线性控制系统的能控性与能观测性ppt课件

1、电气信息学院现代控制理论课程 能控性定义能控性定义 能控性能控性 能观测性及其判据能观测性及其判据 离散系统的能控性和能观测性离散系统的能控性和能观测性 能控性与能观测性的对偶关系能控性与能观测性的对偶关系 能控和能观测规范型能控和能观测规范型 系统的构造分解系统的构造分解 传送函数的实现传送函数的实现 能控性和能观测性与零极点的关系能控性和能观测性与零极点的关系主要内容主要内容20世纪世纪60年代初，由卡尔曼提出，与形状空间年代初，由卡尔曼提出，与形状空间描画相对应。描画相对应。能观测性：反映了输出对系统形状的判别才干。能观测性：反映了输出对系统形状的判别才干。 形状能否由输出反映估计问题形

2、状能否由输出反映估计问题 指外输入指外输入u(t) 对系统形状变量对系统形状变量x(t)和输出变量和输出变量y(t)的支配才干，它回答了的支配才干，它回答了u(t)能否使能否使x(t)和和y(t)作恣意转作恣意转移的问题。移的问题。 有些形状分量能受输入有些形状分量能受输入u(t)的控制，有些那么能的控制，有些那么能够不受够不受u(t)的控制。的控制。 受受u(t)控制的形状称为能控形状，不受控制的形状称为能控形状，不受u(t)控制控制的形状称不能控形状。的形状称不能控形状。 1x2x1 s1 s2 3 yu显然，显然， 只能控制只能控制 而不能影响而不能影响 ，我们称，我们称形状变量形状变量

3、 是可控的，而是可控的，而 是不可控的。只是不可控的。只需系统中有一个形状变量是不可控的，那么该需系统中有一个形状变量是不可控的，那么该系统是形状不可控的。系统是形状不可控的。u1x2x1x2x+L例2:取 和 作为形状变量,u输入, y= -输出.Licucu-uLi1R3R2R4R(1)当3241RRRR形状可控(2)当3241RRRRu只能控制，形状不可控0cu Licu假设存在一个分段延续的输入假设存在一个分段延续的输入u(t)，能在，能在 的有的有限时间内使得系统的某一初始形状限时间内使得系统的某一初始形状 转移到任一转移到任一终端形状终端形状 ，那么称此形状是能控的。假设系统，那么

4、称此形状是能控的。假设系统的一切形状都是能控的，那么称系统是形状完全能的一切形状都是能控的，那么称系统是形状完全能控的。控的。,0ftt)(0tx)(ftx对于线性定常系统：对于线性定常系统：初始形状为形状空间恣意非零有限点；终端形状初始形状为形状空间恣意非零有限点；终端形状为形状空间原点，即零态。为形状空间原点，即零态。假设存在一个分段延续的输入假设存在一个分段延续的输入u(t)，能在，能在 的有的有限时间内使得系统的某一初始形状限时间内使得系统的某一初始形状 转移到零转移到零态态 ，那么称系统是形状能控的。，那么称系统是形状能控的。,0ftt)(0tx0)( ftx初始形状为形状空间原点，

5、即零态；终端形状为形初始形状为形状空间原点，即零态；终端形状为形状空间恣意非零有限点。状空间恣意非零有限点。假设存在一个分段延续的输入假设存在一个分段延续的输入u(t)，能在，能在 的有的有限时间内使得系统从零态限时间内使得系统从零态 转移到恣意非零转移到恣意非零形状形状 ，那么称系统是形状能达的。，那么称系统是形状能达的。,0ftt0)(0 tx)(ftxBuAxx.BuJxx.iiBnnlJJJ00J21rnl21BBBBr21iiiiiiBBBBiiiiiiJ111系统的线性变换不改动系统的能控性。系统的线性变换不改动系统的能控性。BuAxx n ,.,21uBxxn 0021 中，中，

