2022年线性规划案例

1、1 1.人力资源分配问题例 1. 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如表1 所示。班次时间所需人数班次时间所需人数1 6:0010:00 60 4 18:0022:00 50 2 10:0014:00 70 5 22:002:00 20 3 14:0018:00 60 6 2:006:00 30 设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作8 小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少？解：设xi 表示第 i 班次时开始上班的司机和乘务人员数, 这样我们建立如下的数学模型。目标函数：min x1 + x2 + x

2、3 + x4 + x5 + x6 约束条件： s.t. x1 + x6 60 x1 + x2 70 x2 + x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 0 运用lingo 求解：objective value: 150.0000 ariable value reduced cost x1 60.00000 0.000000 x2 10.00000 0.000000 x3 50.00000 0.000000 x4 0.000000 0.000000 x5 30.00000 0.000000 x6 0.000000 0.000

3、000 例2一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？时间所需售货员人数星期日28 星期一15 星期二24 星期三25 星期四19 星期五31 星期六28 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 21 页 -

4、- - - - - - - -2 解：设xi ( i = 1,2, ,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约束条件： s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28

5、 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0 lingo 求解objective value: 36.00000 variable value reduced cost x1 12.00000 0.000000 x2 0.000000 0.3333333 x3 11.00000 0.000000 x4 5.000000 0.000000 x5 0.000000 0.000000 x6 8.000000 0.000000 x7 0.000000 0.000000 例3. 某储蓄所每天的营业时间为上午9:00到下午 17:00，根据经验，每天不同时间段所需要的服务员的数量为：时间段910 101

6、1 1112 1213 1314 1415 1516 1617 服务人员数量4 3 4 6 5 6 8 8 储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬为100元，从上午 9:00到下午17:00工作，但中午 12:00到下午 14:00之间必须安排1小时的午餐时间；储蓄所每天可以雇佣不超过 3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬为40元。问：1) 储蓄所应该如何雇佣全时和半时两类服务员？2) 如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少经费？3) 如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少经费？解：设 x1, x2 分别表示1213，1314 进行午餐的全时服

7、务人员，y1 ，y2 ，y3 ， y4 ，y5分别表示 910，1011，1112，1213，1314开始工作的半时服务人员，则问题 1的模型如下所示：min =100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5; x1+x2+y14; x1+x2+y1+y23; x1+x2+y1+y2+y34; x2+y1+y2+y3+y46; x1+y2+y3+y4+y55; x1+x2+y3+y4+y56; x1+x2+y4+y58; x1+x2+y58; y1+y2+y3+y4+y53; 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -

8、 - - 第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - -3 gin (x1);gin (x2);gin (y1);gin (y2);gin (y3);gin (y4);gin (y5); objective value: 820.0000 variable value reduced cost x1 3.000000 100.0000 x2 4.000000 100.0000 y1 0.000000 40.00000 y2 2.000

9、000 40.00000 y3 0.000000 40.00000 y4 0.000000 40.00000 y5 1.000000 40.00000 2）把 y1+y2+y3+y4+y54; x1+x2+y1+y23; x1+x2+y1+y2+y34; x2+y1+y2+y3+y46; x1+y2+y3+y4+y55; x1+x2+y3+y4+y56; x1+x2+y4+y58; x1+x2+y58; y1+y2+y3+y4+y5=0; gin (x1);gin (x2);gin (y1);gin (y2);gin (y3);gin (y4);gin (y5); objective valu

10、e: 1100.000 variable value reduced cost x1 5.000000 0.000000 x2 6.000000 0.000000 y1 0.000000 100.0000 y2 0.000000 0.000000 y3 0.000000 0.000000 y4 0.000000 0.000000 y5 0.000000 100.0000 3）把 y1+y2+y3+y4+y54; x1+x2+y1+y23; x1+x2+y1+y2+y34; x2+y1+y2+y3+y46; x1+y2+y3+y4+y55; x1+x2+y3+y4+y56; x1+x2+y4+y

