2022年苏州市初三数学中考复习专题八圆

1、学习必备欢迎下载八、圆杨春东张家港市妙桥中学【近三年江苏省十三大市中考圆的分值与比率】( 仅供参考 ) 年份20xx年20xx年20xx年地区分值 (分) 比率 (%) 分值 ( 分) 比率 (%) 分值 ( 分) 比率 (%) 南京市12 10.00 18 15.00 10 8.33 苏州市17 13.08 14 10.77 14 10.77 无锡市15 11.54 19 14.62 6 4.62 常州市13 10.00 14 11.67 15 12.50 镇江市13 10.00 12 10.00 11 9.17 扬州市16 12.31 23 15.33 16 10.67 泰州市13 8.6

2、7 15 10.00 13 8.67 南通市14 9.33 11 7.33 14 9.33 盐城市16 10.67 10 6.67 6 4 淮安市13 8.67 9 6.00 16 10.67 宿迁市16 10.67 16 10.67 19 12.67 徐州市11 9.17 14 11.67 12 8.57 连云港市15 10.00 16 10.67 15 10.00 平均14.15 9.58 14.69 10.80 12.85 9.23 【课标要求】1. 了解圆及其有关概念2. 了解弧、弦、圆心角之间的关系3. 了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系4. 掌握圆周角与圆心角的关系以及直径所

3、对圆周角的特征5. 了解三角形的内心和外心6. 了解切线的概念7. 掌握切线与过切点的半径之间的关系8. 掌握判定一条直线是否为圆的切线以及会过圆上一点画圆的切线9. 掌握切线长定理10. 掌握计算弧长及扇形的面积以及计算圆锥的侧面积和全面积【课时分布】本单元在第一轮复习时大约需要8 个课时，其中包括单元测试. 下表为内容及课时安排( 仅供参考 ). 课时数内容1 圆的认识及有关概念2 与圆有关的位置关系1 与圆有关的计算2 圆的综合性问题2 圆的单元测试与评析精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - -

4、- - - -学习必备欢迎下载【知识回顾】1. 知识脉络2. 基础知识(1) 圆的认识圆可由圆心与半径确定. 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都与自身重合，其旋转对称中心为圆心圆还是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. 弦是连接圆上任意两点的线段. 经过圆心的弦叫做直径，它是圆中最长的弦. 弧是圆上任意两点间的部分. 圆上直径两端点之间的部分叫做半圆. 大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧. 如果两段 ( 圆) 弧能够完全重合，则称它们为等弧. 圆心角是顶点在圆心的角. 圆周角是顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角. (2)

5、与圆有关的位置关系点与圆有三种位置关系：点在圆外；点在圆上；点在圆内. 设点与圆心的距离为d，圆的半径为r，则三种位置关系的判断方法为：点在圆外dr；点在圆上dr；点在圆内dr经过三角形的三个顶点的圆叫三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心这个三角形叫做这个圆的内接三角形直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离如果一条直线与一个圆有且只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交设圆心与直线l间的距离为d， 圆的半径为r ， 则直线和圆的三种位置关系的判断方法为：

6、直线与圆相离dr；直线与圆相切dr；直线与圆相交dr圆的切线上的某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心这个三角形叫做圆的外切三角形圆与圆的位置关系有五种: 外离、外切、相交、内切、内含设两圆圆心的距离为d，两圆的半径为rr、，那么两圆外离drr；两圆外切drr；两圆相交()rrdrr rr；两圆内切()drr rr；两圆内含弧、弦与圆心角的关系推论圆弧、弦与圆心角切线长切线圆与圆的位置关系圆的切线直线与圆的位置关系点与圆的位置关系与 圆 有 关 的位置关系圆周角、同弧或等弧所对圆周角的关系圆基本性质圆的对称性与圆有

7、关的计算弧长和扇形的面积圆柱、 圆锥的侧面积和全面积圆内接四边形性质垂径定理及其推论圆的认识精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载()drr rr两个圆构成轴对称图形，连心线( 经过两圆圆心的直线) 是对称轴 . 由对称性知，当两圆相切，连心线经过切点；当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦. (3) 与圆有关的定理“弧、弦、圆心角的关系”定理：在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弦、 两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余两组量也分别对应相等. 垂径定理 : 垂直

