第7章习题课(1)解答

1、 第第7章章习题课习题课 (1)上册上册主要内容主要内容一、利用一、利用定义定义和和叠加原理叠加原理求场强和电势；求场强和电势； 二、用典型电场的场强公式，求某些二、用典型电场的场强公式，求某些 带电体组合的场强分布；带电体组合的场强分布；三、三、用高斯定理求场强用高斯定理求场强；四、电势的计算。四、电势的计算。一、利用定义和叠加原理求场强和电势一、利用定义和叠加原理求场强和电势 )Q(ZZ)Q(YY)Q(XX)Q(dEEdEEdEEEdEEddqQ注意：利用对称性分析，注意：利用对称性分析，看场强的某分量是否为零。看场强的某分量是否为零。)Q(dddqQ1. 有一边长为有一边长为a的正六角形

2、，六个顶点都放有电荷。的正六角形，六个顶点都放有电荷。求六角形中点处的场强和电势。求六角形中点处的场强和电势。qqqqqq0yx解解 建立如图坐标系建立如图坐标系分析电场分布分析电场分布由对称性分析，得：由对称性分析，得：0 yExEE 0点电荷场强点电荷场强公式公式rrQE4202042aqEx260cos42020aq20aqqqqqqq0 61004iiaqUaq043 aq043 0 六角形中点处的电势六角形中点处的电势iaqEEx200 00U0E2. 一细玻璃棒被弯成半径为一细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形的半圆形,沿其上半部沿其上半部均匀分布有电荷均匀分布有电荷+Q,沿下半部均匀分

3、布有电荷沿下半部均匀分布有电荷-Q,如图如图所示。求半圆中心所示。求半圆中心o处的场强和电势。处的场强和电势。解解 ： 线电荷密度线电荷密度RQ/RQ22 Rddldq204RdqdE Rd04 EddQQRodqyx由对称性分析，得：由对称性分析，得：0 xE2/0cos2dEEy2/00cos42dRR042jRQEEyo202EddQQRodqyx半圆中心半圆中心o点处的电势：点处的电势：d004400RQRQ 3.设两个半径分别为设两个半径分别为R1和和R2的球面同心放置，所带的球面同心放置，所带电量分别为电量分别为Q1和和Q2，且都是均匀分布。试求该电场，且都是均匀分布。试求该电场的

4、电势分布。的电势分布。oQ1Q2R2R1解：根据解：根据电势叠加原理电势叠加原理得得:1Rr 20210144RQRQ21RrR2020144RQrQ2Rr rQQ0214二、用典型电场的场强公式，求某些二、用典型电场的场强公式，求某些 带电体组合的场强分布。带电体组合的场强分布。无限长直导线：无限长直导线：无限大平面：无限大平面：rE02 02 E均匀带电球面：均匀带电球面： 0ERr 204rQERr xy1. 两条平行的无限长均匀带电直线，相距为两条平行的无限长均匀带电直线，相距为 d, 线线电荷密度分别为电荷密度分别为 和和 . （2）两直线单位长度的相互作用力。）两直线单位长度的相互

5、作用力。求求 （1）两直线构成的平面的中垂面上的场强；）两直线构成的平面的中垂面上的场强；解（解（1）由无限长均匀带电直线的场强公式）由无限长均匀带电直线的场强公式rE02 EE方方 向如图所示向如图所示Pr E E d得得P点场强：点场强：0 yE cosEcosEExrdrEx2/2202202/2dydiEEx ExyPr E E dcos2Erd 2/cos2222/dyrEdqdF ddl02 ddl022方向：方向：i 单位长度带电直线的单位长度带电直线的相互作用力为：相互作用力为：FdFd）（2ddldF022 dEdl0 xx2. 宽度为宽度为b的无限长均匀带电平面，面电荷密度

6、的无限长均匀带电平面，面电荷密度为为 ，与带电平面共面的一点，与带电平面共面的一点P到平面相邻边垂直到平面相邻边垂直距离为距离为a（P点在带电平面外）点在带电平面外）.求：求：P点的电场强度。点的电场强度。 解：解：ldxdSdq dxldq rE02dxaPbldE无限长直导线电场：无限长直导线电场：xabdxdE02dEEPbxbadx00)(2aba ln200 xxdxaPbldE三、用高斯定理求场强三、用高斯定理求场强sqSdE0int1. 以点电荷以点电荷q1为中心作高斯球面为中心作高斯球面S1和和S2,且且 S2=2S1。通过通过S1的电通量的电通量 ，通过，通过S2的电通量的电

7、通量 。问。问:1 2 （1） 是否成立？是否成立？122 1q1S2S0111 qSdES 2012SqSdE21 答：由高斯定理得：答：由高斯定理得：（2） 若若q1不在中心而偏向中心左侧（仍在不在中心而偏向中心左侧（仍在S1内）内）通过通过S1和和S2的电通量是否有变化？的电通量是否有变化？（3）若在）若在S2外有一电荷外有一电荷 q2在在 S2外移近外移近 q1，则，则 有什么变化？有什么变化？21 和和（4）S1、 S2上各点场强是否变化？上各点场强是否变化？不不变变。内内移移动动时时，在在当当 11Sq答：由高斯定理可得：答：由高斯定理可得：也也不不变变。时时，外外移移近近在在 1

