第4节无穷小无穷大阶的比较

1、4 4无穷小与无穷大的阶的比较无穷小与无穷大的阶的比较一、无穷小一、无穷小定义定义7.17.10limsin0,xx .)(0时的无穷小时的无穷小是当是当则称则称xxxf1lim0,xx .1时的无穷小时的无穷小是当是当 xx, 0)(lim);()(000 xfxuxfxx内有定义，若内有定义，若在在设设 .0sin时的无穷小时的无穷小是当是当 xx例例.过过程程的的无无穷穷小小类类似似可可以以定定义义其其它它极极限限例例.,00 xxxxxx观察下列无穷小收敛到零的速度：观察下列无穷小收敛到零的速度：x2xxsin1 . 001. 00998. 001. 00001. 001. 0001.

2、 06101 001. 0.sin,02都是无穷小都是无穷小时时当当xxxx 不同的无穷小收敛到零的速度不同，不同的无穷小收敛到零的速度不同，如何描述？定义定义7.2 (7.2 (无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较) ). 0)(,)(, )(00 xgxxxxgxf空空心心邻邻域域内内某某个个且且在在时时的的无无穷穷小小为为设设;, 0)()(lim. 10的的高高阶阶无无穷穷小小是是称称若若gfxgxfxx ;, 0)()(lim. 20是是同同阶阶无无穷穷小小与与称称若若gflxgxfxx ;, 1)()(lim.30是是等等价价的的无无穷穷小小与与称称若若gfxgxfxx )(0 xxg

3、f记为：记为：.),0, 0()()(lim00阶无穷小阶无穷小是是称称若若kfkllxxxfkxx 中中，实实际际上上，在在过过程程 000,xxxx.1)(xxg 比较标准选为比较标准选为定义定义7.3 (7.3 (无穷小量阶的量化比较无穷小量阶的量化比较) ).)()(0的阶的阶为标准，确定无穷小为标准，确定无穷小以以xfxxxg ,时时当当 x例例1 1解解.tan4 ,0:3的四阶无穷小的四阶无穷小为为时时当当证明证明xxxx 430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的四阶无穷小的四阶无穷小为为时时故当故当xxxx 例例2 2.sintan

4、,0的阶数的阶数关于关于求求时时当当xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 例例3 3 确定下列无穷小的阶确定下列无穷小的阶)0(x,63xx ,11xx ,21cos1,cos120lim xxxx2 2阶阶 1 1阶阶) (无无穷穷小小量量者者低低阶阶3. 1633630lim的的阶阶为为xxxxxx )1( . 1)11(211limlim00 kxxxxxxxkxkx二、无穷大二、无穷大,| )(|,|, 00mxfxx 都有都有当当 ，内有定义，若对内有定义，若对在在设设0);(

5、)(00 mxuxf 定义定义7.47.4.)(0时的无穷大时的无穷大是是则称则称xxxf )(lim0 xfxx).)(lim( xfx或或记作记作 .,00类似类似其它过程：其它过程： xxxxxx特别：特别：., 0)(, 0)(负负无无穷穷大大正正无无穷穷大大， xfxf注意：注意：无穷大量和无界量的区别无穷大量和无界量的区别. .xxy1sin1 .,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk 取取,22)( kxyk.)(,mxykk 充分大时充分大时当当), 3 , 2 ,

6、 1 , 0(21)2( kkxk 取取, kxk充分大时充分大时当当 kkxyk2sin2)(但但.0m 不是无穷大无界!.11lim1 xx证明证明证证, 0 m,11mx 要使要使,11mx 只要只要,1m 取取,110时时当当mx .11mx 就有就有.11lim1 xx11 xy例例 4 4 定义定义7.5 (7.5 (无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较) ),)(, )(0时时的的无无穷穷大大为为设设xxxgxf;, 0)()(lim. 10的的高高阶阶无无穷穷大大是是称称若若fgxgxfxx ;, 0)()(lim. 20是是同同阶阶无无穷穷大大与与称称若若gflxgxfxx ;,

