2022年自动控制原理习题全解及MATLAB实验第5章习题解答

1、108 第5章频率特性法频域分析法是一种图解分析法，可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能，并能较方便地分析系统参量对系统性能的影响，从而指出改善系统性能的途径，已经发展成为一种实用的工程方法，其主要内容是：1）频率特性是线性定常系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入的复数之比对频率的函数关系。频率特性是传递函数的一种特殊形式，也是频域中的数学模型。频率特性既可以根据系统的工作原理，应用机理分析法建立起来，也可以由系统的其它数学模型（传递函数、微分方程等）转换得到，或用实验法来确定。2）在工程分析和设计中，通常把频率特性画成一些曲线。频率特性图形因其采用的坐标不同而分为幅相特性 (nyq

2、uist 图)、对数频率特性 (bode 图 )和对数幅相特性(nichols 图)等形式。 各种形式之间是互通的，每种形式有其特定的适用场合。开环幅相特性在分析闭环系统的稳定性时比较直观，理论分析时经常采用；波德图可用渐近线近似地绘制，计算简单，绘图容易，在分析典型环节参数变化对系统性能的影响时最方便；由开环频率特性获取闭环频率指标时，则用对数幅相特性最直接。3）开环对数频率特性曲线(波德图 )是控制系统分析和设计的主要工具。开环对数幅频特性l( )低频段的斜率表征了系统的型别(v)，其高度则表征了开环传递系数的大小，因而低频段表征系统稳态性能；l( )中频段的斜率、宽度以及幅值穿越频率，表

3、征着系统的动态性能；高频段则表征了系统抗高频干扰的能力。对于最小相位系统，幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关系，根据对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数。4）奈奎斯特稳定性判据是利用系统的开环幅相频率特性g(j )h(j)曲线， 又称奈氏曲线， 是否包围gh平面中的 (l，j0)点来判断闭环系统的稳定性。利用奈奎斯特稳定判据，可根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性，并可定量地反映系统的相对稳定性，即稳定裕度。稳定裕度通常用相角裕量和幅值裕量来表示。5）利用开环频率特性或闭环频率特性的某些特征量，均可对系统的时域性能指标作出间接的评估。其中开环频域指标主要是相位裕量

4、、穿越频率c。闭环频域指标则主要是谐振峰值rm、谐振频率r以及带宽频率b，这些特征量和时域指标、st之间有密切的关系。这种关系对于二阶系统是确切的，而对于高阶系统则是近似的，然而在工程设计中精度完全可以满足要求。教材习题同步解析5.1 一放大器的传递函数为：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 38 页 - - - - - - - - -109 g(s)=1tsk测得其频率响应，当=

5、1rad/s 时，稳态输出与输入信号的幅值比为12/2，稳态输出与输入信号的相位差为/4 。求放大系数k 及时间常数t。解： 系统稳态输出与输入信号的幅值比为221221kat，即222172kt稳态输出与输入信号的相位差arctan45t，即1t当=1rad/s 时，联立以上方程得t=1，k=12 放大器的传递函数为：g(s)=121s5.2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为5( )1kgss根据频率特性的物理意义，求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。（1）r（t）=sin（t+30 ） ；（2）r（t）=2cos（2t45 ） ；（3）r（t）= sin（t+15 ） 2c

6、os（2t45 ） ；解： 该系统的闭环传递函数为65)(ss闭环系统的幅频特性为365)(2a闭环系统的相频特性为6arctan)(（1）输入信号的频率为1，因此有精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 38 页 - - - - - - - - -110 37375)(a，()9.46系统的稳态输出5 37( )sin(20.54 )37ssctt（2）输入信号的频率为2，因此有10

7、()4a，()18.43系统的稳态输出10( )cos(263.43 )2ssctt（3）由题（ 1）和题（ 2）有对于输入分量1：sin（ t+15 ） ，系统的稳态输出如下5 371 ( )sin(5.54 )37ssctt对于输入分量2： 2cos（2t45 ） ，系统的稳态输出为102 ( )cos(263.43 )2ssctt根据线性系统的叠加定理，系统总的稳态输出为)4363.632cos(210)537.5sin(37375)(tttcss5.3 绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性与对数频率特性。（1）11 .010)(ssg（2）g(s)=10(0.1s 1) （3）)2(4