8、22qSq答：由高斯定理可得：答：由高斯定理可得： 1q1S2S2q。上上各各点点场场强强将将发发生生变变化化所所以以，21SS答：由高斯定理可得：答：由高斯定理可得：是空间所有电荷共同产生的合场强；是空间所有电荷共同产生的合场强；ES 2. 为闭合曲面的一部分，闭合面内无净电荷为闭合曲面的一部分，闭合面内无净电荷（如图），电力线穿过该闭合曲面。已知通过（如图），电力线穿过该闭合曲面。已知通过 面的电通量为面的电通量为 ，通过闭合面其余部分的电通，通过闭合面其余部分的电通量量S 1?2解：解： 由高斯定理得由高斯定理得 ：0 SSdE12 21 S E3. 电荷电荷+Q均匀分布在半径为均匀分布

9、在半径为R的球面上，球心在的球面上，球心在坐标原点，现在球面与坐标原点，现在球面与x 轴相交处挖去面元轴相交处挖去面元 S 移移到无穷远处（设无穷远处到无穷远处（设无穷远处 电势为零电势为零 ，且挖去面元，且挖去面元后，电荷分布不变）。后，电荷分布不变）。求：（求：（1）挖去面元后球心）挖去面元后球心o处的处的 Eo =？ （2）球心）球心o处的电势处的电势 （3）挖去面元处的场强）挖去面元处的场强 ?E ？0S oxyz解：解： 介绍介绍 “补缺法补缺法”SEEE 0S0S oxyz由高斯定理得：由高斯定理得：0 E解（解（1）球心）球心o处的处的 E0=？面元面元 所带电荷可视为点电荷所带

10、电荷可视为点电荷S物理近似：物理近似：Sq 24 RSQ iRqES 204iRSQ04216 其产生的场强为：其产生的场强为：S oxyz iRSQEES042o160（2）球心）球心o处的电势处的电势 =？0 球壳在球心处的电势等于完整球面在球心球壳在球心处的电势等于完整球面在球心处的电势减去挖去部分在球心处的电势处的电势减去挖去部分在球心处的电势.S03020164RSQRQ RqRQ0044 S oxyz（3）挖去面元处的场强）挖去面元处的场强 ?E 挖去面元处的场强等于完整球面在此处的场强挖去面元处的场强等于完整球面在此处的场强减去面元上的场强减去面元上的场强.SEEE 其中：其中：

11、iiRQE0204 那么，面元上场强那么，面元上场强?ES 物理近似物理近似从离面元无限近的一点看面元，从离面元无限近的一点看面元，可以将面元视为无限大带电平面。可以将面元视为无限大带电平面。iES02SEEE方向方向 i00022 4. 4. 一均匀带电直线长为一均匀带电直线长为d d , ,电荷线密度为电荷线密度为,以导线中点以导线中点o为球心，为球心，R为半径（为半径（R d )作一球面，作一球面，如图所示。通过该球面的电场强度通量为如图所示。通过该球面的电场强度通量为 ；带电直线的延长线与球面交点带电直线的延长线与球面交点P处的电场强度的大处的电场强度的大小为小为 ；方向；方向 。oR

12、P解（解（1）由高斯定理得：）由高斯定理得：00 dqii（2）ldldq 20)(41lRdldEP2/2/20)(41ddPlRdlE)dR(d2204 （3）方向沿矢径）方向沿矢径OP.oRP oRPdl5. 一半径为一半径为a的带电球体，其电荷体密度为的带电球体，其电荷体密度为 , r 为球心到球体内任一点的距离。为球心到球体内任一点的距离。 求：球内外的电场强度。求：球内外的电场强度。2krr2krSS r解：由高斯定理得：解：由高斯定理得：24 rESdES ViidVq001aodrrkr220410554krrkrE025ar ViidVq001r0Saorar drrkrqi

13、i2200410aS aor2055rkarrkaE3055四四. 电势的计算电势的计算0pppl dEuiiuurdqu04kzujyuixuE1mv600400jiE ?,b,aab 之之间间的的电电势势差差和和点点则则点点0123解：解： baabl dE bajdyidxE=-2 10-2 103 3 （v v）0213600400dydx jdyidxjiba6004001. 一均匀静电场一均匀静电场,电场强度为电场强度为:qMaaPixqE方方向向解解：204 MPdxxqaa 2204aq08 PMxdE2. 在点电荷在点电荷q 的电场中，若取图中的电场中，若取图中P点处为电势零

14、点处为电势零点，则点，则 M 点的电势点的电势 =? 由电势叠加原理再解：由电势叠加原理再解：PMxdEMPxdExdExoMPxdExdEaq08 PM aqaq00424 3. 真空中两相同的均匀带电小球，半径为真空中两相同的均匀带电小球，半径为R。球。球心相距心相距d，分别带电量为，分别带电量为q和和-q。 1. 求球心连线上任意点的电势（以连心线中点为求球心连线上任意点的电势（以连心线中点为参考零点）；参考零点）； 2. 由电势梯度求连线上各点的场强。由电势梯度求连线上各点的场强。qqdxo解解: 1. 由电势叠加原理：由电势叠加原理：时时：dx qq)dx(xqd 042/4)(42/440000dqdxqdqxq时时：同同理理：dx 0)xd(xxd 2410时：时：0 x)xd(xqd 041dxxqdxxqddxdx2/202/2044qqdxoPM2、求场强、求场强:时dx 22)dx(KqxKqdxdEEx 4. 长为长为L,均匀带电为均匀带电为Q的细棒，如图示，求的细棒，如