SIT高数(工)2测试卷(曲线积分)解答

1、学习文档仅供参考上海应用技术学院2011 2012 学年第二 学期高等数学工 2测试卷曲线积分解答一单项选择题每题2 分，共 10 分1 设l为椭圆22143xy，其周长记为l，则曲线积分22(34)lxydsb a12b12lc112d12l2设l为曲线段2yx，01x，则曲线积分()lxy dsa a101() 14yydyyb10()yy dyc1220() 1xxx dxd120()xxdx3以下命题中不正确的选项是c a设函数( )f u有连续的导数，则22()()lf xyxdxydy在全平面与路径无关b曲线积分212yylxe dxx e dy在全平面与路径无关c设函数( , )

2、p x y，( , )q x y在某平面区域d内有连续的一阶偏导数，且在d内恒有qpxy，则曲线积分lpdxqdy在区域d内与路径无关d设d是含原点的平面区域，则2222lyxdxdyxyxy在d上与路径无关4设曲线l：( ,)1f x y( ,)f x y具有一阶连续偏导数 ，过第 ii 象限内的点m和第 iv象限内的点n，为l上从点m到点n的一段弧，则以下积分小于零的是b a( ,)f x y dxb( , )f x y dyc( , )f x y dsd( , )( ,)xyfx y dxfx y dy5 设2()()xay dxydyxy为某函数的全微分，则常数ad 学习文档仅供参考a

3、1b0c1d2二. 填空题每题3 分，共 15 分6设l是圆周：222xyr，则2222()xylexyds232rr e7设l是连接(1,0)a和(0,1)b的直线段，则()lxy ds28设l是点(1, 1,2)到点(2,1,3)的直线段，则222()lxyzds9 69 设l是 圆 周cosxt，sin2ty，sin2tz上 对 应t从0到2的 一 段 弧 ， 则lxyzdz32 210 设d：229xy，l是 关 于 区 域d的 正 向 边 界 ， 则 曲 线 积 分2(26 )(4 )lxyy dxxx dy18三计算题每题7 分，共 63 分11计算曲线积分lyds，其中l是抛物线

4、2yx上的由原点到(1,1)之间的一段弧解：2yx，22114yx(1,1)a111222200114(14)(14)8lydsxx dxxdx132201(14)12xo1x1(551)1212设l是由直线2yx，2y和0 x所围成的三角形区域的边界，求lxyds解：l由三条线段组成：oa，ab，bo如下图oa：2yx，01x，21(2 ) 5dsxdxdxab：2y，01x，dsdx学习文档仅供参考bo：0 x，02y，dsdyyloaabboxydsxydsxydsxyds(0,2)b(1,2)a1120002520 xxdxxdxydy32 53o1x13计算(1)ly ds，其中l是

5、221xy在第一象限自点(1,0)a到点11(,)22b的一段弧解： 将l写成参数式cosxt，sinyt，04ty2222( sin )(cos )dsxy dtttdtdtb40(1)(1sin )ly dst dt402cos142ttoax14计算()()lxy dxxy dy，其中l是椭圆22221xyab从点( ,0)a a沿着上半周到点(,0)aa的一段弧解：l的参数式方程为：cosxat，sinybt，0t()()lxy dxxy dyy0(cossin )(sin )( cossin )( cos )atbtatatbt bt dt220()sin cosbattab dt2

6、220sin()2tbaabtab(,0)aao( ,0)a ax学习文档仅供参考15 已知曲线l的方程为1yx 1,1x ，起点是( 1,0)，终点是(1,0)，计算曲线积分2lixydxx dy解：12222lllixydxx dyxydxx dyxydxx dyy012210(1)(1)( 1)xxxdxxxxdx1l2l1012211022220033xdxx dxx dx( 1,0)ao(1,0)bx16计算2(1sin )(sin)liyx dxxxy dy，其中l为曲线21yx自( 1,0)a到(1,0)b的有向弧段y解：1211 (1)sin(1sin )lxxyx dxdx1

7、022dx；12221sin(1) ( 2 )(sin)lxxxx dxxxy dy( 1,0)ao(1,0)bx120443x dx；242)33(1sin )(sin )2(liyx dxxxy dy17计算33(3)ly dxxxdy，l为区域d：2216xy的正向边界解： 应用格林公式3333(3)(3)ldxxyy dxxx dydxdyxy223 33dxydxdy2231dxydxdy242003(1)drrdr2244323362418计算22()lixyy dxx ydy，其中l是曲线sinyx从)0,(a到)0,0(o的一段学习文档仅供参考解： 令yxyp2，yxq2yxy

8、xq2，12xyypo(, 0)axdxdyypxqqdypdxidoa)(ddxdy0sin2xdxoaqdypdxi200dx219计算积分22cydxxdyixy，其中c为 1圆周22(2)(2)1xy的正向；2正方形边界1xy的正向解： 由于2222222()pyxyyyxyxy2222222()qxxyxyxyxy故在220 xy时有pqyx1当为22(2)(2)1xy时，所围区域d中不含( , )(0,0)x y，故可利用格林公式得：220cdydxxdyqpidxdyxyxyy2当c为1xy时，所围区域d包含原点，不可直接用格林公式作一小圆c，中心在原点，半径为ox0a，例如可取

9、12a，则小圆在d内由c和_c围成区域d就不含原点，可用格林公式得到220c cdydxxdyqpdxdyxyxy学习文档仅供参考而小圆可表示cosxat，sinyat，02t，有22cydxxdyxy22222200sin(sin )cos(cos )2cossinatatatatdtdtatat因而22220ccydxxdyydxxdyxyxy222cydxxdyxy四、综合题12 分20 设 可 导 函 数( )fx满 足(0)2f， 在 全 平 面 上 与 路 径 无 关 ， 求( )fx， 并 计 算(2,2)(0,0)( )( )xf xydxf x dy解：( )( )lxf xydxf x dy在全平面上与路径无关，( )pxf xy，( )qf x由qpxy，得到( )( )( )( )fxf xxf xyf xxxy( )( )fxf xx，(0)2f( )dxdxf xexedxcxxexe dxcyxxxexe