胡海岩机械振动基础第三章课件

1、第第3 3章章 无限自由度系统的振动无限自由度系统的振动12多自由度多自由度大自由度大自由度 无限自由度无限自由度 ou x,t)()x,tfxxfNxduu+uxxdN+dxNxlxd3 实际振动系统的惯性、弹性和阻尼都是连续分布的，因而称实际振动系统的惯性、弹性和阻尼都是连续分布的，因而称为为连续系统连续系统或或分布参数系统分布参数系统。确定连续系统中无数个质点的运。确定连续系统中无数个质点的运动形态需要无限多个广义坐标，因此连续系统又称为动形态需要无限多个广义坐标，因此连续系统又称为无限自由无限自由度系统度系统。 研究对象研究对象: : 限于由均匀的、各向同性线弹性材料制成的弦、限于由均

2、匀的、各向同性线弹性材料制成的弦、 杆、轴、梁、膜以及板，简称为杆、轴、梁、膜以及板，简称为弹性体弹性体。 43.1 弹性杆的纵向振动弹性杆的纵向振动 圆轴的扭转振动圆轴的扭转振动 弦的横向振动弦的横向振动 yx EI, l, M杆的纵向振动杆的纵向振动 同类型的振动：圆轴的扭转振动同类型的振动：圆轴的扭转振动 弦的横向振动弦的横向振动 * 振动微分方程、解法、特性相同振动微分方程、解法、特性相同 * 5 弹性杆、轴和弦的振弹性杆、轴和弦的振动微分方程形式相同，动微分方程形式相同，可用相同的方法分析。具体的步骤是：可用相同的方法分析。具体的步骤是：（1 1）分离变量将偏微分方程转化为常微分方程

3、组）分离变量将偏微分方程转化为常微分方程组;（2 2）由边界条件得出固有振动）由边界条件得出固有振动;（3 3）利用固有振型的正交性将系统解耦）利用固有振型的正交性将系统解耦;（4 4）用振型叠加法得到系统的自由振动或受迫振动。）用振型叠加法得到系统的自由振动或受迫振动。63.1.1 振动微分方程振动微分方程 直杆的纵向振动微分方程直杆的纵向振动微分方程 设有长度为设有长度为 l 的直杆，取杆的轴线作为的直杆，取杆的轴线作为 x 轴。记杆在坐标轴。记杆在坐标 x 的横截面积为的横截面积为A(x)、材料弹性模量为材料弹性模量为E(x)、密度为密度为 ( (x) )，用用u(x, t) 表表示坐标

4、为示坐标为 x 的截面在时刻的截面在时刻 t 的纵向位移，的纵向位移，f (x, t) 是单位长度杆上分是单位长度杆上分布的纵向作用力。布的纵向作用力。取长为取长为dx的杆微段为分离体的杆微段为分离体，其受力分析如图。，其受力分析如图。 ou x,t)()x,tfxxfNxduu+uxxdN+dxNxlxd7ou x,t)()x,tfxxfNxduu+uxxdN+dxNxlxd杆的纵向应变和轴向力分别为杆的纵向应变和轴向力分别为 xtxutx),(),(xtxftxNxxtxNtxNttxuxxAxd),(),(d),(),(),(d)()(22dxxduEExStatic)()(xtxuEt

5、xDynamic),(),(xtxuxAxEtxxAxEtxN),()()(),()()(),(根据根据Newton第二定律第二定律 8对于均匀材料的等截面直杆，对于均匀材料的等截面直杆， E(x) A(x)为常数为常数 222221u x ttu x txAf x t( , )( , )( , )Edef是杆内弹性纵波沿杆纵向的传播速度是杆内弹性纵波沿杆纵向的传播速度 ( ) ( )( , ) ( ) ( )( , )( , )x A xu x ttxE x A xu x txf x t22直杆纵向受迫振动微分方程直杆纵向受迫振动微分方程 其中其中 9杆的自由振动杆的自由振动 22222u

6、x ttu x tx( , )( , )分离变量法分离变量法: u x tU x q t( , )( ) ( )U x q tq t Ux( )( )( )( )2( )( )( )( )q tq tUxU x2两端必同时等于一两端必同时等于一常数。可以证明，常数。可以证明，该常数不会为正数该常数不会为正数. . （1）固有振动的形式固有振动的形式 22)()()()( xUxUtqtq 10UxU xq tq t( )()( )( )( )2200U xaxaxq tbtbt( )cossin( )cossin1212u x taxax btbt( , )(cossin)(cossin)12