11、58; x1+x2+y58; gin (x1);gin (x2);gin (y1);gin (y2);gin (y3);gin (y4);gin (y5); 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - -4 运用 lingo 求解objective value: 560.0000 variable value reduced cost x1 0.0

12、00000 100.0000 x2 0.000000 100.0000 y1 6.000000 40.00000 y2 0.000000 40.00000 y3 0.000000 40.00000 y4 0.000000 40.00000 y5 8.000000 40.00000 2. 生产计划问题例4某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产， 但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。 问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本

13、公司铸造和由外包协作各应多少件？甲乙丙资源限制铸造工时 (小时 /件) 5 10 7 8000 机加工工时 (小时 /件 ) 6 4 8 12000 装配工时 (小时 /件) 3 2 2 10000 自产铸件成本 (元/件 ) 3 5 4 外协铸件成本 (元/件 ) 5 6 - 机加工成本 (元/件) 2 1 3 装配成本 (元/件) 3 2 2 产品售价 (元/件) 23 18 16 解：设x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求 xi 的利润：利润= 售价- 各成本之和产品甲全部自制

14、的利润=23-(3+2+3)=15 产品甲铸造外协，其余自制的利润=23-(5+2+3)=13 产品乙全部自制的利润=18-(5+1+2)=10 产品乙铸造外协，其余自制的利润=18-(6+1+2)=9 产品丙的利润=16-(4+3+2)=7 可得到xi （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为15、10、7、13、9 元。通过以上分析,可建立如下的数学模型: 目标函数：max 15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件：5x1 + 10 x2 + 7x3 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 12000 3x1 + 2x2 + 2

15、x3 + 3x4 + 2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 0 lingo 求解objective value: 29400.00 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - -5 variable value reduced cost x1 1600.000 0.000000 x2 0.000000 2.000000 x3 0.000

16、000 13.10000 x4 0.000000 0.5000000 x5 600.0000 0.000000例 5永久机械厂生产、三种产品，均要经过a、b 两道工序加工。设有两种规格的设备 a1、 a2 能完成a 工序；有三种规格的设备b1、b2、b3 能完成b 工序。可在a、b 的任何规格的设备上加工；可在任意规格的a 设备上加工，但对b 工序，只能在b1 设备上加工；只能在a2 与 b2 设备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？设备产品单件工时设备的有效台时满负荷时的设备费用a1 5 10 6000 300 a27 9 12 10000 321 b16 8

17、 4000 250 b24 11 7000 783 b37 4000 200 原料（元 /件）0.25 0.35 0.50 售价（元 /件）1.25 2.00 2.80 解：设xijk 表示第j 个工序在第k 种设备上加工的第i 种产品的数量。建立如下的数学模型 : s.t. 5x111 + 10 x211 6000 （ 设备 a1 ）7x112 + 9x212 + 12x312 10000 （ 设备a2 ）6x121 + 8x221 4000 （ 设备b1 ）4x122 + 11x322 7000 （ 设备b2 ）7x123 4000 （ 设备 b3 ）x111+ x112- x121- x

18、122- x123 = 0 （产品在a、b 工序加工的数量相等）x211+ x212- x221 = 0 （产品在a、b 工序加工的数量相等）x312 - x322 = 0 （产品在a、b 工序加工的数量相等）xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3 目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：利润 = （销售单价- 原料单价） * 产品件数 之和-（每台时的设备费用* 设备实际使用的总台时数）之和。这样得到目标函数：max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312 300/6000(5x111+10

19、 x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)- 250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123). 经整理可得：max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

20、 - - - - 第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - -6 2304x322-0.35x123 运用 lingo 求解objective value: 1146.514 variable value reduced cost x111 1200.000 0.000000 x112 230.0493 0.000000 x211 0.000000 0.3101897 x212 500.0000 0.000000 x312 324.1379 0.000000 x121 0.000000 0.2530095 x221 500.0000 0.000000 x122 858.6207

