五种辅助线助你证全等

1、五种辅助线助你证全等构造全等二角形解竞赛题一、已知角平分线，利用轴对称构造全等三角形。例i在四边形二二中，对角线厂一二、丄>”二_，下列结论中正确的是（）.A丄匸' > 二.：B 二匸亠二：C二一V 二二 D 二一V 与二: 的大小关系不确定解：因为丄二.以AC为对称轴作 ACD 的对称图形 ACE ,则 亠亠小们> 二上二二.故选A.二、已知中线，禾U用中心对称构造全等三角形。例2 设G ABC的重心，且' 1 1- ；则厶ABC的面积为（）。解：如图，以 BC的中点D为中心，将点 G旋转180。至E,则四边形 BGCE是平行四边 形.在厶BEG 中，山丨&

2、#39;- V所以 BEG 是直角三角形，因此 汕广2$迦"DBG = 72例1图例2图例3图三、已知等边三角形，旋转 60°构造全等三角形。例3 已知P是等边 ABC内的一点，二一1一 -匸二一一匚；一二F-的度数为（）.解：绕着点 B将厶ABP顺时针旋转 60°,则厶ABP CBE , BPE为等边三角形。在厶PCE中， 工-匸-所以厶PCE是直角三角形，因此 _一J -.四、已知正方形，旋转 90°构造全等三角形。例4 已知P是正方形ABCD内的一点，PA： PB： PC=1 : 2 : 3,上"的度数为()解：绕着点在 PCEB将厶AB

3、P顺时针旋转90°,则厶ABP S' CBE , BPE为等腰直角三角形。 中，设 PC = 3af?E = a,CE = a, 所以 PCE是直角角形，因此例5图五、已知特殊角度，构造全等三角形。例5 A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线，如图， AB=2千米，BC=3千米，在B村庄的正北方向有一个 D村，测得一 二-今将 ADC区域规划为开发区，除其中4平方千米的水塘外，均作为建筑或绿化用地， 试求这个开发区的建筑及绿化用地的面积是多少？解：分别以DA、DC为对称轴，作Rt ADB和Rt BDC的对称图形 Rt ADE和Rt FDC , 延长EA和FC交于G ,则四

4、边形DEGF是以DB为边长的正方形。设二 一 2 由勾股定理得 -r因此-所以这个开发区的建筑及绿化用地的面积是11平方千米。三角形全等证明思路解析:(1) 可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中;(2) 可以从已知条件岀发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；(3) 可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；(4) 若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。有了思路也就有了解题的方向，但解题这条路却不一定是坦途，仍然充满着荆棘，那我们要怎样才能 在解任何的解题的过程中一路顺利呢？答案就是熟悉各种辅助线及其做法。以下是总结的

5、常见辅助线。常见辅助线的作法有以下几种：(1 )遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用"三线合一 ”的性质解题，思维模式是全等变换中的”对称".(2) 遇到三角形的中点或中线，倍长中线或倍长类中线，使延长线段与原中线长相等，构造” ”字形全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的”旋转".(3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，或者沿着角平分线翻折，利用的思维模式是三角形全等变换中的”对称”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.(4) 过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的 ”平移".(5

6、)截长补短，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目具体做法是在某条线段端点处截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段 相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.常见辅助线类型：B在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难 点下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考.一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等;或将短线段延长使其与长线段相等.例 1.如图 1，在 ABC 中，/ ABC=60 ° , AD、CE 分

7、别平分/ BAC、/ ACB .求证:AC=AE+CD .图1分析：要证 AC=AE+CD , AE、CD不在同一直线上.故在 AC上截取AF=AE，则只要 证明CF=CD .证明：在AC上截取AF=AE，连接OF./ AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB，/ ABC=60 °/ 1 + Z 2=60 ° ,aZ 4=Z 6= / 1 + Z 2=60 ° .显然， AEO AFO，/ 5= / 4=60 ° ,/ 7=180° (/ 4+ / 5) =60 °在厶 DOC 与厶 FOC 中，/ 6= / 7=60°，

8、/ 2= / 3, OC=OC DOC FOC, CF=CD AC=AF+CF=AE+CD .、中线倍长三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍， 构造全等三角形是常用的解题思路.例2已知三角形的两边长分别为 7和5，那么第三边上中线长 x的取值范围是（） 分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断.A解：如图2所示，设 AB=7 , AC=5 , BC上中线AD=x . 延长AD至E,使DE = AD=x ./ AD是BC边上的中线， BD=CD/ ADC= / EDB （对顶角） ADC EDB B

9、E=AC=5在 ABE 中 AB-BE V AE V AB+BE即 7-5 V 2xV 7+5 1V xv 6三、作平行线当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件.例3.如图3,在等腰 ABC中，AB=AC ,在AB上截取BD ,在AC延长线上截取 CE,且使CE=BD .连接DE交BC于F.求证：DF=EF .分析：要证 DF=EF，必须借助三角形全等而现有图形中没有全等三角形由等腰三 角形条件，可知/ B= / ACB，作DH / AE，可得/ DHB= / ACB 则 DBH为等腰三角形.证

10、明：作DH / AE交BC于H./ DHB= / ACB ,/ AB=AC，/ B= / ACB/ DHB= / B , DH=BD/ CE=BD DH= CE又 DH / AE，/ HDF= / E/ DFH= / EFC （对顶角） DFH EFC （AAS ） DF=EF四、补全图形在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决.例4 .如图4，在 ABC中，AC=BC，/ B=90 ° , BD为/ ABC的平分线.若 A点到 直线BD的距离AD为a,求BE的长.分析：题设中只有一条已知线段AD，且为直角边，而要求

11、的 BE为斜边.要找到它们之间的关系，需设法构造其他的全等三角形.证明：延长 AD、BC相交于F.由BD为/ ABC的平分线，BD丄AF .又/ BAD+ / ABD=90。，/ F+Z FAC=90 °/ ABD= Z FAC/ BD 为Z ABC 的平分线 / ABD= Z CBE Z FAC= Z CBE，而 Z ECB= Z ACF=90 ° , AC=BC ACF BCE (ASA ) BE=AF=2a五、利用角的平分线对称构造全等角的平分线是角的对称轴， 在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角， 还有一条公共 边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段， 或向

12、两边作垂线，对称构造出全等三角 形是常用的证明方法.例5 .如图5,在四边形 ABCD中，已知BD平分Z ABC，Z A+ Z C=180 ° .证明：AD=CD .分析：由角的平分线条件，在BC上截取 BE=BA，可构造厶ABD EBD，从而AD=DE .则只要证明 DE=CD .证明：在 BC上截取BE=BA，连接DE .由 BD 平分Z ABC，易证 ABD EBD AD=DE ZA= Z BED又Z A+ Z C=180 °，Z BED+ Z DEC=180 Z DEC= Z C，. DE=CD AD=CD易证 ADBFDB FD= AD=a AF=2a / F=

13、/ BAD遇三角形中线常见辅助线：若遇到三角形的中线，可倍长中线， 使延长线段与原中线长相等， 构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转”。二、角平分线常见辅助线：1、角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。2、截取构全等如图，/ AOCM BOC如取 OE=OF并连接 DE DF,则有 OEDA OFD从而为我们证明线 段、角相等创造了条件。3、延长垂线段遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形。4、做平行线 、以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形（如图1） 、通

14、过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形（如图 2）。三、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理“三线合一”性质： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。逆定理：那么这个三角形是等腰三角形。、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合, 、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。【简言之】：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。四、截长法与补短法遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 、对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。 、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来， 可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中， 再运用三角形三边的不等关