7、 1)()(lim.30是是等等价价的的无无穷穷大大与与称称若若gfxgxfxx )(0 xxgf记为：记为：.),0, 0()()(lim00阶无穷大阶无穷大是是称称若若kfkllxxxfkxx 定义定义7.6 (7.6 (无穷大量阶的量化比较无穷大量阶的量化比较) ).)(10为标准为标准即以即以xx .),0, 0()(lim阶无穷大阶无穷大是是称称若若kfkllxxfkx .为标准为标准即以即以kx例例4 42 2阶阶无穷大无穷大)(13235 xxxx2 2阶无穷大阶无穷大2132lim1132lim33235 xxxxxxxxx 2212213lim121xxxx 解解 ：)1()

8、1(2322 xxxx（1）（2）判断下列无穷大的阶三、三、 表示与性质表示与性质定义定义7.77.7：. 0)( ,)(,0 xgxugfo且且内有定义内有定义在在.|)()(| , 0 ,0mxgxfmxx 使使得得若若存存在在时时当当“有界”“有界”记为记为特别地，特别地， (1)(,| )(|oxfmxf)( )()( , 0)()(lim00 xxxgoxfxgxfxx 就记为就记为若若“无无穷穷小小”记记为为特特别别地地 )1()(, 0)(lim,0oxfxfxx).()()( 0 xxxgoxf 就记为就记为（2）（1）定义定义7.87.8：有有当当, 0 , 0 nx);)(

9、)()(mnxoxoxonmn （2）（1）)()()(mnmnxoxoxo 有有当当, 0 , nx);)()()(mnxoxoxonmn )()()(mnmnxoxoxo （3）有有时时当当,o(1) ,0 xx);()()( ooo ).()(kkoo 四、等价代换定理四、等价代换定理证明：证明：).()(lim )()()()(lim)()(limxhxgxhxgxgxfxhxf 某邻域有定义，某邻域有定义，在在若函数若函数0)(),(, )(xxhxgxf定理定理7.1 7.1 则则若若且且,)()(lim),()(0axhxfxgxfxx .)()(lim0axgxfxx 则则若若

10、,)()(lim0axfxhxx . 0)(, 0)(,)()(lim0 xgxfaxgxhxx. 1ln)1(limln()1ln(lim)1ln(lim10100 exxxxxxxxx)1ln(lnlim)1(loglim00tattttat aln例5例6. 11lim0 xexxtax 1xaxx1lim0 )0()1ln( xxx)0(1 xxexxexxxxx11)1()1ln(00limlim ).1)1( , 11)1(lim0 xxxxx 例例7 7.)1ln(lim0 xxx例例8 8.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx

11、时时当当821/)2(lim220 xxx原式原式常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x,1)1(xx ,211xx .21)1(2xx ,sinxx,21cos12xx ,arcsinxx,)1ln(xx ,tanxx,arctanxx,1xex 正确使用：正确使用：注意注意多用于乘除慎用于加减多用于乘除慎用于加减五、幂指函数的极限五、幂指函数的极限. 0)(,)()( xuxuxv)(ln)(lim)(ln)()(lim)(limxuxvxuxvxveexu )(ln(lim)(lim)(lnlim)(limxuxvxuxvee )(lim)(limln:xvxu等价于求极限等

12、价于求极限,)(lim),(lim存在时存在时当当xvxu也连续也连续连续时，连续时，vuvu ,.)(lim, 1)(lim xvxu型型 1. 0)(lim, 0)(lim xvxu. 0)(lim,)(lim xvxu型型00型型0 )(0)(00)()(limxvxvxxxuxu 型型 1 vuuvuu)1(11)1(1 为无穷小量，为无穷小量，时时记记 1 , 1 auua eaaa 10)1(lim则则存存在在，如如果果 )1(lim vu .lim euv 2)1(coslimxxx )11(coslim2 xxx.212lim1coslim22020 tttttt.121ee 原原式式例例9 9解解 1:1:221)11(cos1ln1coslnlimlimxxxxxx .211cos20lim ttt.121ee 原原式式xxxxxxxxeex1coslnlim1cosln222lim)1(coslim 解解2 2.20)1(cos1lnlimttt xxnxxxnaaa1210)(lim )0( ianxn