最值系列之瓜豆原理

1、最值系列之瓜豆原理轨迹之线段篇引例：如图，P是直线BC上一动点，连接 AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时，Q 点轨迹是？【分析】当5可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为 M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故 Q点轨迹是一条直线.【引例】如图，AAPQ 动时，求Q点轨迹？当点P在直线BC上运【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形.当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如 Q点的起始位置和终点位置，连接即得 Q点轨迹线段.Q2Qi【模型总结】必要条件：主动点

2、、从动点与定点连线的夹角是定量（/PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）.结论:P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于/PAQ （当/ PAQW 90时，/ PAQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于 AP:AQ （由ABCsAMN,可得AP:AQ=BC:MN）A .【2017姑苏区二模】如图，在等边 那BC中，AB=10, BD=4, BE=2,点P从点E出发沿EA方向运 动，连结PD,以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边 ADPF,当点P从点E运动到点 A时，点F运动的路径长是.A【分析】根据4DPF是等边三角形，所以可知 F点运动路径长与

3、P点相同，P从E点运动到A点路 径长为8,故此题答案为8.【2013湖州中考】如图，已知点 A是第一象限内横坐标为 2#的一个定点，AC，x轴于点M,交直线y=-x于点N,若点P是线段ON上的一个动点，/ APB=30°, BAXPA,则点P 在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点 P从点。运动到点N时，点B运 动的路径长是.x【分析】根据/ PAB=90°, /APB=30°可得：AP:AB=73:1 ,故B点轨迹也是线段，且 P点轨迹路径长与 B点轨迹路径长之比也为 曲：1 , P点轨迹长 ON为2屏,故B点轨迹长为 2 2.【练习】如图，在平面直

4、角坐标系中，A (-3,0)，点B是y轴正半轴上一动点，点 C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边 评BP,点B在y轴上运动时，求OP的最小值.P【分析】求OP最小值需先作出 P点轨迹，根据AABP是等边三角形且 B点在直线上运动, 故可知P点轨迹也是直线.取两特殊时刻：（1）当点B与点。重合时，作出P点位置P1; （2）当点B在x轴上方且 AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2.连接P1P2,即为P点轨迹.根据/ ABP=60。可知：PP2与y轴夹角为60。，作OP，PR,所得OP长度即为最小值,3 OP2=OA=3,所以 OP= .2上的一【2019宿迁中考】如图，

5、正方形 ABCD的边长为4, E为BC上一点，且BE=1 , F为AB边 个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边 EFG,连接CG ,则CG的最小值为【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出 G点轨迹:考虑到F点轨迹是线段，故 G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在Gi位置，最终 G点在G2位置（G2不一定在CD边），G1G2即为G点运动轨迹.CG最小值即当CG，G1G2的时候取到，作 CH，GiG2于点H, CH即为所求的最小值.根据模型可知： G1G2与AB夹角为60°,故GG2