8、)(sssg（4)2)(1(4)(sssg（5）)02.0(2.0)(ssssg（6）)1)(1(10)(2ssssg（7）1)(2.0sesg解：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 38 页 - - - - - - - - -111 （1）11.010)(ssg幅相频率特性开环系统110( )0.11g ss是一个不稳定的惯性环节，频率特性为110()10.1gjj相频特性为1(

9、)(180arctan0.1 )arctan0.1180相频特性从180 连续变化至 90 。可以判断开环奈氏曲线起点为(10，j0)点，随的增加， a1()逐渐减小至0，而1()逐渐增加至90 ，绘制出系统开环频率特性g1(j)的轨迹，如图5.1(a)虚线所示，是一个直径为10 的半圆。而开环系统210( )0.11gss则是一个典型的惯性环节，其幅相频率特性g2(j)如图 5.1(a)实线所示。对数频率特性开环系统110( )0.11gss与210( )0.11gss的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图5.1(b)所示。（ 2）g(s)=10(0.1s 1) 幅相频率特性(a)

10、 幅相频率特性im 10 re 00(b) 对数频率特性图 5.1 题 5.3（1）系统频率特性10 / (rads1)l()/ （db）20( )/904500 20/ (rads1)10100101801351()gj2()gj2() 1() 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 38 页 - - - - - - - - -112 开环系统g1(s)=10(0.1s1)的频率特性

11、为1()10( 0.11)gjj，其相频特性为1()180arctan0.1相频特性从180 连续变化至90 。其开环频率特性g1(j)的轨迹，如图5.2(a)虚线所示。而开环系统g2(s)=10(0.1s+1)则是一个典型的一阶微分环节，其幅相频率特性g2(j)如图 5.2(a)实线所示。对数频率特性同题（ 1） ，二者的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图5.2(b)所示。（3）)2(4)(sssg系统开环传递函数的时间常数表达式为2( )(0.51)g sss幅相频率特性1）系统为型系统，a(0)=，(0)=90o，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：将频率

12、特性表达式分母有理化为(a) 幅相频率特性im 10 re 00(b) 对数频率特性图 5.2 题 5.3（2）系统频率特性10 / (rads1)l()/ （db）20( )/904500 20/ (rads1)10100101801351()gj2()gj2( ) 1( ) 0精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 38 页 - - - - - - - - -113 22222(1

13、0.5 )2()( 0.51)(10.5 )(10.5 )(1 0.25)1210.25(1 0.25)jjjg jjjjjj则低频渐近线为20001lim re ()lim( )lim110.25xg jr同时可知，频率特性实部与虚部均0，故曲线只在第三象限。2）nm=2，则()=180 ，幅相特性沿负实轴进入坐标原点。3）此系统无开环零点，因此在由 0 增大到过程中，特性的相位单调连续减小，从90o连续变化到180 。奈氏曲线是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。系统的幅相频率特性g(j)见图 5.3(a)。对数频率特性1）可知系统包含有放大、积分、一阶

14、惯性环节，转折频率为 t =2 rads1。低频段斜率为20db/dec，低频段表达式为l()=20lg220lg ，并通过点l(2)= 0db 。经过转折频率t后斜率为 40db/dec。2）系统的相频特性为积分环节（90o）与惯性环节（0o 90o ）相频特性的叠加，为()90arctan0.5转折频率处相位为(2)=135 ，对数相频特性曲线对应于该点斜对称。绘制开环伯德图l()、()，如图 5.3（b）所示。(a) 幅相频率特性im 1 re 0(b) 对数频率特性图 5.3 题 5.3（3）系统频率特性/ (rads1)l()/ （db）20( )/90020/ (rads1)110

15、0.12180135()g j40110精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 38 页 - - - - - - - - -114 （4）)2)(1(4)(sssg系统开环传递函数的时间常数表达式为2( )(1)(0.51)g sss幅相频率特性1）系统为 0 型系统， a(0)= 2， (0)= 0o，开环奈氏曲线起点为(2，j0)点； nm=2，则()= 180 。随的增加， a(