6、 不包含元素全为不包含元素全为0的行。的行。Buxxxxxx 7521000500073213211uxxxxxx 570410100050007321321形状完全能控形状完全能控3形状完全能控形状完全能控uxxxxxx 902100050007321321形状不完全能控形状不完全能控X2 形状不能控形状不能控2中，中， 阵中与每个约当小块阵中与每个约当小块 最后一行所对应的元素不全为零。最后一行所对应的元素不全为零。BuAxx uBxJJJxk0021 B),.,2 , 1(kiJi 42412221bbbb假设假设 行线性无关，那么形状能控行线性无关，那么形状能控ubbbbbbbbxxx

7、xx 424132312221121143211111010001 对于：对于：uxxxxxxxx 010000200101101100401443214321形状完全能控形状完全能控形状完全能控形状完全能控uxxxxxx 340200040014321321uxxxxxxxx 231000321101401400401443214321形状完全能控形状完全能控uxxxxxxxx 963000321101401400401443214321形状不完全能控形状不完全能控uxxxxxx 030024200040014321321形状不完全能控形状不完全能控X2 形状不能控形状不能控对于线性延续定常

8、系统：对于线性延续定常系统： 形状完全能控的形状完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：充分必要条件是其能控性判别矩阵：BuAxx M12BABAABBnnBABAABBrankranknM12满秩满秩即：即：证明目的：证明目的：对系统的恣意的初始形状对系统的恣意的初始形状 ，能否找到输入，能否找到输入u(t)，使之在使之在 的有限时间内转移到零的有限时间内转移到零 。那么。那么系统形状能控。系统形状能控。,0ftt)(0tx0)( ftx ttdButtxtttx0)()()()()(00 知：线性定常非齐次形状方程的解为：知：线性定常非齐次形状方程的解为： fttdButtx0)()()

9、(00 2由由1式得：式得：0)()()()()(000 fttfffdButtxtttx 将将 代入上式：代入上式：ftt 110( )ntjjjea tAA由凯利哈密顿定理由凯利哈密顿定理 有：有： 100)(0)()(0njjjtAAtaet 3 fffffttnnttttttjnjjttnjjjdutaBAdutaABdutaBdutaBAdBuAtatx00000)()()()()()()()()()()(01101000101000 4将将3式代入式代入2式得：式得：1, 1 , 0,)()(00 njdutaUfttjj 5令：令：6将将5式代入式代入4式得：式得：0110011

10、-1( )()nnTnTTTt xBUABUABUBABA BUUUMUn n- -1 1由以上可以看出式由以上可以看出式6中各参数维数如下：中各参数维数如下：0( )n 1n r,n r,n nrr 1,nr 1jt为维向量为维为维为维向量为维为维向量xBABMUUTrankrankMMM 式式6是关于是关于U的非齐次方程组。由线性代数知识知道，的非齐次方程组。由线性代数知识知道，其有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即：其有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即：)(M)M(0txrankrank由于由于x(t0)恣意，所以，必需有：恣意，所以，必需有：nrank)M(uxx

11、xxxx 102101110221321321 500114101110221114102101110221,1022BAABB1构造能控性判别矩阵：构造能控性判别矩阵：故系统的形状完全可控故系统的形状完全可控3511010042M rankrank2求能控性判别矩阵的秩：求能控性判别矩阵的秩： 21321321111112310020231uuxxxxxx故系统形状不完全能控。故系统形状不完全能控。32000424249494959424249424249494959442211442211452312442211442211452312)(MMM11rankrankrankBAABBBAA

12、BBrankrankrankTTnnT指由系统的输出指由系统的输出y(t)识别形状变量识别形状变量x(t)的才干，它回答的才干，它回答了形状变量能否由输出反映出来。了形状变量能否由输出反映出来。有些形状可以经过输出有些形状可以经过输出y(t)确定下来，有些形状那么不确定下来，有些形状那么不能能能经过能经过y(t)确定下来的形状称为能观形状，不能经过确定下来的形状称为能观形状，不能经过y(t)确定下来的形状称为不能观形状。确定下来的形状称为不能观形状。uy 1x 1x2x 2x1 s1 s32显然输出显然输出 中只需中只需 ，而无，而无 ，所以从，所以从 中中不能确定不能确定 ，只能确定，只能确