8、于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理的推论: 平分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧圆周角定理及其推论：. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.90 的圆周角所对的弦是圆的直径. 半圆或直径所对的圆周角都相等，等于90( 直角 ) 圆内接四边形的性质定理: 圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 . 过不在同一直线上的三点有且只有一个圆一个三角形有且只有

9、一个外接圆三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等圆的切线的性质: 与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径切线的判定 : 如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线；到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点三角形的内心到三角形三边的距离相等相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. ? 割线定理： 从圆外一点引圆的两条割线，这

10、一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(4) 与圆有关的计算由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形弧长公式：180n rl；扇形面积公式：2360n rs扇形=lr21其中为 n圆心角的度数，r 为半径圆柱的侧面展开图是矩形，圆柱的侧面可以看成是由一个矩形围成的圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边所在的直线为轴旋转而形成的几何体圆柱的侧面积=底面周长高；圆柱的全面积=侧面积底面积圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的侧面可以看成是由一个扇形围成的圆

11、锥体可以看成是精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载方法二：连结 ef ae 直径，afefadbc，bcef， be = cf ，be=cf（2）方法一： abe adc， bae=dac， be = cf ，be=cf 由一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转而形成的几何体圆锥的侧面积=12底面周长母线；圆锥的全面积=侧面积底面积3能力要求例 1 如图8-1 ， abc 是 o 的内接三角形，adbc 于 d 点， ae 是直径 . 说明： (1) ab ac

12、=ad ae；(2) 延长 ad 交圆于点f， 连结 be， cf ， 则 be=cf【分析 】(1) 如图8-1 ，连结be，根据直径所对的圆周角是直角，可得abe=adc ， 又 根 据 同 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 ， 可 得aeb=acd，从而通过证abe adc 可证(2) 方 法 一 ： 如 图8-2 ， 由 第 (1) 问 的 abe adc可 得bae=dac ， 根 据 相 等 的 圆 周 角 所 对 的 弧 相 等 ， 可 得be =cf ，可得 be=cf方法二：如图8-2 ，连结 ef，由于 ae 直径，所以afef，因 ad bc，故 bcef，根据圆的平行

13、弦所夹的弧相等，可得be =cf ，再根据等对等定理，可得be=cf【解 】(1) 连结 beae 直径， adbc， abe=adc=90 aeb=acd， abe adc，acaeadab，abac=adae【说明 】此题考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等、相等的圆周角所对的弧相等、平行弦所对夹的弧相等、等弧所对的弦相等等知识解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”和“等弧所对的弦相等”，另一方面将 “特殊的弦” ( 直径 ) 转化为 “特殊的角” (直角 ) ，体现了“转化” 的思想方法 本题出现了圆中常见的辅助线，教师要有意识地引导一题多解，使学生熟知他们各

14、自的作用，同时引导学生解题时要注意题目中的隐含条件例 2 如图 8-3 ，已知 ab 是 o 的弦， ob=2， b=30 ，c是弦 ab 上的任意一点 ( 不与点a、 b 重合 ) ，连接 co 并延长co 交 o 于点 d，连接 ad(1) 弦长 ab 等于 (结果保留根号) ；abcdeo图 8-1 abcdeo图 8-2 abcod图 8-3 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(2) 当 d=20 时，求 bod 的度数；(3) 当 ac 的长度为多少时，以

15、a，c，d 为顶点的三角形与以b，c， o 为顶点的三角形相似？请写出解答过程【分析 】(1) 如图 8-4，过点 o 作 oeab 于 e，由垂径定理即可求得ab 的长；(2) 如图 8-5， 连接 oa， 由 oa=ob， oa=od， 可得 bao= b， dao=d， 则可求得 dab的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得dob 的度数；(3) 由 bco 是 dac 的外角，得bco a，bco d，因此要使 dac 与 boc相似，只能dca= bco=90，然后由相似三角形的性质即可求得答案【解 】(1) 过点 o 作 oeab 于 e， 则 ae=be=21ab，