16、)逐渐单调连续减小至0，而()滞后逐渐增加至180 ，幅相特性沿负实轴进入坐标原点。2）将频率特性表达式分母有理化为222222222(1)(10.5 )()(1)(10.5)(1)(10.25)2(10.5)3(1)(10.25)(1)(10.25)jjg jjjj频率特性虚部均0，故曲线在第三、第四象限。3）相位有()=90 ，因此与虚轴的交点为22222(1 0.5)re()0(1)(10.25)2/ ,im()0.94g jradsg j此系统无开环零点，因此在由 0 增大到过程中，奈氏曲线是平滑的曲线，g(j)见图 5.4(a)。对数频率特性(a) 幅相频率特性im j0.94 re

17、 0(b) 对数频率特性图 5.4 题 5.3（4）系统频率特性2 / (rads1) l( )/（db）20( )/180900020/ (rads1) 1100.10()g j62400精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 38 页 - - - - - - - - -115 1）可知系统包含有放大、两个一阶惯性环节，转折频率分别为 1 =1 rads1、 2 =2 rads1。系

18、统为 0 型，低频段斜率为0db/dec，低频段表达式为l( )=20lg2=6db 。经过转折频率1、 2后斜率分别为 20、 40db/dec。2）系统的相频特性是两个惯性环节相频特性的叠加，为()arctanarctan 0.5两个转折频率处相位分别为(1)=72 ，(2)=109 。绘制开环伯德图l()、()，如图 5.4（b）所示。（5）)02.0(2.0)(ssssg系统开环传递函数的时间常数表达式为0.2(51)10(51)( )0.02 (501)(501)ssg sssss幅相频率特性1）系统为型系统，a(0)=，(0)=90o，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线

19、如下确定：22210( 51)10( 51)(150)45010(2501)()( 501)(150)(150)12500(12500)jjjjjg jjjjjj(a) 幅相频率特性(b) 对数频率特性图 5.5 题 5.3（5）系统频率特性/ (rads1)l()/ （db ）20( )/180020/ (rads1)0.020.20.00290400.020.2406020135im re 0()g j450 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f -

20、 - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 38 页 - - - - - - - - -116 低频渐近线为2000450lim re ()lim( )lim45012500 xg jr同时可知，频率特性实部、虚部均0，具有相位超前作用，故名超前校正装置；3）()有超前最大值m。（b）电网络的传递函数为221212122211( )1()11,rr csscg srr csrrscrrtr cr频率特性为2121()()1jr cg jjrr c幅频特性2221()()1tat相频特性()arctanarctantt伯德图见图5.9（a） ，此电网络是系统校正中常用的

21、滞后校正装置（见第六章），呈现以下特点：1） 转折频率t1与t1之间渐近线斜率为20db/dec，起积分作用；2）()在整个频率范围内都0，具有相位滞后作用，故名滞后校正装置；3）()有滞后最大值m。5.5 由实验测得某最小相位系统幅频特性如下，试确定系统的传递函数表 5.1 最小相位系统的实验数据/(rad s1) 0.3 0.5 1.25 2 2.5 5 6.25 10 12.5 20 25 50 100 a9.978 9.79 9.64 9 8.78 6.3 5.3 3.24 2.3 0.9 0.6 0.1 0.01 解：1）根据表5.1，求出与每个频率对应的稳态输出与输入幅值比的分贝值

22、20lga，见表 5.2。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 38 页 - - - - - - - - -121 表 5.2 最小相位系统的实验数据/(rad s1) 0.3 0.5 1.25 2 2.5 5 6.25 10 12.5 20 25 50 100 a9.978 9.79 9.64 9 8.78 6.3 5.3 3.24 2.3 0.9 0.6 0.1 0.01 2

