2022年经典初中数学三角形专题训练及例题解析

1、优秀学习资料欢迎下载经典三角形专题训练知识点梳理考点一、三角形1、三角形的定义 : 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接 所组成的图形叫做三角形. 2、三角形的分类 . 钝角三角形直角三角形锐角三角形)(等边三角形等腰三角形不等边三角形3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 4、三角形的重要线段三角形的中线：顶点与对边中点的连线, 三条中线交点叫 重心三角形的角平分线： 内角平分线与对边相交 , 顶点和交点间的线段 , 三个角的角平分线的交点叫 内心三角形的高：顶点向对边作垂线, 顶点和垂足间的线段 . 三条高的交点叫 垂心(分锐角三角形 , 钝角三

2、角形和直角三角形的交点的位置不同) 5、三角形具有稳定性6、三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180. 推论 1：直角三角形的两个锐角互补。推论 2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。推论 3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。7、多边形的外角和恒为3608、多边形及多边形的对角线正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为 凸多边形 ； ，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形 。多边形的对角线的条数: a.从 n 边形的一个顶点可

3、以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。b.n 边形共有2)3(nn条对角线。9、边形的内角和公式及外角和多边形的内角和等于（n-2）180(n3) 。多边形的外角和等于360。三角形(按角分 ) 三角形(按边分 ) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360。考点二、

4、全等三角形1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“sas” ）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“asa” ）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“sss ” ） 。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有hl 定理（斜边、直角边定理） ：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“hl” ）3、全等变换只改变图形

5、的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。2、三角形中的中位线连接三角形两边中点

6、的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三

7、角形。结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。考点四、直角三角形1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中， 30角所对的直角边等于斜边的一半。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4 直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222cba5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项acb=90 bdadcd2abadac2cd ab abbdbc26、

8、常用关系式由三角形面积公式可得：ab cd=acbc 经典例题解析：例 1. 如图， bp平分 fbc ，cp平分 ecb ，a=40 求 bpc的度数。分析：可以利用三角形外角的性质及三角形的内角和求解。解： 1=)4(21a)3(212a)21(180bpc40a111804)322bpcaa704018021180例 2. 如图，求 a+c+ 3+f 的度数。分析：由已知 b=30， g=80 ，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载bdf=130 ，利用四边形

9、内角和，求出3 的度数，再计算要求的值。解：四边形内角和为（ 4-2 ）180=3603=360-30-80 -130=120又 a c f 是三角形的内角a+c+f+3=180+120=300例 3已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的41，求这个多边形的边数。分析：每一个外角的度数都是其相邻内角度数的41，而每个外角与其相邻的内角的度数之和为 180。解：设此多边形的外角为x，则内角的度数为4x 418036360103610 xxxn则解得边数即这个多边形的边数为例 4. 用正三角形、正方形和正六边形能否进行镶嵌？分析：可以进行镶嵌的条件是：一个顶点处各个内角和为360解：正三角形

10、的内角为60正方形的内角为 90正六边形的内角为 120可以镶嵌。一个顶点处有1 个正三角形、 2 个正方形和 1 个正六边形。例 5. 如图，在 abc中，acb=60 ， bac=75 ，ad bc于 d，be ac于 e，ad与 be交于 h，则 chd= 解：在 abc中，三边的高交于一点，所以cf ab ，bac=75 ，且 cf ab ， acf=15 ，acb=60 ， bcf=45 在cdh 中，三内角之和为180，chd=45 ，故答案为 chd=45 点评：考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为180例 6如图， ad 、am 、ah分别 abc 的角平分线、中线和高

11、（1）因为 ad是abc的角平分线，所以 = = 1/2；（2）因为 am 是abc的中线，所以 = = ；（3）因为 ah是abc的高，所以 = =90 分析：（1）根据三角形角平分线的定义知：角平分线平分该角；（2）根据三角形的中线的定义知：中线平分该中线所在的线段；（3）根据三角形的高的定义知，高与高所在的直线垂直精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载解答：解：（ 1）ad是abc的角平分线，bad= cad=1/2 bac ；（2）am是abc的中线，bm=c

