《三角恒等变换》章末总结

1、三角恒等变换章末总结一、教学目的：对第三章“三角恒等变换”进行章末知识总结，对重点、热点题型进行归纳总结。二. 重点、难点：公式的灵活应用三、知识分析： 1 、 本章网络结构tantantantantantantantan22112coscossincossinsinsincos22112222222ssccsincossinsincossinsinsincoscoscoscossinsincoscos12121212令absinsinsincossinsincossincoscoscoscoscoscossinsinabababababababababababab222222222222相除

2、相除移项2相加减12212222coscoscossin变形sincoscoscos212212相除tancoscossincoscossin21111 2 、要点概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如2，3是23的半角，2是4的倍角等。（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。（4）求值的类型：“给角求值” ：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系

3、，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。“给值求值” ：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系。“给值求角” ：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。（ 5 ） 灵 活 运 用 角 和 公 式 的 变 形 ， 如：2，tantantantantan1等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。（6）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换 （即将多种形式的角尽量统

4、一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦” ） ，有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。（7）证明三角恒等式时，所用方法较多，一般有以下几种证明方法：从一边到另一边，两边等于同一个式子，作差法。3简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。三、解题方法分析1熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨

5、】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。例 1、设2132tan13sin 50cos6sin 6 ,221tan 132cos25abc则有（）a.abc b.abc c.acb d.bca【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如： sincos=2sin21， cos=2sinsin2，2cossincos22，2tantan-12tan2，2)cos(sincossin21，2cos22cos1，2sin22cos1，22cos1sin,2

6、2cos1cos22， tan tan =tan( + )(1- tan tan) 等。另 外 ， 三 角 函 数 式asinx+bcosx是 基 本 三 角 函 数 式 之 一 ， 引 进 辅 助 角 ， 将 它 化 为)xsin(ba22即 asinx+bcosx=)xsin(ba22（其中tanba） 是常用转化手段。特别是与特殊角有关的sin cosx ， sinx 3 cosx ，要熟练掌握其变形结论。2明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口三角恒等变换是三角函数与平面向量这两章的延续与发展，三角变换只变其形，不变其质，它可以揭示有些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内

7、在联系，帮助我们达到三角恒等变换的目的。（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换 【方法点拨】 教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想， 应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、 名称、形式的变换问题。例 2 已知243，cos（）=1312，sin （+）=53，求 sin2的值练习：已知434，04，且cossin435541213，求cos。分 析： 由已 知 条件 求cos， 应 注 意 到 角之 间的 关 系，44，可应用两角差的余弦公式求得。解：由已知434，得344，420又cossin435445，由04，得442，又 sins

8、in544sin412131354cos13124sin，由44，得coscos44coscossinsin4444531243313513565点评： 三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键； 常见角的变换：2，442xx等。例 3化简：2sin50 +sin10 （1+3 tan10） 2sin 80（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此， 有时在三角恒等变换中， 可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。例 4：已知 sin （+）=32，sin （）=43，求2tan(

9、)tantantantan()的值。（3）运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】 换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。例 5：若,22sinsin求coscos的取值范围。3关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点例 6abc中，sinsintancoscosabcab，sin()cosbac求,a c分析： “切化弦” 是解决三角问题常用的方法，再利用三角形中角的关系进行恒等变形解： 因为sinsintancoscosabcab，即sinsinsincoscoscoscabcab，所以sincossincoscossincossincacbcacb，即sincoscossincossinsincoscacacbcb，得sin()sin()cabc所以cabc，或()cabc( 不成立 ) 即2cab，得3c，所以23b