质4 任何一个非最小相位的因果(yngu)系统的转移函数H(z)均可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联而成。即分析(fnx):略.第39页/共90页第三十九页，共91页。405.5 谱分解(fnji) 谱分解是信号处理中的一个重要概念，也是一个重要的算法。下面考虑具有线性相位系统（FIR）的谱分解，（谱分解同样(tngyng)适用于IIR系统）。 如果有一个最小相位系统)1)(1 ()(11minbzazzH则我们可以得到与其具

25、有相同幅频特性的一个最大相位系统(xtng)和两个混合系统(xtng)1)(1 ()()1)(1 ()()1)(1 ()(1211maxbzazzHbzazzHbzazzHmixmix第40页/共90页第四十页，共91页。415.5 谱分解(fnji) 假定(jidng)我们定义)()()(1zHzHzP则P(Z)具有线性相位，或是零相位。结论：这种线性相位系统可以分解为两个(lin )具有相同幅频特性的系统（最小相位系统，或最大相位系统，或混合系统）。问题是：若已知一个线性相位系统，能否得到一个最小相位系统，或最大相位系统，或混合系统？第41页/共90页第四十一页，共91页。425.5 谱分

26、解(fnji)()()(10zHzHzP（1）不是每一个线性相位系统都可以分解为两个具有相同幅频特性的系统（最小相位系统，或最大相位系统，或混合系统）。若已知一个线性相位系统在单位圆上没有零点(ln din)，可以分解，若单位圆上有零点(ln din)，只有零点(ln din)是偶数倍的重零点(ln din)时，才能分解。（2）一个线性相位系统可以分解为与上式不同的是，这种分解的零点不再(b zi)互为镜像对称，因此，二者的幅频响应不同。)()()(1zHzHzP第42页/共90页第四十二页，共91页。435.5 谱分解(fnji)与上式不同(b tn)的是，这种分解的零点不再互为镜像对称，因

27、此，二者的幅频响应不同(b tn)。第43页/共90页第四十三页，共91页。445. 8 逆系统(xtng) 引入：考虑(kol)已知输入和系统，求输出，这一过程称为系统分析的正问题，在实际分析，存在的情况可能是输出已知，但输入和系统未知，需要求解的问题。 反卷积：由系统的输出求解系统输入的过程。 系统的辩识：由系统的输入和输出求解系统的抽样响应的过程。 逆系统：考虑(kol)两个系统的级联，若1)()()()(*)(2121zHzHnnhnh则则称两个(lin )系统互为逆系统。结论：只有最小相位系统存在逆系统。第44页/共90页第四十四页，共91页。455. 8 逆系统(xtng) 假设现

28、在已知输出(shch)求解系统，可采用下面的结构：若x(n)已知：调节H2(Z）,当其输出接近或等于 x(n)时，则可得H1(Z)=1/H2(Z)。若x(n)未知：可令输入为单位抽样信号(xnho)，则输出接近为单位抽样信号(xnho)，同样可得上述结果。例 5.8.1:略。第45页/共90页第四十五页，共91页。465. 8 逆系统(xtng) 下面从时域和频域考虑反卷积和系统辩识问题。 令LSI系统的H(Z)的输入(shr)和输出分别为x(n)和y(n)，则系统的输入(shr)和输出关系满足线性卷积，即)0(/)()()()();0(/)0()0() 1 () 1 ();0(/ )0(0)

29、x(n)以用递用递推公式，则y(n)和h(n)若我们我们0),()()(*)()(100hknhkxnynxhhxyxhyxnknhkxnhnxnynknk可第46页/共90页第四十六页，共91页。475. 8 逆系统(xtng) 若已知系统的输入和输出，可以用类似的方法(fngf)求解系统的单位抽样响应，即)0(/)()()()(10 xknhkxnynhnk下面考虑(kol)频域求解第47页/共90页第四十七页，共91页。485. 8 逆系统(xtng) 令)()()()()()()()()(000mnynxmrmnynymrmnxnxmrnxynynx分别为自相关和互相关函数(hnsh)