13、定 。我们称。我们称 是可观测是可观测的，的， 是不可观测的。是不可观测的。y2x1x1x2x1x2xy一、能观测性的定义一、能观测性的定义+L例2:取 和 作为形状变量,u输入, y= -输出.Licucu-uLi1R3R2R4R(1)当3241RRRR形状可观测(2)当3241RRRRu只能控制，形状不可观测0cu Licu 假设对恣意给定的输入假设对恣意给定的输入u(t)，存在一有限观测时，存在一有限观测时间间 ，使得根据，使得根据 期间的输出期间的输出 能独一地能独一地确定系统在初始时辰的形状确定系统在初始时辰的形状 ，那么称形状，那么称形状 是能观测的。假设系统的每一个形状都是能观测

14、的，是能观测的。假设系统的每一个形状都是能观测的，那么称系统是形状能观测的。那么称系统是形状能观测的。,0ftt)(0tx0ttf )(ty)(0tx1、能观测性规定为初始形状确实定。恣意形状可在、能观测性规定为初始形状确实定。恣意形状可在输入作用下由形状转移矩阵得到。输入作用下由形状转移矩阵得到。 ttdButtxtttx0)()()()()(00 2、能观测性是研讨输出反映形状向量的才干，即经、能观测性是研讨输出反映形状向量的才干，即经过输出量在有限时间内的量测，能否把系统的形状过输出量在有限时间内的量测，能否把系统的形状识别出来。识别出来。由于输入引起的输出可计算，所以分析观测性时，由于

15、输入引起的输出可计算，所以分析观测性时，常令常令u恒等于恒等于0。1、约当规范型判据、约当规范型判据 1线性系统线性系统 具有两两相异的特征值具有两两相异的特征值 那么其形状完全能观测的充分必要条那么其形状完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇特变换后的对角线规范型：件是系统经线性非奇特变换后的对角线规范型：CxyAxx ,n ,.,21 中，中， 不包含元素全为不包含元素全为0的列。的列。xCyxxn ,0021 C 不能观测不能观测状态不完全能观测状态不完全能观测154010507xxyxx 状状态态完完全全能能观观测测 xyx，中， 阵中与每个约当小块阵中与每

16、个约当小块 首列所对应的列，其元素不全为零。首列所对应的列，其元素不全为零。xCyxJJJxk,0021 C),.,2 , 1(kiJi CxyAxx , 24232221141312111111,010001cccccccccA 23211311cccc列线性无关，那么形状能观测列线性无关，那么形状能观测不不能能观观测测状状态态不不完完全全能能观观测测1111001103001320012)2xxyxx 状状态态完完全全能能观观测测 xyxx0011101111201200300130013)1列列线性相关、状态不完全能观测31101001112001220012) 3xyxx 对于线性延续

17、定常系统：对于线性延续定常系统： 形状形状完全能观测的充分必要条件是其能观测性判完全能观测的充分必要条件是其能观测性判别矩阵：别矩阵：CxyAxx ,nrankQo 满秩满秩即：即： TTnTTTTnoCACACCACACQ11)( xyuxx154,1006116100010 156176154N156611610001017617661161000101541542CACAC1构造能观测性判别矩阵：构造能观测性判别矩阵：32156176154N rankrank 故此系统不是形状完全能观测的故此系统不是形状完全能观测的xyuxx 0101,113112故此系统是形状完全能观测的故此系统是形

