椭圆第一定义的相关应用

1、椭圆的定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距.记：平面内点M与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（即|MF1|+|MF2|=2a），两焦点的距离为2c。（1）当2a=2c时, 点M的轨迹为线段F1F2（2）当2a2c时,点M的轨迹是为椭圆0 12222babyax 0 12222babxay图 形方 程焦 点F(c，0)在轴上F(0，c)在轴上a,b,c之间的关系c2=a2-b2P=M|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定 义12yoFFMx1oFyx2FM注:哪个分母大，

2、焦点就在相应的哪条坐标轴上！椭圆的标准方程：例1.已知ABC的一边BC固定，长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程。yoBCAx解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆，且焦点在x轴上，所以可设椭圆的标准方程为 ：) 0( 12222babyax1162522 yx 2a=10, 2c=6 a=5, c=3 b2=a2c2=5232=16顶点A的轨迹方程为 思考：焦点建在 Y轴上的椭圆的标准方程呢？)0( y应用1：例题|AB|+|BC|+|CA|=20且且|BC|=8,|AB|+|AC|=12|BC|,点点A的轨迹是以的轨迹是以B C为

3、焦点的椭圆为焦点的椭圆(除去除去与与x轴的交点轴的交点).且且2a=12,2c=8,及及a2=b2+c2得得a2=36,b2=20.故点故点A的轨迹方程是的轨迹方程是 (y0).2213620 xy练习：已知ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程.解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示的直角坐标系,则B C两点的坐标分别为(-4,0) (4,0).定义法变式1：在三角形ABC 中 ，B(-3,0)，C(3,0),且三边长 |AC|, |BC| , |AB|成等差数列，求顶点 A的轨迹方程。 变式2：在三角形ABC中，B（0，-3），C（0，3）且 sinB+

4、sinC=2sinA,求顶点A的轨迹方程。变式3：在三角形ABC中，BC=24，AC,AB边上的中线 长之和等于39，求三角形ABC的中心的轨迹方程。例2. 已知经过椭圆 的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB交椭圆于A,B两点，F1是椭圆的左焦点。 （1）求三角形AF1B的周长 （2）如果AB不垂直于x轴，三角形AF1B的周长 有变化吗？为什么？yoF1F2Ax1162522 yxB解（1）三角形AF1B的周长为 |AF1|+|BF1|+|AB|= |AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|又又A,B两点在椭圆上 |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a（椭圆定义）（椭圆定义）

5、例题应用2：椭圆方程为 a2=25 a=5 |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a=10三角形的周长为三角形的周长为20。1162522 yx（2）三角形AF1B的周长不会发生变化。 三角形AF1B的周长=|AF1|+|BF1|+|AB|= |AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2| A,B两点在椭圆上， |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a=20始终成立始终成立所以三角形的周长不会发生变化。所以三角形的周长不会发生变化。变式：已知椭圆的焦点F1，F2在x轴上，且a=2c，过 F1的直线l脚椭圆于AB两点，且三角形ABF2 的周长为16，那么椭圆的标准方程

6、是？例3.已知椭圆 的左右焦点为F1，F2。 点P是椭圆上任意一点，求|PF1|.|PF2|的最大值。 1162522 yx解：由椭圆方程可知，a=5， |PF1|.|PF2| (|PF1|+|PF2|)24=25当且仅当|PF1|=|PF2| =5时等号成立。所以|PF1|.|PF2| 的最大值为25应用3：例题P的最大值）（的面积）三角形（求若是两个焦点上的一点，是椭圆：例212102121222160,1641003PFPFPFFPFFFFyxP变式100100)2(22010)2(3364sin2132561443201443)(1441260cos2-) 1 (20212122121

7、21212121212121221221212221202122212121的最大值为”成立时“当且仅当，又中由余弦定理知在，解：由椭圆定义知PFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFaPFFPFPFSPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFFPFPF2tan1221PFFbPFFS焦点三角形面积公式：应用4：例：已知点A（-2，0），B 是圆F（x-2）2+y2=64 上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P,求动 点P的 轨迹方程.例题变式：习题2.1A组第7题变式：已知点A（-1/2，0），B 是圆F（x-1/2）2+y2=4 上一动点，线段A

8、B的垂直平分线交BF于点P,则动 点P的 轨迹方程是什么？ 相关点法求椭圆方程 例、在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？422 yxoxy例题应用5：变式：已知点M在椭圆x2+4y2=36上，MP0垂直于椭圆焦点所在直线，垂足为P0，且M为线段PP0的中点，求点P的轨迹方程。变式：习题2.1B组第1题 x2+y2=36的轨迹。求点上，并且在点垂线段轴作向从这个圆上任意一点变式：已知圆MMPPMPPMPPxPyx, 2, 922yxoPPM2219xy 的轨迹方程。，求点之积是，且他们的斜率相交于点直线），的坐标分别为（

9、、：如图，设例M94-MBMAM,).0 , 5(,05BA4ABMxyo交轨法求椭圆方程变式：36页练习第四题例题应用6：例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0并且经过点 ， 求它的标准方程.)23,25( 解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为).0( 12222 babyax由椭圆的定义知102)23()225()23()225(22222 a所以.10 a又因为 ,所以2 c. 6410222 cab因此, 所求椭圆的标准方程为. 161022 yx应用7： 给定条件求椭圆方程解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为).0( 12222 babyax)0 , 2(),0 , 2( 焦点的坐标分别是焦点的坐标分别是又又2 c422 ba1)()(22232225 ba又由已知又由已知联立,61022 ba，解得解得因此, 所求椭圆的标准方程为. 161022 yx求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定a、b的值， 写出椭圆的标准方程.。两两点点的的椭椭圆圆的的标标准准方方程程且且经经过过：求求以以对对称称轴轴为为坐坐标标轴轴变变式式)1 ,3