21、 0.000000 x322 324.1379 0.000000 x123 571.4286 0.000000 近似有x111=1200，x112=230，x211=0 ，x212=500，x312=324， x121=0，x221=500 x122=859， x322=324， x123=571 objective value: 1146.362 利用整数规划objective value: 1146.362 variable value reduced cost x111 1200.000 -0.7500000 x112 230.0000 -0.7753000 x211 0.000000

22、-1.150000 x212 500.0000 -1.361100 x312 324.0000 -1.914800 x121 0.000000 0.3750000 x221 500.0000 0.5000000 x122 859.0000 0.4475000 x322 324.0000 1.230400 x123 571.0000 0.3500000 例6. 双层卷焊钢管是光明制造厂1990从意大利引进的主导民用产品，生产流程为：钢带镀铜镀铜带精剪制管。产品广泛应用于汽车，机床，大型机械油气管制造。目前全国市场占有率为 15%，年利润为 350万元。为广大市场占有率，进一步提高企业知名度，为下

23、一步上市做好准备， 该厂 1998年拟对双层卷焊钢管分厂实行资产经营，要求有关部门拿出一份经营报告书，要求对以下几个问题做出明确分析：（1）最大盈利能力。（2）生产计划。（3）因镀铜用钢带需从比利时进口，外商要求提前一年提供订货数量，并需用外汇支付。分析如何确定钢带订货量，使外商供货，既能满足生产，又能尽量为工厂节约费用。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 21 页 - - - -

24、 - - - - -7 生产过程中各项经济指标如下：（1）钢带镀铜：废品率为1%，废品回收扣除废品镀铜过程中各项生产费用后净收入为1000元/t。职工工资实行计件工资，合格品675元/t，钢带 8000元/t。（2）镀铜带精剪：废品率为2%，废品回收扣除废品镀铜精剪过程中各项生产费用后净收入为零。职工工资实行计件工资，合格品900元/t。（3）制管：废品率：直径4.76为 8%，直径 6为8.5%，直径 8为9%，直径 12为10.5%，废品回收扣除废品镀铜，精剪，制管过程中各项生产费用后净收入为700元/t。职工工资实行计件工资，合格品 900元/t。售价情况：直径4.76: 16000元/

25、t; 直径 6: 16100元 /t; 直径 8: 16000元 /t; 直径 10: 16100元 /t; 直径 12: 16300元 /t; 折旧：200万元。生产费用：合格钢管1200元/t。企业管理费：1000元/t。特殊说明：（1）钢带镀铜后镀膜很薄，镀铜带与钢带质量可近似认为一致。（2）生产过程中废料很少，可忽略不计。销售部门经过严密的市场分析后，结合明年的订货情况给厂长以下信息：1998年共需我厂钢管2800t，其中直径 4.76的不少于 50%；直径 6的至少占 10%，至多占 30%; 直径 8的有 300t老主顾订货，必须予以满足；直径 10的订货历史上一直与直径6有联动关

26、系，一般为直径6的一半；直径 12的属于冷门产品，一年必须有100t备货，但市场预测绝对不会突破200t。解：设直径4.76、 6、8、10 和 12 的钢管的需求量分别是x1，x2 ，x3，x4 ，x5。钢带的供给量为x0。则：钢管销售收入y1 为：y1=16000x1+16100x2+16000x3+16100x4+16300x5 废品回收收入y2 为：y2=10x0+ （0.087x1+0.093x2+0.099x3+0.117x5） 700 钢带成本 c1 为：c1=8000x0 职工工资 c2 为：c2=x0 0.99 675+x0 0.99 0.98 900+（x1+x2+x3+x

