数列通项公式的求法之不动点法（清风书苑）

1、1听风D学堂思考题：求下列递推式的通项公式 ,其中11111322nnnnaaaa、11123115nnaa、1154221nnnaaa、1172423nnnaaa、na13a2听风D学堂11111113225421nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa解：中，把看作已知数，把 当作未知数将 从上式中解出 得 恰好与第2题的递推公式相同。11111322nnnnaaaa、1154221nnnaaa、3听风D学堂1111112-1-157223nnnnnnnnaaaaaaaa同理，在中，把看作已知数，把 当作未知数将 从上式中解出 得 恰好与第4题的递推公式相同11123115nnaa、117

2、2423nnnaaa、4听风D学堂 由此可知对于形如 的递推公式求通项公式需要我们先构造成等比数列或等差数列，再利用等比数列或等差数列的相关定义及公式进行求解。 现在我们将介绍一种构造等比数列和等差数列的新方法-不动点法不动点法11nnnaabacad1111322nnnnaaaa115421nnnaaa5听风D学堂不动点：不动点： 定义：被函数y=f(x)映射到其自身的 一个点；即函数上x=y的点，可由x=f(x)解出。1254(x)2154(x)=21x1254(x)21xfxxfxxxfx例如：求的不动点。令 解得 ，x为函数的两个不动点。6听风D学堂利用不动点法求形如 的通项公式的方法

3、：（1）令 ，并解出方程的根即为不动点 ；（2）构造数列a、当 时， ，可以构造为如下形式：11nnnaabacad(x)=ax bfxcx d1122xpp， x12pp11111221nnnnnnaabpapcadaabappcad11nnnaabacad7听风D学堂化解后得一个等比数列 的递推公式：由此可求出 最后解出 即求得 的通项公式。111212nnnnapapkapap12nnapap1111212nnnapapkapapnana11154321nnnnaaaaa例 1、 已 知 ：，求 数 列的 通 项 公 式 。8听风D学堂1111-1-154112154222111322n

4、nnnnnnnnnaaaaaaaaaa即得 化简得 1254(x)= ,1,221xfxx解：令求得不动点xx9听风D学堂111n-1n-1n-113=321=221=2 321 4 3=(n 1,2,3,.)1 2 3nnnnnaaaaaaaa 可知是公比q= 的等比数列，所以 故 可解得 10听风D学堂b、当 时， ，可以构造为如下形式：求倒数化解后得一个等差数列 的递推公式：11nnnaabacad12=ppp11nnnaabappcad111=nnhapap1nap11听风D学堂由此可求出 最后解出 即求得 的通项公式。111(n 1)hnapapnana11172323nnnnaaaaa例2、已知：，求通项公式。12听风D学堂111721=123112=115nnnnnaaaaa即得 求倒数化简得 72(x)= ,123xfxx解：令求得不动点x13听风D学堂1112d=31511=1 2112= +n-11 25411=(n 1,2,3,.)41nnnaaaanan可知是公差 = 的等差数列，所以 故 （）可解