18、状完全能观测的2N,12120101N121231120101rankCACCA构造能观测性判别矩阵，并判别其秩：构造能观测性判别矩阵，并判别其秩：假设存在控制序列假设存在控制序列u(0)，u(1)，u(l-1)(ln)能将某能将某个初始形状个初始形状x(0)=x0在第在第l步上到达零态，即步上到达零态，即x(l)0，那，那么称此形状是完全能控的。假设系统的一切形状都是能么称此形状是完全能控的。假设系统的一切形状都是能控的，那么称系统是形状能控的。控的，那么称系统是形状能控的。 )()()()()()1(kDukCxkykHukGxkx对于对于n阶线性定常离散系统：阶线性定常离散系统：HGGH

19、Hn 1MnHGGHHrankrankn1M满秩满秩即：即：线性定常离散系统形状完全能控的充分必要线性定常离散系统形状完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：条件是其能控性判别矩阵： 321121011220001121101011220001,1012HGGHH故系统形状完全能控。故系统形状完全能控。首先构造能控判别阵：首先构造能控判别阵：nrank 3M311220111M2HGGHH所以能控性判别阵为：所以能控性判别阵为：求能控性判别阵的秩：求能控性判别阵的秩：)(101)()()(011220001)1()1()1(321321kukxkxkxkxkxkx 假设根据有限个采样周期内丈

20、量的假设根据有限个采样周期内丈量的y(0)，y(1)，y(l)，可以独一地确定出系统的恣意初始形状，可以独一地确定出系统的恣意初始形状x0 ，那么称那么称x0为能观测形状。假设系统的一切形状都是为能观测形状。假设系统的一切形状都是能观测的，那么称系统是形状能观测的。能观测的，那么称系统是形状能观测的。 )()()()()()1(kDukCxkykHukGxkx对于对于n阶线性定常离散系统：阶线性定常离散系统： 对于线性离散定常系统，其形状完全能观测的对于线性离散定常系统，其形状完全能观测的充要条件是其能观测性判别矩阵：充要条件是其能观测性判别矩阵：nrankN满秩满秩即：即：TTnTTTTnC

21、GCGCCGCGC11)(N)(010001)(),(210021002)1(kxkykxkx 0400042100210020210020210022100210020100012CGCG32040004021002010001N2rankCGCGCrankrank系统形状系统形状不完全能观测不完全能观测知延续系统：知延续系统：是形状完全能控且能观测的。请写出其离散化方程，并确是形状完全能控且能观测的。请写出其离散化方程，并确定使相应的离散化系统能控且能观测的采样周期定使相应的离散化系统能控且能观测的采样周期T的范围。的范围。 xyuxx01,100110 先求延续系统的形状转移矩阵：先求延

22、续系统的形状转移矩阵： ttttssssssLssLAsILetAtcossinsincos)1/()1/(1)1/(1)1/(11)()(222211111 所以：所以： ttttTGcossinsincos)( ttdtttttBdttHTTsincos110cossinsincos)(00 0) 1(cossin2sincossin2sinsincoscoscos1M22TTTTTTTTTTGHH要使系统形状能控，那么能控判别阵的行列式非零，即：要使系统形状能控，那么能控判别阵的行列式非零，即：0sinsincos01NTTTCGC要使系统形状能观测，那么能观测判别阵的行列式非零，即：要

23、使系统形状能观测，那么能观测判别阵的行列式非零，即：), 2 , 1(, kkT 联立上联立上2式可知，要使离散化后系统能控且能观测，式可知，要使离散化后系统能控且能观测，T必需满足：必需满足：2、对于线性延续定常系统假设是能控和能观测的，、对于线性延续定常系统假设是能控和能观测的，那么其离散化后的系统不一定是能控和能观测的。那么其离散化后的系统不一定是能控和能观测的。故，线性延续定常系统离散化后，系统的能控和能故，线性延续定常系统离散化后，系统的能控和能观测性变差了。观测性变差了。结论：结论：线性系统线性系统1、2如下：如下： *xCyuBxAx CxyBuAxx 1： 2：假设满足如下关系

