2022年线性代数试题和答案

1、fpg fpg 线性代数习题和答案第一部分选择题(共 28 分) 一、单项选择题（本大题共14 小题，每小题2 分，共 28 分）在每小题列出四个选项中只有一个是符合题目要求，请将其代码填在题后括号内。错选或未选均无分。1.设行列式aaaa11122122=m，aaaa13112321=n，则行列式aaaaaa111213212223等于（）a. m+n b. - (m+n) c. n- m d. m- n 2.设矩阵 a=100020003，则 a- 1等于（）a.. 10001200013c.. 120001300013.设矩阵 a=31

2、2101214，a*是 a 伴随矩阵，则a *中位于（ 1，2）元素是（）a. 6 b. 6 c. 2 d. 2 4.设 a 是方阵，如有矩阵关系式ab=ac ，则必有（）a. a =0b. bc 时 a=0c. a0 时 b=cd. |a|0 时 b=c5.已知 34 矩阵 a 行向量组线性无关，则秩（at）等于（）a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 6.设两个向量组1，2， s和1，2， s均线性相关，则（）a. 有不全为 0 数1， 2，s使11+22+ +ss=0 和11+22+ss=0 b.有不全为 0 数1，2，s使1（1+1）+2（2+2） +s（ s+s）=0 c.有不全为

3、 0 数1，2，s使1（1- 1）+2（ 2- 2）+s（ s- s）=0 d. 有不全为 0 数1，2，s和不全为0 数1，2，s使11+22+ss=0 和11+22+ss=0 7.设矩阵 a 秩为 r，则 a 中（）a. 所有 r- 1 阶子式都不为0 b.所有 r- 1 阶子式全为0 c.至少有一个r 阶子式不等于0 d. 所有 r 阶子式都不为0 8.设 ax=b 是一非齐次线性方程组，1，2是其任意 2 个解，则下列结论错误是（）a. 1+2是 ax=0 一个解b.121+122是 ax=b 一个解精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

4、 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -fpg fpg c.1-2是 ax=0 一个解d.21-2是 ax=b 一个解9.设 n 阶方阵 a 不可逆，则必有（）a. 秩(a)n b.秩(a)=n- 1 c.a=0d.方程组 ax=0 只有零解10.设 a 是一个 n(3)阶方阵，下列陈述中正确是（）a. 如存在数和向量使 a=，则 是 a 属于特征值特征向量b.如存在数和非零向量，使 (e- a)=0，则是a 特征值c.a 2 个

5、不同特征值可以有同一个特征向量d. 如1，2，3是 a 3 个互不相同特征值，1，2，3依次是 a 属于1，2，3特征向量，则1，2，3有可能线性相关11.设0是矩阵 a 特征方程3 重根， a 属于0线性无关特征向量个数为k，则必有（）a. k 3 b. k3 12.设 a 是正交矩阵，则下列结论错误是（）a.|a|2必为 1 b.|a|必为 1 c.a- 1=atd.a 行（列）向量组是正交单位向量组13.设 a 是实对称矩阵，c 是实可逆矩阵，b=ctac .则（）a. a 与 b 相似b. a 与 b 不等价c. a 与 b 有相同特征值d. a 与 b 合同14.下列矩阵中是正定矩阵

6、为（）a.2334b.3426c.100023035d.111120102第二部分非选择题（共 72 分）二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确答案写在每小题空格内。错填或不填均无分。15.11135692536. 16.设 a=111111，b=112234.则 a+2b= . 17. 设a =(aij)33， |a|=2 ， aij表 示 |a | 中 元 素aij 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则(a11a21+a12a22+a13a23)2+(a21a21+a22a22+a23a23)2+(a31a21+a32a22+a3

7、3a23)2= . 18.设向量（ 2，-3，5）与向量（ -4，6，a）线性相关，则a= . 19.设 a 是 34 矩阵，其秩为3，若1，2为非齐次线性方程组ax=b 2 个不同解，则它通解为. 20.设 a 是 mn 矩阵， a 秩为 r(n)，则齐次线性方程组ax=0 一个基础解系中含有解个数为. 21.设向量 、长度依次为2 和 3，则向量 +与- 内积（ +，- ）= . 22.设 3 阶矩阵 a 行列式 |a |=8，已知 a 有 2 个特征值 - 1 和 4，则另一特征值为. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共

8、 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -fpg fpg 23.设矩阵a =01061332108，已知 =212是它一个特征向量，则 所对应特征值为. 24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)秩为 4，正惯性指数为3，则其规范形为. 三、计算题（本大题共7 小题，每小题6 分，共 42 分）25.设 a=120340121，b=223410.求（ 1）abt； （2） |4a |. 26.试计算行列式3112513420111533.