23、0lga 19.98 19.82 19.68 19.08 18.87 15.99 14.49 10.21 7.23 0.92 4.43 20 40 2）已知该系统为最小相位系统，可直接由幅频特性曲线求出传递函数，根据表5.12 绘出系统的对数幅频性曲线l()，如图 5.10 虚线所示。3）根据求得的l()，由 0、 20、 40、 0db/dec 斜率的线段近似，求出其渐近线，如图5.10 实线所示。4）由低频段确定系统积分环节的个数v 与开环传递系数k低频渐近线的表达式为l()=20lgk=20db，系统为0 型， k=10。5）由渐近线的每个转折点确定各典型环节的转折频率；并由渐近线在转折

24、点斜率的变化量确定串联的各典型环节。在转折频率13处，斜率减小20db/dec，则必有惯性环节11( )31g ss；在转折频率230处，斜率减去40db/dec，则有振荡环节121)(22tsstsg，阻尼比 可由谐振峰值的大小查表求取。由图5.10，230处 l()的误差约为 6db，查教材表5.7（振荡环节对数幅频特性最大误差修正表）可得，1。因此，221( )11190015gsss。图 5.10 题 5.5 控制系统的开环伯德图1 40 10 l( )/（db）100 0 60 / (rads1) 0.01 40 20 20 20 20 12 60 60 20 40 60 3 30

25、精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 38 页 - - - - - - - - -122 6）综上，系统的传递函数为210( )11(31)(1)90015g ssss5.6 各系统开环传递函数如下，用奈氏稳定判据判断下列反馈系统的稳定性（1) 2500( )(100)kgss ss（2）100(0.011)( )(1)ksgss s解： （1) 2500( )(100)kgss

26、 ss令 s=j，得开环系统频率特性2500()(100)kgjjj1）系统为型系统，a(0)=，(0)=90o，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：将频率特性表达式分母有理化为222222222222222500500(100)()(100)(100)(100)500500(100)500500(100)(100)(100)(100)kjjgjjjjjjj则低频渐近线为222000500lim re()lim()lim0.05(100)xg jr同时可知，频率特性实部0 ，故曲线只在第二与第三象限。2）nm=3，则()=270 ，幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。3）此系统无

27、开环零点，因此在由 0 增大到过程中，特性的相位单调连续减小，从90o连续变化到270 。奈氏曲线是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。4）()有 180 相位角，故曲线与负实轴有交点，交点坐标可以由下式确定im g(j)= i()=2222500(100)0(100)精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 38 页 - - - - - - -

28、- -123 解之得交点处频率=10，代入实部i()，即可得曲线与负实轴交点的坐标为222105005(100)该系统开环奈氏曲线见图5.11(1)。5）曲线始于虚轴的无穷远处，与负实轴的交点为（5，j0） 。故当由 0 变到 +时，开环频率特性曲线顺时针包围（1，j0）点的次数为1/2，n=1/2。由于开环右极点数为p=0，故z = 2n + p=2 闭环系统有两个右极点，闭环不稳定。解： （2）100(0.011)( )(1)ksgss s令 s=j，得系统开环频率特性100( 0.011)()(1)kjgjjj该系统为非最小相位系统，p=1，开环系统的相频特性为()arctan0.019

29、0(180arctan)270arctan0.01arctan1）系统为型系统，a(0)=，(0)=270o ，低频特性始于平行于正虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：将频率特性表达式分母有理化为（1）（2）图 5.11 题 5.6 系统幅相频率特性0 im re 5 0.05 0 1 0 im re 101 0 1 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 38 页 - - - -

30、 - - - - -124 22222100( 0.011)100(10.01 )(1)()(1)(1)(1)100(10.011.01 )101100(10.01)(1)(1)(1)kjjjjgjjjjjjjj则低频渐近线为2000101lim re()lim()lim101(1)xg jr同时可知，频率特性实部0 ，故曲线只在第二与第三象限。2）()=90 ，幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。3）此系统有开环零点0.011s，因此在=100 附近曲线有凹凸。4）()有 180 相位角，故曲线与负实轴有交点，交点坐标可以由下式确定im g(j)=i()=22100(10.01)0(1)解之得交点

