2022年经典超级实用的解题方法之平面向量与解析几何

1、优秀学习资料欢迎下载第 18 讲 平面对量与解析几何在高中数学新课程教材中，同学学习平面对量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者学问整合的不多，很多同学在学习中就“平面对量”解平面对量题，不会应用平面对量去解决解析几何问题；用向量法解决解析几何问题思路清楚，过程简洁，有意想不到的奇妙成效；闻名训练家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的爱好，简洁的重复将会引起同学大脑疲惫，学习爱好衰退；这充分揭示方法求变的重要性，假如我们能重视向量的教学，必定能引导同学拓展思路，减轻负担；一、学问整合平面对量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点；向量学问、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛

2、的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的很多主干学问综合，形成学问交汇点；而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的位置，有些问题用常规方法去解决往往运算比较纷杂，不妨运用向量作形与数的转化，就会大大简化过程；二、例题解析2例 1、（ 2000 年全国高考题） 椭圆 x2y1 的焦点为 f1 ,f 2 ，点 p 为其上的动点， 当 f1 p94f 2 为钝角时，点 p 横坐标的取值范畴是 ；解： f1（5 ,0 ）f2（ 5 ,0 ） , 设 p（ 3cos,2sin）f1pf 2 为钝角 pf1pf2 （53cos,2sin 53cos ,2s

3、in=9cos2 5 4sin 2=5 cos 2 1<0解得：5cos55点 p 横坐标的取值范畴是（5353 5,）55点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手；此题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明白；例 2、已知定点 a-1,0和 b1,0，p 是圆 x-32+y-42=4 上的一动点，求22papb 的最大值和最小值；分析：由于 o为 ab的中点，所以papb2 po, 故可利用向量把问题转化为求向量op 的最值；解：设已知圆的圆心为c，由已知可得：oa1,0, ob1,0所以 papbpapb2oaob0,oaob1 又由中点

4、公式得papb2po2222pa pby=2 po2oaop obop2=4 po2oa ob22 op2opoaobpc222=2 op2又由于 oc3, 4点 p 在圆 x-3+y-4=4 上,aobx所以 oc5, cp2,且 opoccp所以 occpopoccpoccp222即3op7故 20papb2 op21002所以 pa2pb 的最大值为 100，最小值为 20；点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件显现，但假如运用向量学问来解决， 也会显得自然、简便，而且易入手；例 3、（ 20xx年天津高考题） o是平面上肯定点，a、b、c 是平面上不共线的三个点，动点p满意

5、opoaab| ab |ac ，| ac |0 ，就 p 的轨迹肯定通过abc的（）（ a）外心（ b）内心（c）重心（d）垂心分析：由于ab 、ac分别是与ab、ac 同向的单位向量，由向量加法的平行四边形就知| ab | | ac |abac| ab | ac |是 与 abc的 角 平 分 线 （ 射 线 ） 同 向 的 一 个 向 量 ， 又opoaap abc的内心； abacabac ，知 p 点的轨迹是 abc的角平分线，从而点p 的轨迹肯定通过反思：依据此题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；（ 1） 由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量

6、v1、v2 ；v1v2（ 2） 求出角平分线的方向向量vv1v2（ 3） 由点斜式或点向式得出角平分线方程； 直线的点向式方程：过p（ x0 , y0 ），其方向向量为v a, b ，其方程为xx0 ayy0b例 4、（ 20xx年天津）已知常数a0 ，向量 c0, a ，i1,0，经过原点 o 以 ci 为方向向量的直线与经过定点a0, a 以 i2 c 为方向向量的直线相交于点p ，其中r 试问：是否存在两个定点e、 f，使得 pepf 为定值， 如存在， 求出e、f的坐标； 如不存在， 说明理由（本小题主要考查平面对量的概念和运算, 求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质

7、，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题才能. ）解：依据题设条件，第一求出点p 坐标满意的方程，据此再判定是否存在两定点，使得点p 到两定点距离的和为定值. c0, a，i1,0 ， ci =（ ， a）， i2c =（ 1， 2 a）.因此，直线 op和 ap的方程分别为yax和ya2 ax .消去参数 ，得点p x, y 的坐标满意方程y ya2a 2 x 2 .整理得x2 y18a) 22a 221.由于 a0, 所以得：（ i ）当2a时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点e 和 f；2（ ii ）当 0a2 时，方程表示椭圆，焦点2e 1122a2 , a2和 f 112

8、2a2 , a2为合乎题意的两个定点；（ iii）当 a2 时，方程也表示椭圆，焦点2e 0, 1 a2a 21 和2f 0, 1 a2a1 为合22乎题意的两个定点.点评：此题以平面对量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题才能；去掉平面对量的背景，我们不难看到，此题即为下题：在 oap中，o（ 0，0）、a（ 0，a）为两个定点， 另两边 op与 ap的斜率分别是a 0,2a ，求 p 的轨迹；而课本上有一道习题（数学其次册（上）第96 页练习题 4）：三角形 abc的两个顶点 a、b 的坐标分别是（ -6 ， 0）、（ 6， 0）

9、，边 ac、bc所在直线的斜率之积等于4 ，求顶点 c 的轨迹方程；通过本例可见高考题目与课本的亲密关系；9例 5（ 20xx年天津卷理 22）椭圆的中心是原点o，它的短轴长为22 ，相应于焦点 f（ c， 0）（ c0 ）的准线 l 与 x 轴相交于点a， |of|=2|fa|，过点 a 的直线与椭圆相交于p、q两点 .（ 1）求椭圆的方程及离心率；（ 2）如 op oq0 ，求直线 pq的方程；（ 3）设 apfmaq （1），过点 p 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点m，证明fq .分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面对量的运算，曲线和方程的关系等解析几

10、何的基本思想方法和综合解题才能.（ 1）解：由题意，可设椭圆的方程为x2y 22a21a2 .由已知得a 2c 2a2c2c2,解得 ac.6 , c2x 2y 2所以椭圆的方程为1 ，离心率e6 .623（ 2）解：由（ 1）可得 a（ 3， 0） .设直线 pq的方程为 yk x3 . 由方程组x 2y 21,62ykx3得 3k 21) x218k 2 x27 k 260依题意1223k 2 0 ，得6k6 .33设 p x1 ,y1 ,q x2 ,y2 ，就 x1x218k23k 21 ，x1 x227k 263k 21 .由直线 pq的方程得 y1k x13,y2k x23 . 于是

11、y1 y2k 2 x3 x23k 2 x x3 x1x2 9 .112 op oq0 ，x1x2y1 y20 .由得5k 21 ，从而 k56 ,536 .3所以直线 pq的方程为 x5 y30 或 x5 y30（ 2）证明： apx13,y1, aqx23,y2 . 由已知得方程组x13 y1x216x226y2,y212y222x21,1.3,51留意1，解得 x22因 f 2,0, mx1,y1 ，故fmx12,y1 x231,1y11,2y1 1,2y2 .而 fqx22,y2 2,y2 ，所以 fmfq.三、总结提炼由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份” ，使向量与解析几何之间有着亲密联系，而新课程高考就突出了对向量与解析几何结合考查， 这就要求我们在平常的解析几何教学与复习中， 应抓住时机，有效地渗透向量有关学问，