2022年线性规划目标函数及基本不等式常见类型梳理

1、学习必备欢迎下载授课提纲一、线性规划问题中目标函数常见类型梳理1、基本类型直线的截距型（或截距的相反数）2、直线的斜率型3、平面内两点间的距离型（或距离的平方型）4、点到直线的距离型5、变换问题讨论目标函数二、基本不等式1、（ 1）基本不等式如a,br ，就 a 2b 22ab(2) 如 a,br ，就 abab（当222且仅当 ab 时取“ =”）(2) 如 a,b时取“ =”）r* ，就 ab2ab2如 a, br* ，就 ab2ab （当且仅当 ab(3) 如 a, br* ，就 ab2ab当且仅当 a2b 时取“ =”）2、利用基本不等式求值技巧授课主要内容：一 基本类型直线的截距型（

2、或截距的相反数）例 1.已知实数 x、y 满意约束条件xy0x y50，就 zx32x4 y 的最小值为（）xy20变式练习一：如 x,y 满意约束条件x2 y10,就z=3x+y 的最大值为2xy20a 5b -6c 10d -10变式练习二：设 x，y 满意约束条件1x3,1xy就 z 2x y 的最大值为0,二 直线的斜率型2 6 ,53例 2.已知实数 x、y 满意不等式组x2y24x0,求函数 zy 3的值域 .x1x10y变式练习一：如 x， y 满意约束条件xyxyx2 y0，就4040的最大值为.x变式练习二： 11.如实数x, y 满意 x 0，就 z y0y 2的取值范畴为

3、（）x1a., 4 2 ,3b., 2 2 , 3c.2, 2 3d.4, 23三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）例 3. 已知实数 x 、y 满意xy10xy10 ，就y1wx2y24x4 y8 的最值为.2解析：目标函数 wx2y4 x24 y8x22 y2 ，点 2,2到点 b 的距离为其max到可行域内点的最大值，w22 212225 ；点 2,2到直线 x+y-1=0 的距离为其到可行域内点的最小值，wmin| 221|322xy120,xxy11，0, 就 x2y22的取值范畴是；变式练习一：设实数x ， y 满意约束条件（ a ） 1 ,1722（b ）1,17（ c）

4、1,17（d ）,172变式练习二：四 点到直线的距离型例 4.已知实数 x、y 满意2xy1,求ux2y24 x2 y 的最小值；解析：目标函数ux2y24 x2 yx22 y125 ，其含义是点 -2,1 与可行域内的点的最小距离的平方减5；由实数 x、y 所满意的不等式组作可行域如下列图（直线右上方）：y-2,1 1o1x22x+y=1点-2,1 到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1 的距离， 由点到直线的距离公式可求| 2 211|452得 d，故 d5165955552xy20同步训练：已知实数x、 y 满意 x2 y40 ,就目标函数z3xy30五 变换问题讨论目标函数x

5、2y2 的最大值是 ；y例 5.已知 xxxy 2 ，且az 2 xy 的最大值是最小值的3 倍，就 a 等于（）11a 或 3b3322c或 2d 55解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，精确画图找到可行域是关键.如下列图， z2xy在a点和 b 点分别取得最小值和最大值. 由x a得a a,.axy2 ，由得y xxyb1， 1. zmax3., .z min3a . 由题意 b变式练习一：假如实数a,b 满意条件：a b20b a10 ，就 a2b 的最大值是基本不等式考点一：求最值例 1：求以下函数的值域2aba1（ 1） y3x 2 1 2（ 2） y x12xx技巧一：凑项

6、例 1：已知 x5，求函数 y44 x214x5的最大值；技巧二：凑系数例 1.当时，求yx82 x 的最大值；技巧三： 分别2例 3.求 yx7 x10 x1) 的值域；x1技巧四：换元解析二：此题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x 1，化简原式在分别求最值；yt217t1）+10 = t5t4t452ttt当, 即 t=时, y2t4 t59 （当 t=2 即 x 1 时取“”号）；技巧五：留意：在应用最值定理求最值时， 如遇等号取不到的情形，应结合函数f xxa x的单调性； 例：求函数 yx25x24的值域；解：令x24t t22) ，就 yx5x2411tt2x24x24t因

7、 t0,t11 ，但 t t11 解得 t t1不在区间 2,，故等号不成立，考虑单调性；5由于 yt在区间 1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数， 故 y；t2所以，所求函数的值域为5 ,；2考点二：条件求最值1. 如实数满意 ab2 ，就3a3b 的最小值是.2：已知 x0, y0 ，且 19xy1 ，求 xy 的最小值；变式： （ 1）如x, yr 且 2 xy1 ，求 1 x1 的最小值y2技巧七 、已知 x， y 为正实数，且 x 2y 1，求 x1 y 2 的最大值 .2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采纳公式ab1a 2 b 222；1 y 2同时仍应化简1 y

8、2 中 y2 前面的系数为2 ，x1 y x2· 2 21y 2x·2 2技巧八：已知 a， b 为正实数， 2b ab a 30，求函数 y 1ab的最小值 .法一： a30 2b ，ab b 130 2b · b b 12 b 2 30b b 1由 a 0 得， 0 b 1令 tb+1，1 t 16， ab 2t 2 34t 31t 2（ t116t） 34 t16t2t·16t 8 ab 18 y18 当且仅当 t 4，即 b 3， a 6 时，等号成立；法二： 由已知得： 30ab a 2b a 2b 22 ab 30ab 22 ab2令 u ab就 u 22 u 30 0， 52 u 321 ab 32 ， ab 18， y 18变式： 1.已知 a>0， b>0， ab ab 1，求 a b 的最小值；作业：1、 yx1x0 x求函数最小值 .2、 y1 x2x2 3x0 求函数最小值 .3、如 x1，就