24、，那么称两系统是互为对偶的：假设满足如下关系，那么称两系统是互为对偶的：TTTBCCBAA *,输入输入r维，输出维，输出m维维1：2：输入输入m维，输出维，输出r维维1互为对偶的系统，其传送函数阵是互为转置的。互为对偶的系统，其传送函数阵是互为转置的。2互为对偶的系统，其特征方程是一样的。互为对偶的系统，其特征方程是一样的。)(W)()()()()(W1111*1*2sBAsICCAsIBCAsIBBAsICsTTTTTTTT0)(* AsIAsIAsIAsITT假设假设 能控，那么能控性矩阵能控，那么能控性矩阵 满秩。即满秩。即设设 和和 是互为对偶的两个系统，那么是互为对偶的两个系统，那

25、么 的能控性等价于的能控性等价于 的能观测性；的能观测性； 的能观的能观测性等价于测性等价于 的能控性。的能控性。12 1 2 1 2 1 cQnBAABBrankrankn1M2 的能观测性矩阵为：的能观测性矩阵为：所以所以 能观测。能观测。2 nrankBAABBrankBAABBrankABABBrankACACCrankranknTnTTnTTTTTnM)()()()(N1111*反之亦然。反之亦然。 n维线性定常系统维线性定常系统 假设形状完全能控，必有：假设形状完全能控，必有：上述能控判据矩阵中，有且仅有上述能控判据矩阵中，有且仅有n个列向量是线性无关个列向量是线性无关的，可取的，

26、可取n个线性无关的列向量或其某种组合构成形状个线性无关的列向量或其某种组合构成形状空间的一组基底。所谓能控规范型，就是指系统在上述空间的一组基底。所谓能控规范型，就是指系统在上述基底下所具有的规范方式。要使列向量取法独一，那么基底下所具有的规范方式。要使列向量取法独一，那么r=1。故能控规范型仅讨论。故能控规范型仅讨论SI系统。系统。 ),(BA nbAbAAbAbbbrankBAABBrankrnnrrn 111111100T,100001000010TT111210111bbAAcnccT1101ncCC其中：其中： CxybuAxx xxc1T xCyubxAx将形状方程化为能控规范将形

27、状方程化为能控规范I型：型：那么存在线性非奇特变换：那么存在线性非奇特变换：非奇特变换阵为：非奇特变换阵为：101001,T12121211nnnncbbAbACbbAbCbbAbACnnnnnn 11212110)()( 是是 相乘的结果：相乘的结果：1TcC)1, 1 , 0( nii 经过推导，得出：经过推导，得出：121011100001000010TTnccA101001,T12121211nnnncbbAbA提示：令提示：令 由由 的列向量的线性组合组成，即：的列向量的线性组合组成，即：1TcM 01111011, CBAxCyBuAxx 系统状态完全能控,2M1101Mnrank

28、ABB1判别系统能控性判别系统能控性2计算特征多项式计算特征多项式1)det(2 AIAI0, 110 故：故：101111011110101T11BABc 01101010 A11T101cCCB3计算变换阵，并化为能控规范计算变换阵，并化为能控规范I型型611654)(232 ssssssG)1)(2)(3(1)2(611654)(2232 ssssssssssG无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控规范型。无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控规范型。1, 4, 56,11, 6210210 所以：所以： 100,6116100010100010210ooBA 145210 oC

29、能控规范能控规范I型为：型为：001T,100010001000TT121210212bbAAcncc,T11012nncbCACAbCbCC其中：其中：假设单输入线性定常系统：假设单输入线性定常系统： 是形状能控的，是形状能控的， CxybuAxx xbAAbbxxnc,T12 xCyubxAx将形状方程化为能控规范将形状方程化为能控规范II型：型：那么存在线性非奇特变换：那么存在线性非奇特变换：12102121012100010001000T100010001000,TncnncbAAbbA,T212bAbAAbbAAbbAAnnc由凯利哈密顿定理有：由凯利哈密顿定理有：IaAaAaAnn

