数形结合思想在初中数学中的应用

1、浅谈数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是初中数学中的一个重要思想，“数”与“形”就好比数学中的“左右腿”。 全面理解数形结合思想，就需要从“以数助形”和“以形助数”两个方面来体会，另外在相 关的函数题型中利用“数形结合思想”解决问题能起到事到功半的效果，下面我就“以形助 数“、“函数中数形结合思想的运用”两个方面來探讨数形结合思想在初中数学中的应用。一、以形助数儿何图形在数学屮所具有的最大的优势就是直观易懂，所以在谈到“数形结合”思想时, 就更偏好于“以形助数”的方法，利用儿何图形解决相关不易求解的代数问题。儿何图形直 观的运用于代数中主耍体现在几个方面：(1) 利用相关的几何图形帮助

2、记忆代数公式，例如：完全平方公式与平方差公式；(2) 利用数轴及平血直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形, 进而帮助求解相关的代数问题，或者简化相关的代数运算。例1、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与 拼成的大长方形的面积之间的关系。(1)根据你发现的规律填空：+() x ()利用的结论将下列多项式分解因式： x2 +7x+10 b7y + 12这是市直初中20072008学年度八年级第一学期期末考试中的第22题，这一题实 质上是在推导人教版八年级上册数学第15章选学部分关于/+( + q)x+/?q型式子的因 式分解。利用这个图形能比较

3、方便的得出x2+(p + q)x+pq的分解结果为(兀+#)(x + q),进而可以得出此题第(2)问的求解：(兀+ 2)(兀+ 5),(y 3)(y 4)。而 且利用这样的数形结合的方法还能加深对f+(p + q)x+#q型式子的因式分解结果的记忆，另外像平方差公式、完全平方式都可以利用这一思想加深其记忆。例2、已知b均为正数，且d + b = 2。求72+4+7/r+1的最小值。2|在本题中由求解式子的特点可以联想到构造直角三角形 利用勾股定理进行处理。如图作线段ab = 2f在ab上截 取ae = a , eb = b,过点a作ac丄ab,且使得ac = 2f 过点b作bd丄ab,且使得

4、bd = lo这种构图后可以得到两 个直角三角形，所以可以使用勾股定理得到ce = q72, bd =x,所以本题屮求解的问题实质上就是求这两个直角三角形的斜边长之和最小。在图形中延长ca至点g ,使得ag = ac,连接ge ,由三角形两边之和大于第三边可知当g、e、d三点共线时， ge+ed = dg最短。所以牯+4 + 祐+1最小值就是线段dg的长度。下面求解 dg,延长db至点f,使得bfiiag且bf = ag,连接gf ,此时构出一个直角三角 形即rtadgf ,在这个直角三角形中dg = df2+gf2 = 32 +22 = v13，所以+ 4 +1的最小值为y/3 ©

5、二、函数中数形结合思想的运用例3、某物流公司的快递车和货车每天往返于a、b两地，快递车比货车多往返一趟。 下图表示快递车距离a地的路程y （单位：千米）与所用时间 （单位：吋）的函数图象。 已知货车比快递车早1小时出发，到达b地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返冋, 结果比快递车最后一次返回a地晚1小时。（1）请在下图中画111货车距离a地的路程歹（千米）与所用时间x（时）的函数图象；（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；（3）求两车最后一次相遇时，距离a地的路程和货车从人地出发了几小时。这是无为县2010/2011学年度第一学期八年级期末测试卷第23题，也是安庆市 2010/20

6、11学年度第一学期八年级期末测试卷第23题，在此题中利用相关的函数图象对行 程问题进行求解起到了事半功倍的效果。（1）问中的图象如图所示；（2） 4次； 利用一次函数的思想进行求解对第（3）问进行求解。（3）如图所示，设直线ef的解析式j200 = 5k1 +勺.(0 = 9心+肉'= -50= 450/. y 50x + 450。为 y = kx + hf 图象过(9,0), (5,200),设直线cd的解析式为y = k2x + b2,图象过(&0), (6,200),y = 100兀+ 800。.丿200 = 6心+2 .卩2 =-1000 = 8化 + b2仇=800解由，组成的方程组得x = 1y = 100最后一次相遇时距离a地的路程为100km,货车从a地出发8小时。像这种利用函数图象解决相关代数问题的题型在人教版八年级上册第14章屮比较多， 另外像初中代数中的一元一次不等式，在函数中可以利用幣数图象來看这样的一元一次不等 式。对于有些可以比较繁琐的不等式利用函数观点求解可以使得求解的过程得到简化。数形结合思想在对于培养和发展学生的空间观念和数感方面有很大的启发作用, 利用数形结合思想进行解题可以使的有