30、。则存在以下关系)()()()()()()()()()()(| )(|)(12zPzHzPzPzHzHzPePeHePePeHePxxyxyjxjjxyjxjjy第48页/共90页第四十八页，共91页。495. 8 逆系统(xtng) 假设系统的输入信号功率(gngl)谱为一常数K，则根据(gnj)系统的自相关和互相关函数，可以确定系统的传递函数。)()()(| )(|)()()()()(12zHzKHZPeHKePzKPzHeKPeHyjjyxyjxyj及第49页/共90页第四十九页，共91页。505.6 FIR系统(xtng)的结构 引入：在第二章我们介绍了IIR系统的结构，这两节我们介绍

31、FIR系统的结构以及FIR和IIR系统的Lattice结构。 FIR系统的特点(tdin): (1)系统的单位冲激响应h(n) 是个有限长序列。 (2)系统函数|H(z)|在|z|0处收敛，极点全部在z=0处(即FIR一定为稳定系统) (3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈。但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。第50页/共90页第五十页，共91页。515.6 FIR系统(xtng)的结构即无反馈情况中它实际上为（或传输函数为系统的差分方程为, 01)()()()()(0000iNiiiMiiiMrrMrazazbzHZrbzHrnxrbnyFIR考虑(kol)其不

32、同的结构形式第51页/共90页第五十一页，共91页。525.6 FIR系统(xtng)的结构MrrZrbzH0)(),（一、直接(zhji)实现和级联实现1、直接(zhji)实现形式 直接(zhji)利用FIR的差分方程或传输函数直接(zhji)实现。Mrrnxrbny0)()()(.b(2)b(1)b(0)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)bM)y(n)方框图第52页/共90页第五十二页，共91页。535.6 FIR系统(xtng)的结构直接(zhji)形式的信号流图第53页/共90页第五十三页，共91页。545.6 FIR系统(xtng)的结构2、级联形式 将FIR的传输函数分解(fnji)

33、为一阶或两阶FIR系统的级联形式，如下：这种级联结构(jigu)如下所示：注:级联结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比直接型多。第54页/共90页第五十四页，共91页。555.6 FIR系统(xtng)的结构12/02)(12/012/012/00)2()()()2()2()()()()()()2()2()()()()()()()(MrMrMrMrMrMMrMrMrzMhzzrhz：HMnxMhrMnxrnxrhrnxrMhMnxMhrnxrhrnxrhrnxrbny得到二、具有线性相位的FIR系统的结构 前面(qin mian)已经证明：当h(n)土h(M一n)时，对应的FIR系统具有

34、线性相位.考虑M为偶数(即M+1点),有第55页/共90页第五十五页，共91页。565.6 FIR系统(xtng)的结构注:线性相位(xingwi)结构可以节省M/2个乘法器.M为奇数(j sh)M为偶数第56页/共90页第五十六页，共91页。575.6 FIR系统(xtng)的结构 三、FIR系统的频率抽样实现 给定一个FIR系统的单位抽样响应h(n)，n0，1，N一1，其转移(zhuny)函数和DFT分别是H(k）实际上为系统(xtng)频率响应在单位圆上的N个等间隔抽样值。由前面的学习可知，可用H（K）来表示H（Z），即第57页/共90页第五十七页，共91页。585.6 FIR系统(xt

35、ng)的结构令则第58页/共90页第五十八页，共91页。595.6 FIR系统(xtng)的结构 把(5.6.5)式一(5.6.8)式的结构形式(xngsh)称为FIR系统的频率油样结构，如下图所示第59页/共90页第五十九页，共91页。605.7 离散时间(shjin)系统的Lattice结构 在数字信号处理中，格形（Lattice)网络起着重要的作用,它具有如下的特点: （1）由于它的模块化结构便于实现高速并行处理； （2）一个m阶格型滤波器可以产生从1阶到m阶的m个横向(hn xin)滤波器的输出性能； （3）它对有限字长的舍入误差不灵敏。 由于这些特点，使得它在现代功率谱估计、语音处理

36、、自适应滤波、线性预测和逆滤波等方面已得到广泛应用。 下面分别讨论全零点系统、全极点系统及极零系统的Lattice结构。第60页/共90页第六十页，共91页。615.7 离散时间系统(xtng)的Lattice结构 一、全零点系统(xtng)(FIR)的Lattice结构 一个M阶的FIR系统(xtng)的转移函数H(z) 为MiiiMMiiZbZibzBzH1)(01)()()（ 系数表示M阶FIR系统的第i个系数，式中假定H(z)=B(z)的首项系数等于(dngy)1，该系统的lattice结构如图5.7.1所示。第61页/共90页第六十一页，共91页。625.7 离散时间系统(xtng)