30、n0111 )( ,T011122bIaAaAabAAbAnnc代入有：代入有：写成矩阵方式：写成矩阵方式：所以：所以：12101210212212100010001000100010001000TTTTnnccccAAbbc12TbbAAbbbbnc,T12由于：由于：所以：所以：欲使上式成立，必需有：欲使上式成立，必需有： 001b系统状态完全能控,2M1101MnrankABB1判别系统能控性判别系统能控性2计算特征多项式计算特征多项式1)det(2 AIAI0, 110故：3化为能控规范化为能控规范II型型,01101010 A 01B 01110101T2ABBCCCc 011110

31、11, CBAxCyBuAxx n维线性定常系统维线性定常系统 假设形状完全能观测，必有：假设形状完全能观测，必有：上述能观测判据矩阵中，有且仅有上述能观测判据矩阵中，有且仅有n个行向量是线性无关的，可个行向量是线性无关的，可取取n个线性无关的行向量或其某种组合构成形状空间的一组基底。个线性无关的行向量或其某种组合构成形状空间的一组基底。所谓能观测规范型，就是系统在上述基底下所具有的规范方式。所谓能观测规范型，就是系统在上述基底下所具有的规范方式。要使行向量取法独一，那么要使行向量取法独一，那么m=1。故能观测规范型仅讨论。故能观测规范型仅讨论SO系系统。统。 ),(CA nCAcAcAcAc

32、crankCACACrankTTmnTTnTTmTTTTmTTTnTTTT 11111)()()(1 CxybuAxx xxo1T那么存在线性非奇特变换：那么存在线性非奇特变换： xCyubxAx将形状方程化为第一能观测规范型：将形状方程化为第一能观测规范型：1210111100001000010TTnooAA其中：其中：001 T1oCC111NTnoCACAC11011Tnobb非奇特变换阵为：非奇特变换阵为： *xCyuBxAx CxyBuAxx 1： 2：TTTBCCBAA *,以下两系统互为对偶系统：以下两系统互为对偶系统：其中：其中： 1的能控规范的能控规范I I型为：型为：011

33、1c2222100011000TT01,T00001ccnAAbb 1c2011T,nnCCCb CAbCAb根据对偶关系，根据对偶关系， 的第的第能观规范型为：能观规范型为：根据对偶原理，根据对偶原理， 的能控规范的能控规范II型就是型就是 的能观测规范的能观测规范I型。型。 2 1210*100001000010nTAA 001 * TBC 110*nTCB 2 1注：形状转移矩阵互为转置逆，故其变换阵也应该互为转置逆：注：形状转移矩阵互为转置逆，故其变换阵也应该互为转置逆：1*1*1121T(T )()()TTTnTTTTnTocnCCABA BABCA CACCA 假设单输出线性定常系

34、统：假设单输出线性定常系统： 是能观测的，是能观测的， CxybuAxx xxo2T xCyubxAx将形状方程化为能观测规范将形状方程化为能观测规范II型：型：那么存在线性非奇特变换：那么存在线性非奇特变换：1210212100010001000TTnooAA 100T2oCC其中：其中：11012Tnobb将将 代入上式，即可得到代入上式，即可得到 。CCACACAnnnno21121211210001T非奇特变换阵为：非奇特变换阵为：11*1*2*2121211001T(T )(),(),01TnTnnocnAbAbbTTCBAA *,12To 01111011, CBAxCyBuAxx

35、 系统状态完全能观测,2N1111NnrankCAC1判别系统能观测性判别系统能观测性0110101101TT1*1*212CCABBATTTco 01101010 A10T11110110T212ooCCBB3计算变换阵，并化为能观测规范计算变换阵，并化为能观测规范II型型2计算特征多项式计算特征多项式1)det(2 AIAI0, 110 故：故：611654)(232 ssssssG)1)(2)(3(1)2(611654)(2232 ssssssssssG无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能观测规范型。无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能观测规范型。1, 4, 56,11, 621