16、 oeb=90 ，ob=2， b=30 ，be=ob?cosb=223=3. ab=2 3 . (2) 连接 oa， oa=ob，oa=od， bao=b， dao=d. dab=bao+dao =b+d. 又 b=30 ， d=20 ， dab=50 . bod=2 dab=100 . (3) bco=a+d， bco a， bco d. 要使 dac 与 boc 相似，只能 dca=bco=90 . 此时 boc=60 ， bod =120 . dac=60 . dac boc. bco=90 ，即 ocab. ac=21ab=3【 说明 】此题考查了垂径定理、解直角三角形、圆周角的性质、

17、三角形外角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识圆中有关弦的问题，通常利用垂径定理，由半径、弦的一半、弦心距构成直角三角形圆中有许多常见的辅助线和基本图形，教师在复习时应与学生一起归纳整理本题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用例 3 如图， ab 为 o 的直径， ac、cd 为弦， acd=60 ，p 为 ab 延长线上的点，apd=30 (1) 求证： dp 是 o 的切线；(2) 若 o 的半径为3cm，求图中阴影部分的面积【分析 】(1) 如图 8-6，连接od，求出aod，求出dob，求出odp，根据切线判定推出即可；(2) 求出op、dp长，分别求出扇形dob和 odp 面

18、积，即可求出答案【解 】abcod图 8-4 eabcod图 8-5 adbcop图 8-6 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载abcodfe图 8-8 (1) 连接od，060acd，aod=2acd=120 ，dob=180 120 =60 .030apd，odp=180 -30 -60 =90. oddp.od为半径，dp是 o 切线 .(2)030apd，odp=90 ，od=3cm，op=6cm，dp= 3 3 cm，图中阴影部分的面积podobdsss扇

19、形2160 333 323609 3322【说明 】本题考查了扇形面积，三角形面积，切线的判定， 圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力例 4 如图 8-7，abc内接于 o，弦adab交bc于点e，过点b作 o 的切线交da的延长线于点f，且abf=abc(1)求证：abac；(2)若4ad， cos45abf，求de的长【分析 】(1) 连接bd，可得bd是直径，根据同角的余角相等的性质得abfd，根据同弧所对的圆周角相等得dc， 再根据 abf=abc ， 可证得abcc， 即可得 ab=ac；(2) 在 rtabd 中，解直角三角形求出ab 的长度；然后在rtabe 中

20、，解直角三角形求出ae 的长度；最后利用de=ad- ae 求得结果【解 】(1) 证明：连接bdadab，090dab，bd必过圆心ofb为 o 的切线，obbf. 090ddbaabfdba. abfddc， abf= abc ，abcc， ab=ac(2) 解：如图8-8 ，在 rtadb 中， bad=90 ，cos adb=adbd， bd=44coscos5adadadbabf=5. ab=3在 rtabe 中， bae=90 ，cosabe=abbe， be=3154cos45ababe， ae=22159()344，de=ad- ae=49744【说明 】abcodfe图 8-

21、7 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用例 5 如图， ad 是 o 的切线，切点为a，ab 是 o 的弦，过点b 作 bcad，交 o于点 c，连接 ac，过点 c 作 cd ab，交 ad 于点 d，连接 ao 并延长交bc 于点 m，交过点 c 的直线于点p，且 bcp=acd(1)判断直线pc 与 o 的位置关系，并说明理由；(2)

22、若 ab=9，bc=6，求 pc 的长【分析 】(1)如图 8-9，连接co并延长交 o 于 n ，连接nb，得到090nbc，再证bcpbnc；(2)先求出am，再求出 o 的半径，最后证omcocp，从而求得pc的长解法一：(1) 直线 pc 与圆 o 相切如图 8-9，连接 co 并延长，交圆o 于点 n，连接 bnab/cd，bac=acdbac=bnc，bnc=acdbcp=acd，bnc=bcpcn 是圆 o 的直径，cbn=90 bncbcn=90 ，bcpbcn=90 pco=90 ，即 pc oc又点 c 在圆 o 上，直线pc 与圆 o 相切(2) ad 是圆 o 的切线，