27、4+x5） 900 则净利润 y0 为：y0=y1+y2-c1-c2-2000000-（x1+x2+x3+x4+x5） 2200（目标函数）约束条件：1.086957x1+1.092896x2+1.111111x3+x4+1.117318x5=x00.99 0.98 x1+x2+x3+x4+x5=2800 x1 1400840 x2 280x3300 x4=x2/2 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - -

28、 - 第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - -8 200x5100 x0,x1,x2,x3,x4,x50 运用 lingo求解 : objective value: 4652764. variable value reduced cost y0 4652764. 0.000000 y1 0.4493000e+08 0.000000 y2 188857.6 0.000000 c1 0.2497411e+08 0.000000 c2 7331981. 0.000000 x1 1400.000 0.000000 x2 666.6667 0.000000 x3 300.0000 0

29、.000000 x4 333.3333 0.000000 x5 100.0000 0.000000 x0 3121.764 0.000000 3. 套裁下料问题例7. 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的需求切割后售出. 从钢管厂进货时得到原料钢管都是 19m长. （1）现有一客户需要50根 4m长， 20根 6m长和 15根 8m长的钢管，应如何下料最节省？（2）零售商如果采取的不同切割方式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用不同切割模式不能超过3种. 此外，该客户除需要（1）中的3种钢管外，还需要10根 5m的钢管，应如何下料最节省？问题（ 1

30、）的求解首先， 确定那些切割模式是可行的. 所谓一个切割模式，就是按照客户的需要在原料钢管上安排切割的一种组合. 例如，我们可以将 19m长的钢管切割成3根4m长的钢管， 余料为 7m，或者将 19m长的钢管切割成4m，6m和8m长的钢管个一根，余料为1m. 其次， 应当确定哪些切割模式是合理的. 通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小尺寸. 例如，将19m长的钢管切割成3根4m长的钢管是可行的，但余料为 7m，可以进一步将 7m的余料切割成 4m钢管（余料 3m） ，或者将 7m的余料切割成6m钢管（余料为 1m）. 在这种合理性假设下，切割模式一共有7种，如表

31、所示. 模式4m钢管根数6m钢管根数8m钢管根数余料 /m 模式 1 4 0 0 3 模式 2 3 1 0 1 模式 3 2 0 1 3 模式 4 1 2 0 3 模式 5 1 1 1 1 模式 6 0 3 0 1 模式 7 0 0 2 3 模型建立：决策变量：用 xi表示按照第 i种模式（ i=1,2, ,7）切割的原料钢管的根数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 21 页 -

32、- - - - - - - -9 目标：以切割后余料总量最少为目标，则有min 3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7 以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 约束条件：4x1+3x2+2x3+x4+x 550, x2+2x4+x5+3x6 20, x3+x5+2x715, 运用 lingo 求解第一种目标：objective value: 26.66667 variable value reduced cost x1 0.000000 1.666667 x2 11.66667 0.000000 x3 0.000000 1.666667

33、 x4 0.000000 2.666667 x5 15.00000 0.000000 x6 0.000000 1.000000 x7 0.000000 1.666667 第二种目标：objective value: 25.00000 variable value reduced cost x1 0.000000 0.000000 x2 15.00000 0.000000 x3 0.000000 0.000000 x4 0.000000 0.2500000 x5 5.000000 0.000000 x6 0.000000 0.2500000 x7 5.000000 0.000000 问题（ 2）

34、求解模型建立：由于不同的切割模式不超过3种，可以用 xi 表示按照第 i 种模式（ i=1,2,3）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数. 设所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产4m，5m，6m和8m长的钢管数量分别为r1i，r2i，r3i，r4i（非负整数）. 决策目标：以切割原料钢管总根数最少为目标，即目标为min x1+x2+x3 约束条件：为满足客户的需求，应有r11x1+r12x2+r13x 350, r21x1+r22x2+r23x 310, r31x1+r32x2+r33x 320, r41x1+r42x2+r43x 315, 每一种切割模式必须可行，合理，所以每根

