Hermit插值学习教案

1、会计学1Hermit插值插值第一页，共28页。第五章插值与逼近(bjn)第1页/共28页第二页，共28页。不少实际问题不但要求在节点(ji din)上函数值相等，而且还要求它的导数值也相等（即要求在节点(ji din)上具有一阶光滑度），甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特（Hermite）插值多项式。Hermite插值插值第2页/共28页第三页，共28页。011niiNnmNH x 以以上上总总共共有有个个插插值值条条件件，要要求求构构造造不不低低于于次次插插值值函函数数 （ ）满满足足以以上上插插值值条条件件。第3页/共28页第四页，共28页。第4页/共28页第五页

2、，共28页。001 02110 110H xxHHxHH 求求一一个个三三次次插插值值多多项项式式（ ），使使 时时， （ ）， （ ）； 时时， （） ， （）例例第5页/共28页第六页，共28页。第6页/共28页第七页，共28页。HermiteHermite插值多项式的构造插值多项式的构造(guzo)(guzo)2122121210.(.)1nnnnnHxaxaxa xa 设设由由待待定定系系数数法法插插值值条条件件012212222,.,.nnnna aaa 共共个个方方程程，可可求求出出个个系系数数niyxHyxHiiniin，210)()(1212 第7页/共28页第八页，共28页。

3、Hermite插值多项式的构造插值多项式的构造(guzo)2121()0 1 2()niiniiHxyinHxy 使使其其满满足足插插值值条条件件， ， ，2100( )( )() 2)nniniiiiiHxh x yhLagrangex y 型型插插设设HermiteHermite插插值值多多项项式式为为值值基基函函数数法法第8页/共28页第九页，共28页。( )(1) ( )2111(2) ().( )(00 ()0(0 1 2,1,2, )iiiijijijh xh xnhijh xijhxinjnx i 应应满满足足条条件件：应应是是次次多多项项式式；， ， ， ，构构造造0()2(

4、)()( )()( )njijijj iiixxLagrangel xxxh xaxb lx 利利用用插插值值基基函函数数设设22()() ()1()()2() () ()0iiiiiiiiiiiiiih xaxb lxhxalxaxb lx l x 由由条条件件(2)(2)可可列列出出方方程程组组第9页/共28页第十页，共28页。()1,1,2 ()0iiiiil xaxbal x 200()()( )(12() ()()(0,1,2,)1( )(),()()iiiiiinnjiiijjijijj ij ih xxx l xlxinxxl xlxxxxx 所所以以其其中中2 ()12()ii

5、i iial xbx l x 解解出出22()() ()1()()2() () ()0iiiiiiiiiiiiiih xaxb lxhxalxaxb lx l x 由由条条件件(2)(2)可可列列出出方方程程组组第10页/共28页第十一页，共28页。( )(1)2.( )211(2) ()0()0(0 1 2( ),(0),1,2, )iiijijiijh xh xnijhxh xinijh xijn 应应满满足足条条件件：应应是是次次多多项项式式；， ， ， ，构构造造2( )()( )iih xcxd lx设设22()() ()0 ()()2() () ()1iiiiiiiiiiiiiih

6、 xcxd lxhxclxcxd lx l x 由条件(2)可列出方程组由条件(2)可列出方程组第11页/共28页第十二页，共28页。2120( )( )( )(12() ()() ( )iinniiiiiiiih xh xHxxx lxyxxy lx 代代入入和和经经整整理理得得到到2()1,0,11( )() ( )iiiiiiil xcxdccdxh xxx lx 解解出出于于是是求求出出22()() ()0 ()()2() () ()1iiiiiiiiiiiiiih xcxd lxhxclxcxd lx l x 由条件(2)可列出方程组由条件(2)可列出方程组第12页/共28页第十三页

7、，共28页。12121233331122112232111112,1,21,2( )( )( ) ( ) ( )12( )1iiiixxyyyyHermiteHxHxyiHxyiHxh x yh x yh x yh x yHermiteHxh xxxl xlxh x 在在节节点点 和和上上已已知知和和。试试构构造造两两点点三三次次插插值值多多项项式式 （ ）满满足足条条件件（ ）（ ）（ ）由由插插值值基基函函数数的的一一般般形形式式，用用于于两两点点三三次次 （ ）上上，有有（）（ ） （ ）解解（例例：22222211122222( )( )xxlxlxh xxxlxh xxxlx （）（

8、 ） （ ）（） （ ）（） （ ）211121212221211( )( )1( )( )xxlxlxxxxxxxlxlxxxxx 其其中中，第13页/共28页第十四页，共28页。2212211121121222211222122121( )1 2( )( )1 2( )xxxxxxh xh xxxxxxxxxxxxxxxh xh xxxxxxxxx 代代入入后后得得到到（）（） ，（）（）（）（） ，（）（）311221122( )( )( ) ( ) Hxh x yh x yh x yh x y（ ）第14页/共28页第十五页，共28页。第15页/共28页第十六页，共28页。170000

