第二十二讲(晶体的各向异性)

1、晶体的压电性质晶体的压电性质 晶体的各向异性 晶体的对称性与对称操作 晶体的结构是以一个抽象的几何图形代表的一组原子，这种几何图形具有一定的对称性，这种对称性就称为晶体的宏观对称性，如果深入到晶体结构内部，研究以空间点阵方式无限分布的各种质点的分布规律，这种对称性称晶体的微观对称性。 晶体的对称性与对称操作 微观对称：晶体在微观研究中作为一个周期性的不连续的结构所表现出来的对称，经过对称操作后晶体中每一点都移动到具有相同电子密度的另一点，微观对称的对称元素是平移，滑移反射面和螺旋轴； 宏观对称：晶体在宏观观察（宏观物理性质测试）中作为一个均匀的连续的各向异性的物体所表现出来的对称，经过对称操作

2、后晶体宏观物理性质不变，宏观对称的对称元素是旋转轴和旋转反演轴（包括对称中心和对称面）； 称操作（对称变换）：能使某一图形作有规律重复操作或变换。保持晶体内任意两点之间距离不变，把晶体移到与原始位置不能区别的位置上的操作，经过对称操作后，晶体的所有性质不变 晶体的对称性与对称操作 进行对称操作时所凭借的几何元素称对称素，晶体只有为数不多的几种对称素，这些对称素组合而产生的对称类型也是有限的； 对称元素：对称操作所依赖的几何元素（点、轴、面），宏观对称的对称元素是旋转轴和旋转反演轴，包括对称中心和对称面；微观对称的对称元素是平移，滑移反射面和螺旋轴； 宏观对称素：对称中心（i）；对称面（m） 晶

3、体的对称性与对称操作晶体的对称性与对称操作晶系名称晶系名称 晶轴上的周期晶轴上的周期 晶轴间的夹角晶轴间的夹角 三斜晶系abc90单斜晶系abc =90， 90正交晶系abc=90四方晶系a=bc=90六角晶系a=bc=90， =120三角晶系a=b=c=90立方晶系a=b=c=90晶体的对称性与对称操作 对称操作晶体的对称性与对称操作晶体的对称性与对称操作晶体的物理性质 晶体的物理性质是晶体本身所固有的一种属性，晶体的物理性质大多是各向异性的，而这些物理量可以用张量来表征。 张量的定义：其是一种物理量，在坐标变换时，其是一种物理量，在坐标变换时， 只改变表达形式，不改变物理本质。只改变表达形

4、式，不改变物理本质。在三维实空间，用在三维实空间，用3n个分量来表征的物理量称个分量来表征的物理量称n阶张量，故有：阶张量，故有：1. 零阶张量（标量，一个分量）2. 一阶张量（三个分量；矢量）3. 二阶张量（九个分量）4. 三阶张量（二十七个分量）晶体的物理性质 标量：没有方向性的物理量，用一个与任何参考轴无 关的简单数来确定TWVUS（密 度）C（比热） 矢量：有确定方向和大小的物理量，共有三个分量 ),(321EEEE ),(321PPPP ),(321DDDD 晶体的物理性质 二阶张量：二阶张量：由九个分量所确定，二阶张量把两个矢量 联系起来 例如：例如： jijiED33323123

5、2221131211ij是一个二阶张量是一个二阶张量 jkijkiTdP klijklijTsS 三阶张量：三阶张量：27个分量组成。三阶张量可把矢量和二阶张量联系起来。例电场强度与应力的关系即压电效应用三阶张量的压电系数 四阶张量：四阶张量：81个分量。 klijklijScT 晶体的物理性质诺埃曼原理：诺埃曼原理：晶体对称性与晶体宏观物理性质是有联系的，即：晶体的任一物理性质所拥有的对称元素，必须包含晶体所属晶类的对称元素。也就是，晶体的宏观物理性质可以而且经常具有比晶类更高的对称性。思考：意义思考：意义以及重要性以及重要性晶体的物理性质坐标变换 设原坐标系统为Z1Z2Z3，新坐标系统为3

6、21ZZZ其满足如下关系（正交坐标系）：333232131332322212123132121111ZaZaZaZZaZaZaZZaZaZaZ321333231232221131211321ZZZaaaaaaaaaZZZ晶体的物理性质321332313322212312111321ZZZaaaaaaaaaZZZ将上式写成张量形式：jjijjijiZaZaZ 注意其简写形式注意其简写形式同时新坐标系统也可由原坐标系统表示如下：jjjijjiiZaZaZ晶体的物理性质在直角坐标系中，坐标变换矩阵中元素应满足：1232221iiiaaa1232221iiiaaa0023131212211132312

7、2211211aaaaaaaaaaaa晶体的物理性质ijkjkijkikaaaa思考：思考：以上关系如何推导以上关系如何推导晶体的物理性质张量空间变换 jijiEDjjiiEaE ttjijjijiEaEDjijiDaD ttjijpiipipEaaDaDpt晶体的物理性质mnoplpkojnimijklTaaaaTjkllpoknjmimnopiTaaaaT对于多阶张量，同理仍有以下关系：对于多阶张量，同理仍有以下关系：晶体宏观物理性能随空间方向变化的理论依据理论依据：空间中任何的转动都可以依据欧拉转动定理 （Eulers rotation theorem)用三个欧拉角来 描述。欧拉角：是三

8、个连续转动的角度，三次转动可以给出三 个转动矩阵。根据绕不同坐标轴的不同转动次 序，在实际应用中有一些惯例。“x惯例”：对于坐标系xyz,首先绕z轴逆时针旋转 角，得 到新坐标系 ；再绕 轴逆时针旋转 角，得 到坐标系 ；最后再绕 轴逆时针旋转 角，此时得到坐标系xyz。晶体宏观物理性能随空间方向变化的理论依据 设xyz绕z轴旋转的坐标变换矩阵为D，则 设 绕 轴转动的变换矩阵为C，则 最后绕 轴的变换矩阵为B，则 设直接的坐标变换为： ，则： A=BCD晶体宏观物理性能随空间方向变化的理论依据DxCBx Axx 晶体宏观物理性能随空间方向变化的理论依据1000cossin0sincosBcossin0sincos0001C1000cossin0sincosD物理性能随空间方向变化（例） 4mm 以钛酸钡晶体为例：00000000000003331311515ddddd