35、钢管的成品量不能超过19m，也不能少于16m，则有164 r11+5r21+6r31+8r4119, 164 r12+5r22+6r32+8r4219, 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - -10 164 r13+5r23+6r33+8r4319. 运用 lingo求解local optimal solution found. object

36、ive value: 28.00000 variable value reduced cost x1 10.00000 0.000000 x2 10.00000 2.000000 x3 8.000000 1.000000 r11 3.000000 0.000000 r12 2.000000 0.000000 r13 0.000000 0.000000 r21 0.000000 0.000000 r22 1.000000 0.000000 r23 0.000000 0.000000 r31 1.000000 0.000000 r32 1.000000 0.000000 r33 0.000000

37、0.000000 r41 0.000000 0.000000 r42 0.000000 0.000000 r43 2.000000 0.000000 例 8. 某公司采用一套冲压设备生产一种罐装饮料的易拉罐，这种易拉罐是用镀锡板冲压成的，为圆柱状，包括罐身、上盖和下底。罐身高10cm，上盖和下底的直径均为5cm。该公司使用两种不同规格的镀锡板原料，规格1 的镀锡板为正方形，边长24cm；规格 2 的镀锡板为长方形， 长 32cm ，宽 28cm；由于生产设备和生产工艺的限制，规格1 的镀锡板只能按模式 1、2、3 冲压，规格2 的镀锡板只能按模式4 冲压 ( 见图 ) ，使用模式1、2、 3、

38、4 进行冲压所需时间分别为1.5 秒、 2 秒、 1 秒和 3 秒模式一模式二精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - -11 该公司每周工作40 小时，每周可供使用的规格1、2 的镀锡板原料分别为5 万张和 2 万张，目前每只易拉罐的利润为0.1 元，原料余料损失为0.001 元/cm2(如果周末有罐身、上盖或下底不能配套成易拉罐出售，也看

39、成是余料损失)。公司应如何安排每周的生产？问题分析 ：与钢管下料问题不同的是，这里的切割模式已经确定，只需要计算各种模式下的余料损失 . 已知上盖与下底的直径d=5cm, 可得其面积为221/ 419.6sdcm, 周长为15.7ldcm，于是模式一的余料损失为22122410222.6sscm。同理可以计算其他模式下的余料损失，如表所示：罐身个数底，盖个数余料损失 /cm2 冲压时间 /s 模式一1 10 222.6 1.5 模式二2 4 183.3 2 模式三0 16 261.8 1 模式四4 5 169.5 3 问题目标应是易拉罐的利润扣除原料余料损失后的净利润最大；约束条件除每周工作时

40、间的原料数量外，还要考虑罐身和盖、底的配套组装模型建立 ：决策变量：用 xi 表示按第i 种模式冲压的次数(i=1,2,3,4) y1 表示一周生产的易拉罐个数y2 表示不配套的罐身个数y3 表示不配套的盖(底)个数决策目标 (设每周生产的易拉罐全部售出)：净利润最大净利润 =利润四种冲压模式的余料损失不配套造成的原料损失决策目标 (设每周生产的易拉罐全部售出)：maxz=0.1y1 0.001(222.6x1 +183.3x2+261.8x3 +169.5x4 +157.1y2+19.6y3) 其中：不配套罐身每个损失：2105157.1cm模式三模式四精品学习资料 可选择p d f - -

41、 - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - -12 不配套盖 (底)每个损失：222.519.6cm约束条件：时间约束：每周工作不超过40 小时 (144000 秒) 1.5x1 +2x2 +x3 +3x4 144000 原料数量约束：规格1、 2 镀锡板分别为5 万张和 2 万张x1 +x2 +x3 50000; x4 20000 配套约束：一周生产的罐身个数= x1 +2x2