31、处频率=10，代入实部i()，即可得曲线与负实轴交点的坐标为2101011(1)5）该系统开环奈氏曲线见图5.11(2)，与负实轴的交点为（1，j0） ，说明闭环系统临界稳定，有位于虚轴上的共轭虚根。若直接采用劳斯判据，系统的闭环特征方程为22( )1001000a sssss闭环极点为1,210sjj与奈氏判据的分析一致。5.7 设系统的开环幅相频率特性如图5.12 所示，判断闭环系统是否稳定。图中p 为开环传递函数在右半 s平面的极点数，v 为系统的型别。解：（a）0v，1p，12n，20znp，故闭环系统稳定。（b）0v，1p，12n，1n，2()0znnp，故闭环系统稳定。（c）0v，

32、1p，12n，22znp，故闭环系统不稳定。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 38 页 - - - - - - - - -125 （d）2v，在0 附近，曲线以为半径，逆时针补画= 2 90 =180 的圆弧与正实轴相交。0p，0n，20znp，故闭环系统稳定。（e）1v，在0 附近，曲线以为半径，逆时针补画= 90 的圆弧与正实轴相交。2p，1n，20znp，故闭环系统稳定

33、。（f）2v，在 0附近，曲线以为半径，逆时针补画= 2 90 =180 的圆弧与正实轴相交。0p，1n，22znp，故闭环系统不稳定。（g）0v，1p，12n，20znp，故闭环系统稳定。（h）0v，2p，0n，22znp，故闭环系统不稳定。5.8 已知最小相位系统开环对数幅频特性如图5.13 所示。（1）写出其传递函数；（2）绘出近似的对数相频特性。图 5.12 题 5.7 图精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -

34、 - - - - - 第 18 页，共 38 页 - - - - - - - - -126 解： （a）1） 由低频段确定系统积分环节的个数v 与开环传递系数k 由于低频段的斜率为0db/dec，该系统为0 型系统。由20lg60k，求出 k=1000。2）确定串联的各典型环节第一个转折频率1=1rad s1，且斜率减小20db/dec，有一个惯性环节11s；第二个转折频率2=10rad s1，且斜率减小20db/dec，有一个惯性环节1110s；第三个转折频率3=300 rads1，且斜率减小20db/dec，有一个惯性环节11300s。3）综上所述，该系统的开环传递函数为1000( )11

35、(1)(1)(1)10300kgssss4） 绘出近似的对数相频特性对于最小相位系统，对数频率特性的低频渐近线斜率为20vdb/dec，相频特性()|0=90v ，均与积分环节的个数v 有关；当时，若 n m，高频渐近线斜率为20（nm）db/dec 的斜线，()|=90（nm） 。因此，本开环系统相频特性有，(0)=0 ，()=270 。图 5.13 题 5.8 图精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -

36、- - 第 19 页，共 38 页 - - - - - - - - -127 最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同，即若 l()的斜率减小 （或增大）， 则 ()的相位也相应地减小（或增大）；如果在某一频率范围内，对数幅频特性l()的斜率保持不变，则在这些范围内，相位也几乎保持不变。因此，系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化，并可直接求取几个典型频率处（如转折频率）的相位，以提高曲线的准确性。如果系统有开环零点，则在相关转折频率处特性曲线出现凹凸。转折频率处相位为：(1)= 51.7 ，(10)=131 ，(300)=223 。本系统近似的对数相频特性见图5.

37、14(a)。解： （b）1）由低频段确定系统积分环节的个数v 与开环传递系数k 低频段的斜率为20db/dec，该系统为i 型系统， v=1。将低频渐近线延长线上的点l(100)=0，代入低频渐近线的表达式l()=20lg k20lg，可以求出k=100。2）确定串联的各典型环节第一个转折频率1=1rad s1，且斜率减小20db/dec，有一个惯性环节11s；第二个转折频率2=100rad s1，且斜率减小20db/dec，有一个惯性环节11100s；3）综上所述，该系统的开环传递函数为100( )1(1)(1)100kgss ss4） 绘出近似的对数相频特性与题（a）的分析相同， 本开环系