7、12（2）固有振动的确定）固有振动的确定 描述了杆纵向振动幅值沿杆长的分布描述了杆纵向振动幅值沿杆长的分布 杆的边界条件是杆两端对变形和轴向力的约束杆的边界条件是杆两端对变形和轴向力的约束条件，又称作条件，又称作几何边界条件几何边界条件和和动力边界条件动力边界条件。 11a. 在固定端：在固定端： ;b. 在自由端：在自由端： 。0u0U0 xuEAN U0 简单边界条件简单边界条件 例例 ：试求试求 端固定端固定, 端自由的等截面直杆端自由的等截面直杆纵向固有振动。纵向固有振动。解：解：写出边界条件写出边界条件0 xxlUUl( ),( )000aal1200,cosxaxaxUsincos

8、)(2112这一函数给出了杆各截面的振幅，即杆的振动形态，故称为这一函数给出了杆各截面的振幅，即杆的振动形态，故称为第第r阶阶固有振型函数固有振型函数。像多自由度系统的固有振型一样，固有。像多自由度系统的固有振型一样，固有振型函数的值具有相对性，即振型函数的值具有相对性，即 可以是任意常数。不妨取式可以是任意常数。不妨取式中中 ，则有，则有rrlr(), ,121 2 , 2, 1,2) 12(sinsin)(22rlxraxaxUrra2a21Uxrxlrr( )sin(), , 2121 2ux trxlbtbtrrrrrr( , )sin()(cossin), ,2121 212求出无穷

9、多个固有频率求出无穷多个固有频率:cosl 0由由杆的固有振动解杆的固有振动解:)21( rlr13上式在上式在 时恰好对应自由杆时恰好对应自由杆零固有频率零固有频率和和刚体运动振型刚体运动振型。此时，杆的运动有别于此时，杆的运动有别于而两端自由杆的固有频率和固有振型函数为而两端自由杆的固有频率和固有振型函数为 , 2, 1,sin)(,rlxrxUlrrr, 2, 1,) 1(cos)(,) 1(rlxrxUlvrrr 对于两端固定杆，类似地可求出其固有频率和固有对于两端固定杆，类似地可求出其固有频率和固有振型函数为振型函数为杆的运动为杆的运动为 r 1u x taxax btbt( , )

10、(cossin)(cossin)1212ux tbb t112( , ) 10qtbb t112( ) 0)()(02tqtq 14xsinsin2sin3coscos2xxxxxsinsinsin22253xxcos0=1三种边界条件下杆的前三种边界条件下杆的前3阶固有振型阶固有振型 固有振型曲线与坐标轴的交点为固有振型曲线与坐标轴的交点为节点节点，系统固有振动幅值，系统固有振动幅值在节点处为零。对于简单边界条件的杆，第在节点处为零。对于简单边界条件的杆，第 r 阶固有振型阶固有振型有有 r-1 个节点。个节点。r 115 复杂边界条件复杂边界条件 a. 一端装有刚度系数为一端装有刚度系数为

11、k的拉压弹簧时的拉压弹簧时kutEAutxku l tEAu l tx( , )( , ),( , )( , )00kUEAUkU lEAUl( )( ),( )( )00NNkuku0),(),(, 0), 0(), 0(xtluEAtlkuxtuEAtkuu x tU x q t( , )( ) ( )-反映了杆端的轴力与弹性力（或惯性力）间平衡关系反映了杆端的轴力与弹性力（或惯性力）间平衡关系 16b. 一端装有集中质量一端装有集中质量m时时 0),(),(, 0), 0(), 0(2222xtluEAttlumxtuEAttummUEAUmU lEAUl2200( )( ),( )(

12、)NNum um muttEAutxmu l ttEAu l tx222200( , )( , ),( , )( , )()()()(),(2tqtqtqxUtxu 17例例4.1.2 均匀材料等截面直杆的均匀材料等截面直杆的 端固定、端固定、 端端具有集中质量具有集中质量m，求其固有频率。求其固有频率。x 0 xl)()(, 0)0(2lUEAlUmUyx EI, lmlEAlmacossin, 021xaxaxUsincos)(21固有频率方程固有频率方程tandefdefAlml,解：解：问题的边界条件为问题的边界条件为18tan10860 ./ l23426 ./ l36437 ./