37、的Lattice结构 格形结构的特点： （1）、在FIR横向结构中有M个系数，共需M次乘法，M次延迟；在FIR的格型结构中也有M个参数ki(i=1,2,M), ki称为反射系数，共需2M次乘法，M次延迟。 （2）、信号传输从左到右，且信号传输只有正向通路，没有反馈通路，所以是一个FIR系统(xtng)。 （3）、由FIR的格形结构可看出：其基本单元如下所图5.7.2所示的蝶形单元，即其由M个格型网络蝶形单元级联而成。每个网络单元有两个输入端和两个输出端。第62页/共90页第六十二页，共91页。635.7 离散时间(shjin)系统的Lattice结构 FIR系统(xtng)的Lattice结构

38、基本网络单元第63页/共90页第六十三页，共91页。645.7 离散时间(shjin)系统的Lattice结构) 1()()() 1()()(1111nqnpknqnqknpnpmmmmmmmm每个网络单元的输入与输出(shch)的关系为：)()()()()(00npnynxnqnpM且第64页/共90页第六十四页，共91页。655.7 离散时间(shjin)系统的Lattice结构MmzQzQzBMmzbzPzPzBmmmiiimmm, 2 , 1),(/ )()(, 2 , 1,1)(/ )()(01)(0（4）、若定义(dngy)那么 Bm(z)和Bm(z)分别是由输入(shr)端x(n

39、)至第m个基本单元后所对应系统的转移函数，其分别对应上端和下端输出。当m=M时， Bm(z) B(z) 。Lattice结构有着非常规则的结构形式。第65页/共90页第六十五页，共91页。665.7 离散时间系统(xtng)的Lattice结构)()()()()()(111111zQzzPkzQzQzkzPzPmmmmmmmm分析思路： 对于格型结构，先讨论如何由横向结构的参量导出格型结构的参量；或由格型结构的参量如何导出横向结构的参量。即如何由给定的系数b(1)，b(2)，b(M)求出Lattice的参数k1，k2, ，KM。对单元网络(wnglu)的关系式作z变换) 1()()() 1()

40、()(1111nqnpknqnqknpnpmmmmmmmm第66页/共90页第六十六页，共91页。675.7 离散时间(shjin)系统的Lattice结构对上式分别(fnbi)(fnbi)除以P0(z)P0(z)和Q0(z)Q0(z)再代入Bm(z)Bm(z)、 Bm(z) Bm(z)式，得：)1/()()(1)()()()(1)()(2111111mmmmmmmmmmmmmkzBzBzkzkzBzBzBzBzzkkzBzB及以上两式给出了格型结构(jigu)(jigu)中由低阶到高阶（或由高阶到低阶）系统函数的递推关系。第67页/共90页第六十七页，共91页。685.7 离散时间系统(xt

41、ng)的Lattice结构由于(yuy)(yuy)上式中同时包含B(z)B(z)和B(z)B(z)。）k（zBzkzBzBzBzkzBzBzBzzBMmzBzzBzkzBzzBkzBzkzBzkzBzBzBzBmmmmmmmmmmmmmm2111111111111010111101101001/)()()()()()(:)()(., 3 , 2)()()()()(1)()()(, 1)()将上式代入矩阵，得推出令即有（由于第68页/共90页第六十八页，共91页。695.7 离散(lsn)时间系统的Lattice结构这样，我们分别得到了由高阶至低阶，或从低阶到高阶转移函数的递推关系。这种递推关系

42、中仅含有B(Z)。 下面(xi mian)再给出km及滤波器系数之递推关系。 将(5.7.3a)式关于Bm(z)，Bm-1(z)的定义分别代入(5.7.8a)及(5.7.8b)式，利用待定系数法，我们可得到如下两组递控关系:., 2 , 1);1(, 2 , 1,12)()()(1)()(1)(1)()(Mmmikbkbbbkbkbbkbmimmmimimmmmimmmimimmmm式中，第69页/共90页第六十九页，共91页。705.7 离散时间(shjin)系统的Lattice结构 实际工作中，一般先给出H(z)=B(z)=Bm(z),可按以下(yxi)步骤求出k1,k2,kM。，和，、重