38、统相频特性满足，(0)=90 ， ()=270 。转折频率处相位为：(1)=135 ， (10)=180 ，(100)=225 。系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图5.14(b)。/ (rads1)180 900110100 300(a)图 5.14 题 5.8 系统开环对数相频特性270 ( )/（）/ (rads1)180 900110100(b)270 ( )/（）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d

39、f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 38 页 - - - - - - - - -128 解： (c) 1）由低频段确定系统积分环节的个数v 与开环传递系数k 低频段的斜率为0db/dec，该系统为0 型系统。由20lg20k，求出 k=10。2）确定串联的各典型环节第一个转折频率1=5rad s1，且斜率减小40db/dec，有一个二阶振荡环节，其时间常数为11115t，由110.25，此振荡环节为21212525ss；第二个转折频率1=80rad s1，且斜率增加40db/dec，所以有一个二阶微分环节，其时间常数为221180t，由210.110，

40、此二阶微分为216400400ss。3）综上所述，该系统的开环传递函数为221110(1)6400400( )1212525kssgsss4） 绘出近似的对数相频特性同上，本开环系统相频特性满足，(0)=0 ，()= 0 ，转折频率处相位为(5)=(80)= 91 。系统的相频特性在每个二阶振荡环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图5.15(c)。解： (d) 1）由低频段确定系统积分环节的个数v 与开环传递系数k 由于低频段的斜率为+20db/dec，该系统有一个纯微分环节。低频渐近线表达式为l()=20lg k+20lg，将点 l(10)=0 代入，可求出k=0.1。图

41、 5.15 题 5.8 系统开环对数相频特性/ (rads1)1800(c)()/（）/ (rads1)90 450110100(d)()/（）580170精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 38 页 - - - - - - - - -129 2）确定串联的各典型环节转折频率=100rad s1，且斜率减小20db/dec，有一个惯性环节11100s。3）综上所述，该系统的开环

42、传递函数为0.1( )11100ksgss4） 绘出近似的对数相频特性同上，本开环系统相频特性满足，(0)= 90 ，()=0 。系统的相频特性在惯性环节的转折频率处为(100)=45 。本系统近似的对数相频特性见图5.15(d)。5.9 系统开环传递函数如下，求系统的相角裕量，并判断闭环稳定性。（1）2210( )(1)(0.250.41)kgss ssss（2）100( )(1)(101)kgss ss解： （1）可知系统包含有放大、积分、两个二阶振荡环节，二阶振荡环节的参数为221:1,1,0.511:0.5,2,0.40.250.41ntnttsstss因此，转折频率分别为1=1rad

43、 s1、2=2 rad s1。绘制开环伯德图如图5.16 所示。低频段斜率为20db/dec，并通过点l(1)=20db。经过转折频率1后斜率为 60db/dec，经过转折频率2后最终斜率为100db/dec。并有l(2)= l(1) 60lg2=2db 开环传递函数中两个振荡环节的阻尼比分别为1=0.5，2=0.4。由教材表5.7 可知，对数幅频特性的修正值分别为0db 和 2db，误差很小，可不必修正，对分析闭环系统的稳定性与相对稳定性几乎没有影响。系统的幅值穿越频率可以直接从半对数坐标系上读取，也可根据渐近线求取，方法如下：()(2)100,()0lglg 2ccclll求得系统的幅值穿

44、越频率c=2.2 rads1，代入系统的相频特性有精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 38 页 - - - - - - - - -130 2210()(1)(10.250.4)kgjjjj220.4()90arctanarctan110.25180()1680c直接求解三角函数()180，可以求出系统的相角穿越频率g，但计算十分复杂。实际上g也可以从半对数坐标系上读取，有g=0

45、.8 rads1。 将g代入低频渐近线表达式，可求得 l(g)=2020lgg =21.9db，系统的幅值裕量为lh=l(g)= 21.9db0 因此，闭环系统不稳定。解： （2）可知系统包含有放大、积分、两个惯性环节，转折频率分别为1=0.1 rads1、2=1 rad s1。绘制开环伯德图如图5.17 所示。低频段斜率为20db/dec，并通过点l(0.1)=20lg k20lg0.1=60db 。经过转折频率1后斜率为 40db/dec，经过转折频率2后最终斜率为60db/dec。图 5.16 题 5.9(1)控制系统的开环伯德图90 1 40 2 l()/(db) 80 10 20 6