12、m=1/2bc；（3）ah是abc的高， ah bc ，ahb= ahc=90 ；故答案是：（ 1）bad 、cad 、bac ；（2）bm 、cm 、bc ；（3）ahb 、ahc 例 8如图，ap平分 bac 交 bc于点 p， abc=90 ，且 pb=3cm ，ac=8cm ，则apc的面积是 cm2解： ap 平分bac 交 bc 于点 p，abc=90，pb=3cm，点 p 到ac 的距离等于 3，ac=8cm， apc 的面积 =832=12cm2例 9. 已知：点 p 是等边 abc 内的一点， bpc150，pb2，pc3，求 pa 的长。分析： 将bap 绕点 b 顺时针方

13、向旋转 60至 bcd，即可证得 bpd 为等边三角形，pcd 为直角三角形。解：bcba，将 bap 绕点 b 顺时针方向旋转 60，使 ba 与 bc 重合，得 bcd，连结 pd。bdbp2，padc。bpd 是等边三角形。 bpd60。dpcbpcbpd1506090。dc22222313pdpcpadc13 。例 10. 两个全等的含 30o，60o角的三角板 ade 和 abc 如图所示放置， e，a，c 三点在一条直线上，连接 bd，取 bd 的中点 m，连结 me，mc。试判断 emc 是什么样的三角形，并说明理由。分析： 判断一个三角形的形状，可以结合所给出的图形作出假设，或

14、许是等腰三角形。这样就可以转化为另一个问题：尝试去证明emmc，要证线段相等可以寻找全等三角形来解决，然而图中没有形状大小一样的两个三角形。这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题：如何构造一对全等三角形？根据已知点m 是直角三角形斜边的中点，产生联想：直角三角形斜边上的中点是斜边的一半，得：mdmbma。连结 m a 后，可以证明 mdemac。答：emc 是等腰直角三角形。证明： 连接 am，由题意得，deac，adab，daebac90o。dab90o。dab 为等腰直角三角形。又mdmb，mamdmb，amdb，madm ab45o。c e a d m b 精品学习资料 可选择p d

15、f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载mdemac105o，dma90o。mdemac。dmeamc，memc。又dmeema90o，amcema90o。mcem。emc 是等腰直角三角形。说明： 构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径。构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度。会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性。在问题中创设以三角板为情境也是考题的一个热点。例 11. 如图，等腰直角三角形 abc 中，ac

16、b90，ad 为腰 cb 上的中线， cead 交 ab于 e求证 cdaedb提示：作 cfab于 f，则 acf45，在abc 中， acb90，cead，于是，由 acgb45，abac ，且易证 12，由此得 agcceb（asa） 再由 cddb，cgbe，gcdb，又可得 cgdbed（sas ） ，则可证 cdaedb例 12. 如图，abc 中，12，34，56a60求 ecf、fec 的度数略解：因为a60，所以 2321（18060） 60；又因为 b、c、d 是直线，所以 4590；于是 fec2360，fce4590，fec60例 13.在 rtabc 中， a90，c

17、e 是角平分线，和高ad 相交于 f，作 fgbc 交 ab于 g，求证： aebg12abfcdea b c d f g e 1 2 3 4 5 6 a b c d e f g h 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载略解：作 ehbc 于 h，由于 e 是角平分线上的点，可证aeeh ；且又由 aecbecbcadecaafe可证 aeaf，于是由 afeh，afgehb90， bagf可得 afgehb；所以 ageb，即 aeegbgge，所以 aebg反馈

18、练习1. 如图， ad是abc 的中线，如果 abc 的面积是 18cm2，则 adc 的面积是 cm22. 如图， abc 中，abc= bac=45 ，点 p在 ab上，ad cp ，be cp ，垂足分别为 d ，e，已知 dc=2 ，则 be= 3（2009?宜宾）已知：如图，四边形abcd 是菱形，过 ab的中点 e作 ac的垂线 ef，交 ad于点 m ，交 cd的延长线于点 f（1）则 am dm；（2）若 df=2 ，则菱形 abcd 的周长为精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载4已知 bd ，ce是abc的两条高， m 、n分别为 bc 、de的中点，勇敢猜一猜：（1）线段 em 与 dm 的大小有什么关系