36、0210 所以：所以： 145,6101101600100100210210 ooBA 100 oC能观测规范能观测规范II型为：型为：3.7 3.7 系统的构造分解系统的构造分解按能控性分解按能控性分解按能观测性分解按能观测性分解按能控能观测性分解按能控能观测性分解 除了对角线和约当规范型能够明显识别外，其除了对角线和约当规范型能够明显识别外，其它能控、能观测、不能控和不能观测部分不能显性它能控、能观测、不能控和不能观测部分不能显性地表示出来。地表示出来。 构造分解是：构造分解是：1最小实现的实际根据：本质上反映形状空间描画最小实现的实际根据：本质上反映形状空间描画的特性的特性2形状反响的根

37、底：能控部分极点可恣意配置。形状反响的根底：能控部分极点可恣意配置。3形状重构的前提。形状重构的前提。假设线性定常系统：假设线性定常系统： 是形状不完全能控是形状不完全能控的，它的能控性判别矩阵的秩的，它的能控性判别矩阵的秩 CxyBuAxx nnrank1M xCyuBxAx那么存在非奇特变换：那么存在非奇特变换：将形状空间描画变换为：将形状空间描画变换为：xRxc 其中：其中：1n 22121110AAAARRAcc1n1nn 1nn 011BBRBc1n1nn 21xxx1n1nn 21CCCRCc 1n1nn nncRRRR11 其中其中 是是n1维能控部分：维能控部分：),(1111

38、CBAuBxAxAx12121111 其中其中 是是n-n1维不能控部分：维不能控部分：), 0 ,(222CA2222xAx u不能直接控制不能直接控制 ，而，而 未来信息中又不含未来信息中又不含 的信息。的信息。2 x2 x1 x ),(1111CBAC ), 0 ,(222CAC 1 x u 11A12A22A1B 1 x2 x2 x假设线性定常系统：假设线性定常系统： 是形状不完全能观测的，是形状不完全能观测的， CxyBuAxx 它的能观测性判别矩阵的秩：它的能观测性判别矩阵的秩：nnrankQo 1 xCyuBxAx 那么存在非奇特变换：那么存在非奇特变换：将形状空间描画变换为：将

39、形状空间描画变换为：xRxo 其中：其中： 21xxx1n1nn 22211110AAAARRAoo1n1nn 1n1nn 211BBBRBo1n1nn 01CCRCo 1n1nn 非奇特变换阵：非奇特变换阵：前前n1列为列为Qo中中n1个线性无关的行，其他行在保证个线性无关的行，其他行在保证Ro非奇特下任选。非奇特下任选。 nnoRRRR111 ),(1111CBAo )0 ,(222BAo 1x11A21A22A 1x2x2x1Cy其中其中 是是n1维能观测部分：维能观测部分：),(1111CBA1111111,xCyuBxAx 其中其中 是是n-n1维不能观测部分：维不能观测部分：)0

40、,(222BA对对y没有直接影响，而没有直接影响，而 中又不含中又不含 的信息。的信息。2x1x2x0,22221212 yuBxAxAx 目的：将系统显性地分解为能控能观测、能控不能观测、目的：将系统显性地分解为能控能观测、能控不能观测、不能控能观测、不能控不能观测四部分。不能控能观测、不能控不能观测四部分。定理定理3：假设线性定常系统：假设线性定常系统： 是形状不完全能控是形状不完全能控和不完全能观测的，和不完全能观测的， CxyBuAxx xCyuBxAx那么存在非奇特变换：那么存在非奇特变换：将形状空间描画变换为：将形状空间描画变换为：xRx 能控子空间能控子空间能观测子空间能观测子空