46、0 / (rads1) 0.1 ( )/（ ）180 / (rads1) c=2.2 100 270 40 120 1 2 10 360 450 g20 0.8 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 38 页 - - - - - - - - -131 可以求得 l(1)= l(0.1)40lg1/0.1=20db ，并有()(1)60,()0lglg1ccclll系统的幅值穿越频

47、率c=2.1 rads1，代入系统的相频特性有()90arctanarctan10180()61.80c相角穿越频率g=0.32（rad/s） 。将g代入中频渐近线表达式，可求得l(g)= l(0.1)40lgg /0.1=40db 系统的幅值裕量为lh= l(g)=40db0 因此，闭环系统稳定，并具有较好的稳定裕量。90 图 5.18 题 5.10 控制系统的开环伯德图1 40 10 l()/（db）100 20 40 / (rads1) 0.1 ( )/（ ）180 / (rads1) ca 60 270 40 20 g20 1 10 100 0.01 cb k=1 a k=10 b 3

48、.16 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 38 页 - - - - - - - - -133 （2）当 k=10 时，求系统的相位裕量；绘制开环伯德图如图5.18 对数频率特性(b)所示。 相对于对数频率特性(a)， 开环传递系数增加10 倍， l()曲线上升20db，相频特性保持不变。系统的幅值穿越频率c=3.16 rads1，也是系统的相角穿越频率，代入系统的相频特性有1

49、80()0c系统的幅值裕量为lh=l(g)=l(c)=0db 因此，稳定裕量为零，闭环系统处于临界稳定状态。（3）分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。由以上分析可见，对一结构、参数给定的最小相位系统，当开环传递系数增加时，由于l()曲线上升，导致幅值穿越频率c右移，从而使得相位裕量与幅值裕量都下降，甚至使系统不稳定。5.11 某延迟系统的开环传递函数为90 图 5.19 题 5.11 控制系统的开环伯德图1 40 10 l()/（db）100 20 40 / (rads1) 0.1 ( )/（ ）180 / (rads1) c 270 40 20 20 1 10 100 0.01 精品学

50、习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 38 页 - - - - - - - - -134 ( )(1)skegss s试确定系统稳定时所允许的最大延迟时间max。解：绘制最小相位系统1(1)s s的对数幅频特性，如图5.19 所示，系统的幅值穿越频率c=1 rad s1。延迟环节se不影响系统的对数幅频特性，但使相频特性随增加而滞后无限增加，延迟环节导致的相位滞后对闭环系统的稳定性不利

51、。考虑到延迟环节se的滞后作用，系统在c=1 rad s1处的相位裕量为180180()18090arctan4557.33.14c当系统临界稳定时，有4557.30因此，系统稳定时所允许的最大延迟时间max为max0.79s注： 在 ma tlab 中，可建立滞后系统的数学模型sys，并直接利用bode(sys)和 nyquist(sys)绘制滞后系统的伯德图和奈氏图。指令如下：sys=tf(num,den,inputdelay,a) 其中， num 定义为系统连续部分的分子多项式，den 为系统连续部分的分母多项式，a定义为延迟环节ase的滞后时间。也可建立系统的零极点模型：sys=zpk

52、(z,p,k, inputdelay ,a) z、p、k 分别为系统的开环零点、开环极点与开环传递系数。5.12 某系统结构如图5.20 所示，试按照开环频域指标 和c之值估算闭环系统的时域指标% 和 ts。图 5.20 题 5.12 图精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 38 页 - - - - - - - - -135 解系统开环传递函数为40(1)( )(0.051)(8

53、1)ksgssss绘制开环伯德图如图5.21 所示。低频段斜率为20db/dec， 并通过点l(0.1)=52db 。 经过转折频率1=0.125 rad s1后斜率为 40db/dec，经过转折频率2=1rad s1后斜率为 20db/dec，经过转折频率3=20rad s1后斜率为 40db/dec。l(1)= l(0.1)40lg1/0.1=12db 并有()(1)20,()0lglg1ccclll可求得系统的幅值穿越频率c=4 rad s1，代入系统的相频特性有()arctan90arctan8arctan0.05180()66.40c高阶系统的开环频域指标（ 、c）与时域指标（% ，

