选修系列球面上的几何

1、江西师范大学数信学院13学科数学：陈杰华球面上的几何球面上的几何非欧几何简史非欧几何简史1课程标准解读课程标准解读2细说球面几何细说球面几何3非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课程标准解读细说球面几何细说球面几何非欧几何简史非欧几何简史非欧几何简史：非欧几何简史： 1.为什么学习球面几何？为什么学习球面几何？ 2.球面几何发展史球面几何发展史.非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课程标准解读细说球面几何细说球面几何航海航海卫星定位卫星定位天体观测天体观测大地测量大地测量航空航空非欧几何简史非欧几何简史实际生活的需要实际生活的需要非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课程标准解读细说球面几何细说

2、球面几何非欧几何简史非欧几何简史 黎曼黎曼罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基鲍耶鲍耶高斯高斯普莱菲尔普莱菲尔萨开里萨开里欧几里德欧几里德公元前公元前300300年，欧几里德创作了年，欧几里德创作了几何原本几何原本，其中在几何方，其中在几何方面提出五面提出五条条公设，第五条公设，第五条“若若一条直线与另外两条直线相交一条直线与另外两条直线相交且使其一钡且使其一钡( (的内角和小于两个的内角和小于两个直角直角, ,则则该两条直线在该侧延长该两条直线在该侧延长后必后必相交相交”。17951795年苏格兰数学家、物理学年苏格兰数学家、物理学家家普莱菲尔提出普莱菲尔提出一条跟欧氏第一条跟欧氏第五公设等价的命题五公

3、设等价的命题, ,过己知直线过己知直线外一点能且只能作一条直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行与已知直线平行. .也叫作普莱菲也叫作普莱菲尔公设尔公设. .德国大数学家德国大数学家高斯高斯18171817年年, ,他确他确信信第五公设独立于第五公设独立于其他公设其他公设, ,并并开始得到了一系列非欧几何结开始得到了一系列非欧几何结论论, ,但是高斯但是高斯( (由于哲学由于哲学观点观点的的原因原因) )没有发表他的倒可证明与没有发表他的倒可证明与结论结论. .匈牙利数学家匈牙利数学家鲍耶鲍耶18231823年写成年写成了摈弃了摈弃第五公设的第五公设的空间的绝空间的绝对几何学对几何学, ,

4、给他父亲的信中叙给他父亲的信中叙述了自己对第五公设问题的研述了自己对第五公设问题的研究究, ,两年后两年后发表在他父亲一本书发表在他父亲一本书的附录中的附录中, ,其主要结论是首次说其主要结论是首次说明可能存在一种明可能存在一种全新全新的几何的几何. .俄罗斯俄罗斯数学家数学家罗巴切夫斯基采罗巴切夫斯基采用用了欧氏几何学除第五公设以了欧氏几何学除第五公设以外的所有公设外的所有公设, ,他他把欧几里德的把欧几里德的第五公设放到一边第五公设放到一边, ,提出了另外提出了另外一个公设一个公设: :过已知直线外的一过已知直线外的一个已知点至少可以作两条直线个已知点至少可以作两条直线和己知直线平行。证明

5、了三角和己知直线平行。证明了三角形的内角之和小于形的内角之和小于180180。18541854年德国数学家年德国数学家黎曼空间黎曼空间由由“长度长度”决定。把欧氏几何学决定。把欧氏几何学的第一的第一, ,第二第二, ,第五公设修改为第五公设修改为: :1.1.两个不同的点至少确定一条两个不同的点至少确定一条直线直线。2 2. .直线是无界的直线是无界的。5 5. .平平面上的倒可两条直线都直交。面上的倒可两条直线都直交。证明证明了三角形的内角之和大于了三角形的内角之和大于180180。非欧几何简史非欧几何简史项目项目欧氏几何欧氏几何罗氏几何罗氏几何黎曼几何黎曼几何两条不重合直线的相交情况两条不

6、重合直线的相交情况至多一个点至多一个点至多一个点至多一个点一个或两个一个或两个给定一直线给定一直线,与已知直线平行的条与已知直线平行的条数数唯一一条唯一一条至多两条至多两条没有没有两条平行线两条平行线等距等距不等距不等距不存在不存在如果一条直线与两平行线中一条如果一条直线与两平行线中一条相交，则与另一条相交，则与另一条必相交必相交不一定不一定不存在不存在垂直于同一条直线的不同直线的垂直于同一条直线的不同直线的关系关系彼此平行彼此平行平行平行相交相交三角形的内角和三角形的内角和等于等于180小于小于180大于大于180三角形的面积与其内角和的关系三角形的面积与其内角和的关系无关无关反比反比反比反

7、比对应角相等的两个三角形的关系对应角相等的两个三角形的关系相似相似全等全等全等全等非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课程标准解读细说球面几何细说球面几何课程标准解读课程标准解读非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课程标准解读细说球面几何细说球面几何课程标准解读课程标准解读非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课程标准解读细说球面几何细说球面几何课程标准解读课程标准解读非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课程标准解读细说球面几何细说球面几何课程标准解读课程标准解读非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课程标准解读细说球面几何细说球面几何课程标准解读课程标准解读非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课