42、+4x4 一周生产的盖 (底)个数 = 10 x1 +4x2 +16x3 +5x4 配套约束：一周生产的易拉罐个数minx1 +2x2 +4x4 ， 0.5(10 x1 +4x2 +16x3 +5x4) 可以表示成两个线性约束y1 x1 +2x2 +4x4 y1 0.5(10 x1 +4x2 +16x3 +5x4) 不配套罐身个数y2= x1 +2x2 +4x4 y1 不配套盖 (底)个数 y3= 10 x1 +4x2 +16x3 +5x4 2y1 )6.191 .1575.1698.2613.1836 .222(001.01.0min3243211yyxxxxyz且为整数0,25164104

43、2)516410(5.042200005000014400025.13213211432131421243211421143214321yyyxxxyxxxxyyxxxyxxxxyxxxyxxxxxxxx运用 lingo 求解objective value: 4298.338 variable value reduced cost y1 160250.0 0.000000 x1 0.000000 0.5000000e-04 x2 40125.00 0.000000 x3 3750.000 0.000000 x4 20000.00 0.000000 y2 0.000000 0.2233312 y

44、3 0.000000 0.3648437e-01 将决策变量扩大10000 倍（相当于xi 以万次为单位，yi 以万件为单位）. 此时，20000,50000,14400025.143214321xxxxxxxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - -13 修改为运用 lingo 求解objective value: 0.4298337

45、variable value reduced cost y1 16.02500 0.000000 x1 0.000000 0.5000000e-04 x2 4.012500 0.000000 x3 0.3750000 0.000000 x4 2.000000 0.000000 y2 0.000000 0.2233312 y3 0.000000 0.3648437e-01 4. 配料问题例 9.某工厂要用三种原料1、2、3 混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如表所示。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？产品名称规格要求单价（元 /kg）甲原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不

46、超过 25% 50 乙原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% 35 丙不限25 原材料名称每天最多供应量单价（元 /kg）1 100 65 2 100 25 3 60 35 解：设xij 表示第i 种（甲、乙、丙）产品中原料j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：对于甲：x11，x12，x13；对于乙：x21，x22， x23；对于丙：x31，x32， x33；对于原料1： x11，x21，x31；对于原料2： x12，x22，x32；对于原料3： x13，x23，x33；目标函数：利润最大，利润= 收入- 原料支出约束条件：规格要求4 个；供应量限制3 个。?利润 =总收

47、入 -总成本 =甲乙丙三种产品的销售单价* 产品数量 -甲乙丙使用的原料单价* 原料数量，故有目标函数：2,5,4.1425.143214321xxxxxxxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - -14 max 50（ x11+x12+x13）+35（ x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（ x11+x21+x

48、31） -25（x12+x22+x32）-35（ x13+x23+x33）= -15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 约束条件：从第 1 个表中有：x110.5(x11+x12+x13) x120.25(x11+x12+x13) x210.25(x21+x22+x23) x220.5(x21+x22+x23 从第 2 个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原材料的供应限额，故有(x11+x21+x31)100 (x12+x22+x32)100 (x13+x23+x33)60 通过整理，得到以下模型：目标函数： max z = -15 x11+2

49、5x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 约束条件：s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料1 不少于 50%）-0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料2 不超过 25%）0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 （原材料1 不少于 25%）-0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料 2 不超过 50%）x11+ x21 + x31 100 (供应量限制）x12+ x22 + x32 100 (供应量限制）x13+ x23 + x33 60 (供应量限制）xij 0 ,

50、 i = 1,2,3; j = 1,2,3 运用 lingo 求解objective value: 500.0000 variable value reduced cost x11 100.0000 0.000000 x12 50.00000 0.000000 x13 50.00000 0.000000 x21 0.000000 15.00000 x22 0.000000 0.000000 x31 0.000000 45.00000 x33 0.000000 10.00000 x23 0.000000 0.000000 x32 0.000000 0.000000 例 10. 汽油混合问题。一种

51、汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数” 来定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1、2、3、4 种标准汽油，其特性和库存量列于表1 中，将这四种标准汽油混合，可得到标号为1，2 的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于表2 中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使2 号汽油满足需求，并使得1 号汽油产量最高？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -

52、 - - - - - 第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - -15 标准汽油辛烷数蒸汽压力 /( 2.g cm) 库存量 /l 1 107.5 7.11 210380000 2 93.0 11.38 210265200 3 87.0 5.69 210408100 4 108.0 28.45 210130100 飞机汽油辛烷数蒸汽压力 /( 2.g cm) 产量需求1 不小于 91 不大于 9.96210越多越好2 不小于 100 不大于 9.96210不少于250000 解：设 xij 为飞机汽油i 中所用标准汽油j 的数量 (l) 。目标函数为飞机汽油1 的总产量：11

53、121314xxxx产量约束为飞机汽油2 的产量：21222324250000 xxxx库存量约束为：1121122213231424380000265200408100130100 xxxxxxxx由物理中的分压定律，1njjjpvp v可得有关蒸汽压力的约束条件：（1 号与 2 号汽油）11121314212223242.851.424.2718.49012.851.424.2718.4902xxxxxxxx注 1：利用分压定律，有2222211121314111213147.11 1011.38 105.69 1028.45 109.96 10 xxxxxxxx化简后有（ 1） ，同理可

54、以得到（2） 。有关辛烷数的约束条件为：（1 号与 2 号汽油）111213142122232416.52.04.017.00(3)7.57.013.08.00(4)xxxxxxxx表一表二精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - -16 注 2：1112131411121314107.5938710891xxxxxxxx，化简后有（3） ，

55、同理可以得到（4） 。注：物理中的分压定律：设有一种混合气体由n 种气体组成，该混合气体的压强为p,所占总体积为v, 各组成成分的压强及其所占容积分别为12,.,nppp及12,.,nv vv，则1njjjpvp v。综上所述，得该问题的数学模型为：111213142122232411211222132314241112131421222324111213142122max2500003800002652004081001301002.851.424.2718.4902.851.424.2718.49016.5241707.57xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx232

56、413800,(1,2;1,2,3, 4)ijxxxij运用 lingo 求解objective value: 933400.0 variable value reduced cost x11 264937.9 0.000000 x12 135702.1 0.000000 x13 408100.0 0.000000 x14 124660.0 0.000000 x21 115062.1 0.000000 x22 129497.9 0.000000 x23 0.000000 0.000000 x24 5440.011 0.000000 5. 投资问题例 11某部门现有资金200 万元，今后五年内考

57、虑给以下的项目投资。已知：项目a：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目 b：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30 万元；项目 c：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目d：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过 100 万元。据测定每万元每次投资的风险指数如右表：项目风险指数（次 /万元）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 21 页 - - - - - - -

58、- -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - -17 a 1 b 3 c 4 d 5.5 问： a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330 万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？解：a）确定决策变量：连续投资问题设 xij ( i = 1 5，j = 14)表示第i 年初投资于a(j=1) 、b(j=2) 、c(j=3) 、d(j=4) 项目的金额。这样我们建立如下的决策变量：a

59、 x11 x21 x31 x41 x51 b x12 x22 x32 x42 c x33 d x24 2）约束条件：第一年： a 当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是x11+ x12 = 200；第二年： b 次年末才可收回投资，故第二年年初有资金1.1 x11，于是x21 + x22+ x24 = 1.1x11；第三年：年初有资金1.1x21+ 1.25 x12，于是x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；第四年：年初有资金1.1x31+ 1.25 x22，于是x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；第五年：年初有资金1.1x41+

60、 1.25 x32，于是x51 = 1.1x41+ 1.25x32；b、c、d 的投资限制：xi2 30 ( i =1 、2、3、4 )，x33 80，x24 100 3）目标函数及模型：max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11；x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；x51 = 1.1x41+ 1.25x32；xi2 30 ( i =1 、2、3、4 )，x33 80，x24 100