23、 adoa，即oad =90 bc/ad，omc =180oad=90 ，即 ombcmc=mb ab=ac在 rtamc 中，amc=90 ，ac=ab=9，mc=1 2 bc=3，由勾股定理，得am=ac 2mc 2 =9232 =62设圆 o 的半径为r，在 rtomc 中，omc=90 ， om=am ao=62r，mc=3，oc=r，由勾股定理，得om 2mc 2=oc 2，即 (62r )232=r2解得 r=27 8 2在 omc 和 ocp 中，omc =ocp，moc=cop， omc ocpomoc=cmpc，即6 227 8 227 8 2=3 pcpc=27 7 解法二

24、：(1) 直线 pc 与圆 o 相切如图8-10 ，连接 ocad 是圆 o 的切线， adoa，即oad=90 bc/ad，omc =180oad=90 ，图 8-9 a b c d o m p n o a d c p b m 图 8-10精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载即 ombcmc=mb ab=acmab=macbac=2mac又moc =2mac，moc =bacab/cd，bac=acdmoc =acd 又bcp=acd，moc =bcpmococm=

25、90 ，bcpocm =90 pco=90 ，即 pc oc又点c 在圆 o 上，直线pc 与圆 o 相切(2) 在 rtamc 中，amc=90 ，a c=ab=9，mc=1 2 bc=3，由勾股定理，得am=ac 2mc 2 =9232 =62设圆 o 的半径为r在 rtomc 中，omc=90 ， om=am ao=62r，mc=3，oc=r，由勾股定理，得om 2mc 2=oc 2，即 (62r )232=r2解得 r=27 8 2在 omc 和 ocp 中，omc =ocp，moc=cop， omc ocp，omoc=cmpc，即27622382728pc，pc=27 7 【说明 】

26、此题考查了平行线的性质、直径所对的圆周角是直角、切线的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，相等的角的转化本题中的辅助线是圆中常见的，教师要有意识地加以引导例 6 如图 8-11，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，点a、b的坐标分别为 (8 ，0) 、(0， 6) 动点 q 从点o、动点p从点a同时出发，分别沿着oa方向、ab方向均以 1 个单位长度 / 秒的速度匀速运动，运动时间为t ( 秒)(0 t 5)以p为圆心，pa的长为半径的p与ab、oa的另一个交点分别为c、d，连接cd、 qc (1 ) 求当t为何值时，点q 与点d重

27、合？(2) 设qcd 的面积为s，试求s与 t 之间的函数关系式，并求s的最大值；(3) 若 p与线段 qc 只有一个交点，请直接写出t 的取值 范围【分析 】(1)根据点a、b的坐标求出oa、ob，利用勾股定理列式求出ab，根据点 q 的速度表示出oa， 然后求出ob，再根据直径所对的圆周角是直角得090adc，再利用bao余弦表示出ad，然后列出方程求解即可；(2)利用bao的正弦表示出cd的长，然后分点 q 、d重合前与重合后两种情况表示出qd ，再利用三角形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答；(3)有两个时段内p与线段 qc 只有一个交点：运动开始至qc 与p相切时 (

28、0 t 167) ；重合分离后至运动结束(40513t) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载【解 】(1) a(8， 0) ，b(0 ，6) ，oa=8，ob=6，ab=22oaob=2286=10，cosbao=oaab=45，sinbao=obab=35ac为p的直径， acd 为直角三角形ad=ac?cosbao=2t 45=85t 当点 q 与点d重合时， oq +ad=oa，即： t +85t =8，解得： t =4013t=4013(秒) 时，点 q 与点d重合(2) 在 rtacd 中，cd=ac?sinbao=2t 3655t 当40013t时，8138855dqoaoqadttt 2111363924(8)2255255sdqcdtttt 202040,02131313ba，当2013t时，s有最大值为4813；当40513t时，8138855dqoqadoattt211 1363924(8)2