9、27.设矩阵 a =423110123，求矩阵b 使其满足矩阵方程ab =a+2b. 28.给定向量组 1=2103，2=1324，3=3021，4=0149. 试判断 4是否为 1， 2，3线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵 a =12102242662102333334. 求： （1）秩（ a） ；（ 2）a 列向量组一个最大线性无关组30.设矩阵 a=022234243全部特征值为1， 1 和- 8.求正交矩阵t 和对角矩阵d， 使 t- 1at=d. 31.试用配方法化下列二次型为标准形精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

10、 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -fpg fpg f(x1,x2,x3)=xxxx xx xxx12223212132323444，并写出所用满秩线性变换。四、证明题32.设方阵 a 满足 a3=0，试证明 e- a 可逆，且（ e- a）- 1=e+a +a2. 33.设0是非齐次线性方程组ax=b一个特解， 1，2是其导出组ax=0 一个基础解系.试证明（1）1=0+1，2=0+2均是 ax=b 解；（2）0，1，2线性无关

11、。答案：一、单项选择题（本大题共14 小题，每小题2 分，共 28 分）1.d 2.b 3.b 4.d 5.c 6.d 7.c 8.a 9.a 10.b 11.a 12.b 13.d 14.c 二、填空题（本大题共10 空，每空 2 分，共 20 分）15. 6 16. 33713717. 4 18. 10 19. 1+c(2- 1)（或 2+c(2- 1)） ，c 为任意常数20. n- r 21. 5 22. 2 23. 1 24. zzzz12223242三、计算题（本大题共7 小题，每小题6 分，共 42 分）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - -

12、- - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -fpg fpg 25.解（1）abt=120340121223410=861810310. （2）|4a|=43|a |=64|a|，而|a |=1203401212. 所以 |4a|=64 （ - 2）=- 128 26.解311251342011153351111113100105530=5111111550=5116205506255301040.27.解ab =a +2b

13、即（ a- 2e）b=a，而（a - 2e）- 1=2231101211431531641.所以b=(a- 2e)- 1a=143153164423110123=3862962129.28.解一21301301022434190532130101120131121035011200880014141035011200110000精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - -

14、- - - - - -fpg fpg 1002010100110000,所以 4=21+2+3，组合系数为（2， 1，1）. 解二考虑 4=x11+x22+x33，即230312243491231223123xxxxxxxxxx.方程组有唯一解（2，1， 1）t，组合系数为（2， 1，1）. 29.解对矩阵 a 施行初等行变换a1210200062032820963212102032830006200021712102032830003100000=b. （1）秩（ b）=3，所以秩（ a）=秩（ b）=3. （2）由于 a 与 b 列向量组有相同线性关系，而b 是阶梯形， b 第 1、2、4

15、 列是b 列向量组一个最大线性无关组，故a 第 1、2、4 列是 a 列向量组一个最大线性无关组。（a 第 1、2、5 列或 1、3、4 列，或 1、3、5 列也是）30.解a 属于特征值 =1 2 个线性无关特征向量为1=（2，- 1，0）t，2=（2，0， 1）t. 经正交标准化，得1=2 5 55 50/，2=2 5 154 5 155 3/. =-8 一个特征向量为3=122，经单位化得 3=1 3232 3/.所求正交矩阵为t=2 5 52 15 151 35 54 5 152 305 32 3/. 对角矩阵d=100010008.精品学习资料 可选择p d f - - - - -

16、- - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - -fpg fpg （也可取t=2 5 52 15 151 305 32 35 54 5 152 3/.）31.解f(x1，x2，x3)=（x1+2x2- 2x3）2- 2x22+4x2x3- 7x32=（x1+2x2- 2x3）2- 2（ x2-x3）2- 5x32. 设yxxxyxxyx11232233322，即xyyxyyxy112223332，因其系数矩阵c=120011001可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)标准形y12- 2y22- 5y32 . 四、证明题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）32.证由于（ e- a） （ e+a +a2）=e- a3=e，所以 e- a 可逆，且（e- a ）- 1= e+a+a2 . 33.证由假设 a0=b， a1=0，a2=0. （1）a1=a（0+1）=a0+a1=b，同理 a2= b，所以 1，2是 ax=b 2 个解。（2）考虑 l00+l11+l2