13、ltan21lAlmEAmlkmkEA l/1a. 如果杆的质量相对于集中质量如果杆的质量相对于集中质量很小，即很小，即 是杆的质量与杆端是杆的质量与杆端集中质量的比值。集中质量的比值。 rrl/0246810-202 6.4373.4260.860tan1/ F1 F2 F31123其中其中 与将弹性杆视为无质量弹簧得到与将弹性杆视为无质量弹簧得到的单自由度系统固有频率一致。的单自由度系统固有频率一致。是整根杆的是整根杆的静拉压刚度静拉压刚度。19b. 若杆质量小于集中质量，但比值若杆质量小于集中质量，但比值 不是非常小，不是非常小，可取可取Taylor展开展开 ，将频率方程写作，将频率方程

14、写作1tan/332213()解出解出 并并Taylor展开至二次项展开至二次项12122321431313()/1133lEA lmAlkmAl/STOP相当于将弹性杆视为有质量的弹簧，并用相当于将弹性杆视为有质量的弹簧，并用Rayleigh法法计入弹簧质量后的单自由度系统固有频率计入弹簧质量后的单自由度系统固有频率。203.1.2 3.1.2 固有振型函数的正交性固有振型函数的正交性 xxUxUxUxUxUxUxxUxUxxUxUlsrrsllrsllrsrsrd )()()()()(d)(d)()(d)()()(000002 UxUxrrr( )()( )200)()0(lUU固定边界固

15、定边界: : 0)( )0( lUU自由边界自由边界: : )()()()()(2xUxUxUxUrsrsr llsrsrrxxUxUxxUxU002d)()(d)()()(a)21lsrsrxxUxU02220d)()(a)-(b)同理可得同理可得llrsrssxxUxUxxUxU002d)()(d)()()(b)llsrsrrxxUxUxxUxU002d)()(d)()()(a)lsrsrxxUxU00d)()(lsrsrxxUxU00d)()(rs 杆的固有频率互异杆的固有频率互异22杆的固有振型函数正交关系，它们分别反映了不同阶杆的固有振型函数正交关系，它们分别反映了不同阶次固有振动间

16、既次固有振动间既无动能交换无动能交换又又无势能交换无势能交换. .当当 时，定义杆的第时，定义杆的第r阶阶模态质量模态质量和和模态刚度模态刚度为为 rsxxAUMlrdefrd)(02rrrKMr21 2, ,它们的大小取决于如何对它们的大小取决于如何对固有振型函数归一化，但固有振型函数归一化，但其比值总满足其比值总满足: : lsrsrxxUxU00d)()(lsrsrxxUxU00d)()(, 2 , 1,d)(02rxxUEAKlrdefr23更一般地，若杆在更一般地，若杆在 端有弹簧端有弹簧 和集中质量和集中质量 、在在 端有弹簧端有弹簧 、集中质量、集中质量 ，按能量互不交换，按能量

17、互不交换原则可写出固有振型正交关系原则可写出固有振型正交关系 对于端点固定或自由的非均匀变截面直杆，其固有对于端点固定或自由的非均匀变截面直杆，其固有振型的加权正交关系式为振型的加权正交关系式为( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )x A x Ux UxxME x A x Ux UxxKrsrrslrsrrsldd00 x 0k1m1xlk2m2( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )x A x Ux Uxxm UUm Ul UlME x A x Ux Uxxk UUk Ul UlKrsrsrsrrslrsrsrsrrs

18、ldd1201200000正交性的物理意义：正交性的物理意义：在第在第 r 阶振型上的弹性力和惯阶振型上的弹性力和惯性力不会在第性力不会在第 s 阶振型上作功，反之亦然。阶振型上作功，反之亦然。243.2 3.2 圆轴扭转振动微分方程圆轴扭转振动微分方程 Ixp( )G x( )材料剪切模量材料剪切模量: : 截面极惯性矩截面极惯性矩: : 密度密度: :( )x( (外扭矩分布外扭矩分布) ) Mx te( , )dx( , )x t),(txMtxxtxMtxMttd),(),(圆轴的扭转角应变圆轴的扭转角应变和扭矩分别为和扭矩分别为xtxxIxGtxxIxGtxMxtxtxppt),()()(),()()(),(,),(),(25 ( )( )( , ) ( )( )( , )( , )x Ixx ttxG x Ixx txMx tppe22 222221( , )( , )( , )x ttx txIMx tpedefG是轴内剪切弹性波沿轴纵向的是轴内剪切弹性波沿轴纵向的传播速度。传播速度。 根据动量矩定理根据动量矩定理 : ( )( )( , )( , )( , )( , )( , )x Ixxx ttM x tM x txxM x tMx txpttteddd22对于均匀材料对于均匀材料的等截面圆轴的等截面圆轴: : 其中其中