8、程标准解读细说球面几何细说球面几何细说球面几何细说球面几何 欧拉公式欧拉公式 球面三角形的性质球面三角形的性质23 球面上的基本定义球面上的基本定义1非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课程标准解读细说球面几何细说球面几何球面上的基本定义球面上的基本定义定义定义1 1 三维空间三维空间中与一个定点中与一个定点O O的距的距离等于离等于r r的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做球面球面。定点定点O O叫做叫做球心球心，等距离的长，等距离的长度度r r叫做球的叫做球的半径半径（或者半径（或者半径为为r r的半圆绕直径旋转一周所的半圆绕直径旋转一周所得旋转面叫做球面得旋转面叫做球面) )，通常把，通常把半径

9、长度为半径长度为1 1的球面叫的球面叫单位球单位球面面P P定义定义2 2 如果直线如果直线l l与球面与球面S S相切，它们相切，它们有唯一公共点，则这公共点有唯一公共点，则这公共点P P为为切点切点定义定义3 3 如果直线与球面如果直线与球面S S相交，则它相交，则它们交于两点，当直线经过球心们交于两点，当直线经过球心时，这两个交点称为时，这两个交点称为对径点对径点，譬如譬如A A、AA定义定义4 4 通过通过球心的平面截球面所得截球心的平面截球面所得截口是一个圆，它叫做口是一个圆，它叫做大圆大圆；不；不过球心的平面截球面所得的截过球心的平面截球面所得的截口也是一个圆，它叫做口也是一个圆，

10、它叫做小圆小圆。非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课程标准解读细说球面几何细说球面几何球面上的基本定义球面上的基本定义定义定义5 5 过球面上两点的大圆叫做这两过球面上两点的大圆叫做这两点的点的球面直线球面直线，过球面上两点，过球面上两点的大圆的劣弧叫做连接这两点的大圆的劣弧叫做连接这两点的线段，即这两点的的线段，即这两点的球面距离球面距离非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课程标准解读细说球面几何细说球面几何球面上的基本定义球面上的基本定义定义定义6 6 设设c c是球面上的一个大圆，是球面上的一个大圆，则在球面上存在一对对则在球面上存在一对对径点径点P P和和P,P,使得直径使得直径PP

11、PP垂直大圆垂直大圆c c所在平面，我所在平面，我们把对径点们把对径点P P、PP叫做叫做大圆大圆c c的的极点极点非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课程标准解读细说球面几何细说球面几何球面上的基本定义球面上的基本定义定义定义6 6 设设P P是球面上任意一点，是球面上任意一点，P P是它的对径点是它的对径点, ,那么那么存在唯一一个大圆，使存在唯一一个大圆，使得得P P、PP是是大圆大圆c c的极点，的极点，我们把大圆我们把大圆c c叫做点叫做点P P的的极线极线非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课程标准解读细说球面几何细说球面几何球面上的基本定义球面上的基本定义定义定义7 7 两两大圆

12、相交所成之角，叫做大圆相交所成之角，叫做球球面角面角。其交点叫做球面角的。其交点叫做球面角的顶顶点点，大圆弧叫做这球面角的，大圆弧叫做这球面角的边边。 一般一般，球面角是以过顶点的圆，球面角是以过顶点的圆弧的二切线所夹的角来度量弧的二切线所夹的角来度量的的非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课程标准解读细说球面几何细说球面几何球面上的基本定义球面上的基本定义注重定义定义8 8 球面球面上相交于三点的三个大圆上相交于三点的三个大圆弧所围成的球面上的一部分弧所围成的球面上的一部分,叫叫做球面三角形做球面三角形.这三个大圆弧叫这三个大圆弧叫做球面三角形的边做球面三角形的边.通常用小写通常用小写拉丁字

13、母拉丁字母a ,b ,c 来表示来表示.各大圆各大圆弧所成的球面角，叫做球面三弧所成的球面角，叫做球面三角形的角，通常大写拉丁字母角形的角，通常大写拉丁字母A,B,C来表示来表示.这三个边与三个角这三个边与三个角统称为球面三角形的六个元素统称为球面三角形的六个元素.非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课程标准解读细说球面几何细说球面几何球面三角形的性质球面三角形的性质注重非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课程标准解读细说球面几何细说球面几何注重定义定义9 在在同球或等球面上，若两球面三角同球或等球面上，若两球面三角形的对应边和角分别相等，而且排形的对应边和角分别相等，而且排列顺序相同，则称这

14、两个球面三角列顺序相同，则称这两个球面三角形全等形全等. .非欧几何简史非欧几何简史课程标准解读课程标准解读细说球面几何细说球面几何球面三角形的性质球面三角形的性质球面三角形的全等判定球面三角形的全等判定u定理定理1 如果两个球面三角形的三对边对应相等，则这两球面如果两个球面三角形的三对边对应相等，则这两球面三角形相等，即全等或对称三角形相等，即全等或对称（SSS）。u推论推论 如果两个球面三角形的三对角对应相等，则这两球面如果两个球面三角形的三对角对应相等，则这两球面三角形相等，即全等或对称三角形相等，即全等或对称（AAA）。u定理定理2 如果两个球面三角形有两对边对应相等，并且它们的如果两个球面三角形有两对边对应相等，并且它们的夹角也相等，则这两球面三角形相等，即全等或对称夹角也相等，则这两球面三角形相等，即全等或对称（SAS） 。u推论推论 如果两个球面三角形有两对角对应相等而且它们的夹如果两个球面