54、ts）之间的对应关系比较复杂，通常采用经验公式来近似。1）高阶系统的超调量与相位裕量的关系通常用下述近似公式估算：1%0.160.41100%19.8%sin2）高阶系统的调节时间与相位裕量的关系通常用下述近似公式估算图 5.21 题 5.12 控制系统的开环伯德图0.1 40 1 l()/（db）10 20 40 / (rads1) 0.01 c=4 40 20 20 20 52 60 20 40 12 0.125 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d

55、f - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 38 页 - - - - - - - - -136 2112 1.512.511.75%sinsinscts以上估算公式是在比较严格的情况下推导的，实际值往往更理想。通过matlab仿真可得，此系统准确的动态性能指标为：%12%，1.535%sts。可见，利用开环频域指标和c估算闭环高阶系统的时域指标% 和 ts，是完全满足工程实际的。5.13 已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制系统的闭环频率特性，计算系统的谐振频率及谐振峰值，并估算闭环系统的时域指标% 和 ts。（1）)2(16)(sssg（2）)15()1

56、5.0(60)(ssssg解： （1）)2(16)(sssg方法一：可以先画出开环对数频率特性l()及()，再利用尼柯尔斯图线绘制系统闭环对数频率特性。方法二：由于是二阶系统，可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。1）系统的闭环传递函数为2216161(2)( )16121611(2)1680.25,4,0.25nts sssssss st根据伯德图的绘制规律，求出系统的闭环频率特性，见图5.22(1)。对于振荡环节，以渐近线代替实际对数幅频特性时，要特别注意误差修正。如果在 0.470.7 范围内，误差不大；而当很小时，要有一个尖峰纠正。对于 =0.25，查教材表5.6 修正表，可

57、得转折频率t=4rad s1处最大误差为6db。在转折频率附近的修正曲线见图5.37 虚线，可以明显地看出振荡环节出现了谐振。而且 越小，谐振峰值mr越大，谐振角频率r越接近于转折频率t（无阻尼自然振荡频率n） 。已知二阶系统谐振频率r和谐振峰值mr(r)与系统特征量之间的关系为2123.74/rnrads212.072120lg6rrmmdb精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共

58、 38 页 - - - - - - - - -137 2）闭环系统的时域指标% 和 ts计算如下二阶系统的时域指标与频域指标之间有一一对应的关系，根据21%100%e或由教材图5.70 二阶系统% 、 mr、 与 的关系曲线，可直接查得%44%335%snts解： （2）)15()15 .0(60)(ssssg同理，由于是二阶系统，可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。系统的闭环传递函数为2260(0.51)60(0.51)0.51(51)( )60(0.51)531600.0830.51711(51)sssssssssssss一阶微分环节的转折频率1=2rad s1处，渐近线斜率在

59、此增加20db/dec。二阶振荡环节的参数为0 (1) (2) 图 5.22 题 5.11 控制系统的开环伯德图4 40 l( )/（db）40 / (rads1) 0.4 ( )/（ ）180 / (rads1) r 20 20 4 0.4 0 2 20lgm( ) 3.45 40 l()/（db）20 / (rads1) ()/（ ）0 / (rads1) 220 20 90 0 20lgm( ) 20 3.45 25 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 30 页，共 38 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p

60、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 30 页，共 38 页 - - - - - - - - -138 10.0830.2913.450.5170.892nttsrad stt根据伯德图的绘制规律，求出系统的闭环频率特性，如图 5.22(2)所示。 对于振荡环节， 由于=0.890.707，系统不产生谐振，并在转折频率2=3.45rads1处有约5db 的修正量。由教材图3.24，当=0.89 时，系统过渡时间约为41.165%stts=0.890.707，系统无振荡。但系统有闭环零点z= 2，而闭环零点的作用将使系统响应加快，并有超调，且闭环零点离闭环极点越近