43、复步骤二，可求出步骤三则得求得或由求得根据步骤二得到：步骤一)()()()(1)()()(, 1, 2 , 1112111) 1(11121)(12)()()(1)(zBzBzBkkk、。bk，zBkzBzkzBzBMibkbkbb、bk、MMMMMMMMMMMMMMiMMiMMMiMiMMMM第70页/共90页第七十页，共91页。715.7 离散时间(shjin)系统的Lattice结构 二、全极点系统(IIR)的Lattice结构 IIR滤波器的格型结构为全极点系统函数，可以(ky)根据FIR格型结构开发。一个M阶的IIR系统的转移函数H(z) 为)(111)(1)(zAzazHMiiiM

44、第71页/共90页第七十一页，共91页。725.7 离散(lsn)时间系统的Lattice结构全极点IIR系统格型结构(jigu)的基本单元为：）（）（bnqnpknqanqknpnpmmmmmmmm12. 7 . 5) 1()()(12. 7 . 5) 1()()(1111第72页/共90页第七十二页，共91页。735.7 离散时间(shjin)系统的Lattice结构 现在，我们利用前面的方法来导出图5.7.5所对应的转换函数(hnsh)及参数kl，k2，km。的求解方法。图5.7.5:全极点(jdin)IIR系统的Lattice结构第73页/共90页第七十三页，共91页。745.7 离散

45、时间(shjin)系统的Lattice结构)()()()()14. 7 . 5()(111)()(11111111111zAzAzzkzYzQbzAzkzPzY可得由若令上式可写为由于),()(),()()(100nxnpnynqnp若令M=1,有）（）（bnynyknqanyknxnyknpny14. 7 . 5) 1()()(14. 7 . 5) 1()() 1()()(11111）（）（bnqnpknqanqknpnp13. 7 . 5) 1()()(13. 7 . 5) 1()()(00110110第74页/共90页第七十四页，共91页。755.7 离散时间系统(xtng)的Latti

46、ce结构iMiiMMmmmmmmmzazAzPzYzXzYzHzAzzAzYzQzAzPzYzA1111)(1)()()()()()()()()()(,)()()(1且则由此类推(litu),若定义 这佯，一个全极点的IIR系统的Lattice结构，它正好是FIR系统的逆过程。由于两个结构的最基本的差分方程是一样的，所以IIR系统系数(xsh)的求解方法同FIR系统Lattice结构的计算方法是一样的，区别只是特多项式的系数(xsh)bm(i)换成am(i)。第75页/共90页第七十五页，共91页。765.7 离散(lsn)时间系统的Lattice结构置。）将输入与输出交换位（增益乘以节点的其

47、它支路）将指向这条新通路各（）。值的倒数（此处为路增益变成原常数并将该通路的常数值支时通路全部反向，）将输入至输出的无延（系统求逆步骤如下：3. 1211我们可以利用滤波器的”求逆准则”,通过FIR来求解(qi ji)IIR的Lattice结构。第76页/共90页第七十六页，共91页。775.7 离散(lsn)时间系统的Lattice结构NkkkNiiizazbzAzBzH101)()()(三、零极系统的Lattice结构 一个在有限(yuxin)z平面（0|z|)既有极点又有零点的IIR系统的系统函数H(z)可表示为第77页/共90页第七十七页，共91页。785.7 离散时间系统(xtng)的Lattice结构图5.7.7：零极系统(xtng)的Lattice结构第78页/共90页第七十八页，共91页。795.7 离散时间(shjin)系统的Lattice结构从图上可以看出：（1）、若k1=k2=kN=0,即所有乘k（或-k)处的联线全断开，则上图将变成一个N阶的FIR系统的横向结构(jigu)；（2)、若c1=c2=cN=0,即含c1CN的联线都断开，C0=1那么上图将变成全极点IIR格型滤波器结构(jigu)（3）、上半部分对应于全极点系统；下半部分对应于全零点