斯托克斯公式环流量与旋PPT课件

1、n 是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正向边界曲线 右手法则右手法则dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx第1页/共20页 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscos另一种形式另一种形式cos,cos,cos n其中其中便于记忆形式便于记忆形式第2页/共20页StokesStokes公式的实质公式的实质: : 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系上的曲线积分之间的关系. .斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形

2、特殊情形( (当是当是xoy面的平面闭区域时面的平面闭区域时) )第3页/共20页解解取取为为平平面面23 zyx的的上上侧侧被被 所所围围成成的的部部分分. .则则1 , 1 , 131 nzxyo n 二、简单的应用二、简单的应用第4页/共20页即即,31coscoscos dSyxxzzyzyxI 222222313131 dSzyx)(34 dS2334 xyDdxdy332.29 )23( zyx上上在在xyD23 yx21 yx第5页/共20页三、物理意义三、物理意义-环流量与旋度环流量与旋度.),(),(),(),(按所取方向的环流量按所取方向的环流量沿曲线沿曲线称为向量场称为向

3、量场上的曲线积分上的曲线积分中某一封闭的有向曲线中某一封闭的有向曲线则沿场则沿场设向量场设向量场CARdzQdyPdxsdACAkzyxRjzyxQizyxPzyxACC 1. 1. 环流量的定义环流量的定义: :第6页/共20页SdRQPzyxkjisdAC 环流量环流量利用利用stokesstokes公式公式, , 有有2. 2. 旋度的定义旋度的定义: :. )(ArotRQPzyxkji为向量场的旋度为向量场的旋度称向量称向量 第7页/共20页.)()()(kyPxQjxRzPizQyR RQPzyxkjiArot 旋度旋度第8页/共20页斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式

4、dstAdSnArot dsAdSArottn)(或或其中其中 cos)(cos)(cos)()(yPxQxRzPzQyRnArotArotn coscoscosRQPnAAt ,coscoscoskjin 的单位法向量为的单位法向量为kjit coscoscos 的单位切向量为的单位切向量为第9页/共20页StokesStokes公式的物理解释公式的物理解释: :向量场向量场A沿有向闭曲线沿有向闭曲线 的环流量等于向量场的环流量等于向量场A的旋度场通过的旋度场通过 所张的曲面的通量所张的曲面的通量.(.( 的正的正向与向与 的侧符合右手法则的侧符合右手法则) ) 第10页/共20页zyxkj

5、iArot的外法向量,计算解解: ) 1,0,0( dxdySIdcos yxyxDdd28232zxy, 4:222zyx例例2. 设设),3,2(2zxyA .drotSnAI)cos,cos,(cosn为n第11页/共20页四、小结四、小结斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式 RQPzyxdxdydzdxdydz dSRQPzyx coscoscos dstAdSnArot RdzQdyPdx第12页/共20页逆时针方向。逆时针方向。轴正向向原点看去沿着轴正向向原点看去沿着从从，的交线的交线与与是是其中其中，练习：求练习：求xbabyaxayxdzyxdyxzdxzy

6、)0,(1)()()(I222 BOOK P480例例1第13页/共20页斯托克斯斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家. 他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一, 其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法, 在1845年他导出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之 为纳维 斯托克斯方程 ), 1847年先于 柯西提出了一致收敛的概念. 他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式. 他一生的工作先后分 五卷 出版 .第14页/共20页xyzo),(:yxfz xyD Cn证明证明设设与与平平行行于于z轴轴的的直直线线相相交交不不多多于于一一点点, , 并并取取上上

7、侧侧, ,有有向向曲曲线线 C C 为为的的正正向向边边界界曲曲线线 在在xoy的的投投影影. .且且所所围围区区域域xyD. .如图如图第15页/共20页思路思路曲面积分曲面积分二重积分二重积分曲线积分曲线积分12dSyPzPdxdyyPdzdxzP)coscos( 代入上式得代入上式得又又,coscos yf dSfzPyPdxdyyPdzdxzPy cos)( 第16页/共20页dxdyfzPyPdxdyyPdzdxzPy)( 即即,),(,dxdyyxfyxPydxdyyPdzdxzPxyD yfzPyPyxfyxPy ),(,1第17页/共20页 cDdxyxfyxPdxdyyxfyxPyxy),(,),(,dxyxfyxPdxdyyPdzdxzPc ),(,即即根椐格林公式根椐格林公式平面有向曲线2,),(dxzyxPdxdyyPdzdxzP 空间有向曲线第18页/共20页,),(dyzyxQdydzzQd