41、间 1 4 2 3OC,1 OC,4 OC,2 OC,3 能控能观能控能观能控不能观能控不能观不能控能观不能控能观不能控也不能观不能控也不能观其中：其中：能控能观测：能控能观测： ),(11111CBA能控不能观测：能控不能观测： )0 ,(2222BA能控部分能控部分不能控能观测：不能控能观测： ), 0 ,(3333CA不能控不能观测：不能控不能观测： )0 , 0 ,(444A不能控部分不能控部分432144433324232221131110000000nnnnAAAAAAAAAARRA 000031211CCCRCBBBRB ),(11111CBA 21Au1By1C13A 2 32

42、3A21A13A 42B3C 1 )0 ,(2222BA ), 0 ,(3333CA )0 , 0 ,(444A原系统原系统 ),(CBA能控能观测：能控能观测： ),(1111,CBAoc能控不能观测：能控不能观测： )0 ,(222,BAoc能控：能控： ),(11CBAc不能控：不能控： ), 0 ,(24CAc能控性分解能控性分解cR2oR1oR不能控能观测：不能控能观测： ), 0 ,(333,CAoc不能控不能观测：不能控不能观测： )0 , 0 ,(44,Aoc为为非非奇奇异异下下任任选选。其其余余行行在在保保证证个个线线性性无无关关的的行行，中中的的行行是是的的前前111111

43、1111),( onooRn1ACCQCBAn1R为非奇异下任选。为非奇异下任选。其余行在保证其余行在保证个线性无关的行，个线性无关的行，中中的的行是行是的前的前1214222412), 0 ,( onooRn1ACCQCAn1R 非非奇奇异异下下任任选选。列列，其其余余列列在在保保证证个个线线性性无无关关的的中中的的列列是是的的前前cnccRnBABQCBAn1R1),(1 3.8 3.8 传送函数阵的实现问题传送函数阵的实现问题对于给定的传送函数阵对于给定的传送函数阵 ，假设有一个形状空间描画：，假设有一个形状空间描画： DuCxyBuAxx )(W s使得下式成立：使得下式成立：)(W)

44、(1sDBAsIC那么称该形状空间描画是该传送函数阵的一个实现。那么称该形状空间描画是该传送函数阵的一个实现。2、W(s)中每个元素是中每个元素是s的正常型分子多项式系数等于分母多的正常型分子多项式系数等于分母多项式系数，实现中有项式系数，实现中有D或严厉正常型函数或严厉正常型函数 分子多项式系分子多项式系数低于分母多项式系数，实现中无数低于分母多项式系数，实现中无D 。0)(W),(Wlim)(WDssDss为严格正常型时，为正常型时，1、W(s)中每个元素的分子分母多项式系数均为实常数。中每个元素的分子分母多项式系数均为实常数。形状空间描画的非独一性决议的。形状空间描画的非独一性决议的。)

45、2/() 1() 1/() 1/(1) 1/()2()(Wssssssss1101)(WlimsDs)2/(1) 1/(1) 1/(1) 1/(11101)2/() 1() 1/() 1/(1) 1/()2()(W)(1sssssssssssDsBAsIC求求 和和DBAsIC1)( 100,1000010000101210cncbA 110 ncC 1、SISO系统能控规范系统能控规范I型实现型实现(无零极点相约无零极点相约)： 1101210,100010001000nonobA 100 oC2、SISO系统能观测规范系统能观测规范II型实现型实现(无零极点相约无零极点相约)：011101221111)()()(WssssssbAsICbAsICsnnnnnnnoooccc3、MIMO系统能控规范系统能控规范I型实现：型实现：4、MIMO系统能观测规范系统能观测规范II型实现：型实现： rrrcrnrrrrrrrrrrrrrrrcIBIIIIIIIA00,0000000001210 110 ncC 1101210,000000000nomnmmmmmmmmmmmmmmmoBIIIIIIIA 00mmmoIC 1、当、当mr时，用能观测规范型实现较简单；时，用能观测规范型实现较简单； 反之，用能控规范型实现较简单。反之，用能控规范型实现较简单。阐明：阐明：2