9、01110(),(),().f xcfxcf xc 0 x0 x1x00c00c10c001,f x x x01,f x x00,f x x1010000000101101001001000010012101010200000010( )0100()(),(),.,.()( )(),(),()1,( ),!kkf xf xccf xxfxcf xxxxxxf xxf xxcccf xxxxxxxxxp xf xf xxxxf xxxxxf xxxff xxk由 ( )0011()!kkxfxk第16页/共28页第十七页，共28页。18(1)2,(1)3,(2)6,(2)7,(2)8.fffff

10、 1 2 1 2 3 2 6 4 1 2 6 7 3 2 2 6 7 4 1 1(2)22221,()42!f x x xfx2222( )23(1)(1)2(1) (2)(1) (2)p xxxxxxx第17页/共28页第十八页，共28页。1913131(),( ),( )1,(2)3.24242ffff -0.5 -0.75 0.5 -0.75 0 0.5 -0.75 1 1 2 3 2.5 1 023311( )()()1422p xxxx 第18页/共28页第十九页，共28页。第19页/共28页第二十页，共28页。1. 1.问题问题(wnt)(wnt)的提法的提法01331,331()

11、()0 1( )(1)( ) , ;,(3)(),()(0,1, )niiiihhiihhiiiinxxxyf xyfxinHermiteHxHxCa bx xHxyHxy in 设设个个插插值值节节点点 ， ，。已已知知在在节节点点上上的的函函数数值值和和导导数数值值， ， ， 。分分段段三三次次插插值值多多项项式式应应满满足足条条件件：(2)(2)在在局局部部的的每每个个小小区区间间上上是是三三次次多多项项式式；定定义义: :。分段三次分段三次HermiteHermite插值多项式存在插值多项式存在(cnzi)(cnzi)唯一唯一第20页/共28页第二十一页，共28页。300( )( )(

12、 )nnhiiiiiiHermixx yeHytx 分分段段三三次次插插值值多多项项式式的的一一般般形形式式2.2.分段分段(fn dun)(fn dun)三次三次HermiteHermite插值的表达式插值的表达式( )( )iixixi 是是对对应应于于第第 个个节节点点函函数数的的基基函函数数, ,是是对对应应于于第第 个个节节点点导导数数的的基基函函数数, ,( )(),()0( ,0,1,2, )iijijijxxxi jn 应应满满足足: :(1)(1)分分段段三三次次多多项项式式，(2)(2)，( )()0,()( ,0,1,2, )iijijijxxxi jn 应应满满足足:

13、:(1)(1)分分段段三三次次多多项项式式，(2)(2)，第21页/共28页第二十二页，共28页。01211110,( )1 2,nnnnnnnnnnxx xa xxxxxxxxxxxx （）（）2111121111111,2,(1)(12)(),( )(12)(),0,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiinxxxxxxxxxxxxxxxaxxx xxxxxxxx 时时；2010110010112(),( )0,nxxxxxxxxxxxxxxx 具具体体形形式式如如下下：（）第22页/共28页第二十三页，共28页。21112111111,2,(1)()(),()()(),0,iiiiiii

14、iiiiiiiiinxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 时时；0121110 ,( ),nnnnnnnnxx xxx xx xxxxxx （）（）210010101,( )0,nxxxxxx xxxxxx x （）（）第23页/共28页第二十四页，共28页。3.3.分段分段(fn dun)(fn dun)三次三次HermiteHermite插值的余项插值的余项定理：设定理：设f(x)在在a,b上有四阶连续上有四阶连续(linx)导数导数f(4)(x) ， 且且| f(4)(x) | m4, 记：记： h = max |xi+1-xi|,就有估就有估计：计：4(4)34 , |( )|

15、( )( )max |( )|4!2hhxa bhRxf xHxf 131111,( )( )( )( )( )iihiiiiiiiixx xHxx yx yx yx y 在在上上的的表表达达式式第24页/共28页第二十五页，共28页。13.8100.38.hh 最最大大步步长长 应应取取4( )cos1102hf xxHermite 考考虑虑构构造造一一个个函函数数的的等等距距节节点点函函数数表表，要要使使分分段段三三次次插插值值的的误误差差不不大大于于，最最大大步步长长 应应例例：取取多多大大？4(4)4 , |( )|max |( )|4!2hxa bhRxf 解解：(4)(4)( )cos ,|( )| 1fxxfx4444441|( )|1012 2104!22hhRxh第25页/共28页第二十六页，共28页。 上面介绍的分段低次插值，虽然具有计算简便上面介绍的分段低次插值，虽然具有计算简便(jinbin)，收敛性有保证，数值稳定性又好且易在，收敛性有保证，数值稳定性又好且易在计算机上实现等优点，但它却不能保证整条曲线的光计算机上实现等优点，但它却不能保证整条曲线的光滑性，从而不