等比数列 (2)

1、2.4 等比数列（一）等比数列（一）名称名称等差数列等差数列概念概念常数常数性质性质通项通项通项通项变形变形dnaan) 1(1dmnaamn)( )m,(*Nn知识回顾知识回顾从第从第2 2项起项起, ,每一项与它前每一项与它前一项的一项的差差等于等于同一个常数同一个常数公差公差(d)(d)d d可正可负可正可负, ,且可以为零且可以为零1.1. 纸的厚度是怎样变化的纸的厚度是怎样变化的. . 折1次 折2次 折3次 折4次 折28次 厚度 2（21） 4（22） 8（23） 16（24） . 228 已知白纸的厚度为已知白纸的厚度为1 1，将白纸对折，将白纸对折. . （如果一页纸的厚度按

2、（如果一页纸的厚度按0.040.04毫米计算毫米计算) )当折到第当折到第2828次的时候次的时候, ,请大家估计一下纸的总厚度请大家估计一下纸的总厚度. . 厚度厚度 = 2= 228280.04 0.04 1010-3-3=10737.41824 =10737.41824 米米 0.040.04毫米毫米= = 0.04 0.04 1010-3 -3 米米2.2. 你能折到你能折到2828次吗？次吗？小实验：小实验：观察下列数列，看看他们有什么共同的特点观察下列数列，看看他们有什么共同的特点 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数.(1) (2) (3）63322,2,2,2,1,16

3、1,81,41,219，92，93，94，95，96， 9736，360.9，360.92, 360.93,（4）共同特点共同特点: : 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2 2项项起，每一项与它的起，每一项与它的前前一项的一项的 比比 等于等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做等，那么这个数列就叫做等比比数列数列 ，这个常数叫做等比数列的，这个常数叫做等比数列的公公比比（q q）。 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2 2项项起，每一项与它的起，每一项与它的前前一项的一项的 差差 等于等于同同一个常数一个常数，那么这个数列就叫做等，那么这个数列就叫做等差差数

4、列数列 ，这个常数叫做等差数列的，这个常数叫做等差数列的公差公差（d d）。）。等比数列等比数列等差数列等差数列等比数列概念等比数列概念(1) 1，3，9，27，81， (3) 5，5，5，5，5，5，(4) 1，-1，1，-1，1，是是,公比公比 q=3是是,公比公比 q= x 是是,公公 比比q= -1(7) 2341, , , , , (0)x x x xx(2) ,161,81,41,21是是,公比公比 q=21观察并判断下列数列是否是等比数列观察并判断下列数列是否是等比数列: :是是,公比公比 q=1(5) 1 1，0 0，1 1，0 0，1 1，(6) 0 0，0 0，0 0，0

5、0，0 0，不是等比数列不是等比数列不是等比数列不是等比数列练习练习 公比公比q q是每一项（第是每一项（第2 2项起）与它的前一项的比；防止把被除数项起）与它的前一项的比；防止把被除数与除数弄颠倒；公比可以是正数，负数，可以是与除数弄颠倒；公比可以是正数，负数，可以是1 1，但不可以为，但不可以为0 0 (1) 1，3，9，27， (3) 5， 5， 5， 5，(4) 1，-1，1，-1，(2) ,161,81,41,21(5) 1 1，0 0，1 1，0 0，(6) 0 0，0 0，0 0，0 0，1. 1. 各项不能为零各项不能为零, ,即即 0na 2. 2. 公比不能为零公比不能为零

6、, ,即即0q4. 4. 数列数列 a, a , aa, a , a , , 0a时时, ,既是等差数列既是等差数列又是等比数列又是等比数列;0a时时, ,只是等差数列只是等差数列而不是等比数列而不是等比数列. .3. 3. 当当q0q0，各项与首项同号，各项与首项同号 当当q0q00例例1 1 一个等比数列的第一个等比数列的第3 3项与第项与第4 4项分别是项分别是1212与与18,18,求它的第求它的第1 1项与第项与第2 2项项. . 解：设这个等比数列的第解：设这个等比数列的第1 1项是项是 , ,公比是公比是q q ，那么那么82331612qaa3161a23q解得，解得， ， 因

7、此因此316 答：这个数列的第答：这个数列的第1项与第项与第2项分别是项分别是 与与 8.1a1831qa1221qa典型例题典型例题（2 2）一个等比数列的第）一个等比数列的第2 2项是项是10,10,第第3 3项是项是20,20,求它的第求它的第1 1项与第项与第4 4项项. .(1)(1)一个等比数列的第一个等比数列的第5 5项是项是 , ,公比是公比是 ，求它的第，求它的第1 1项；项；9431练习练习.)()(2112111211111qqqqbaqqbababannnnnn所以所以 nnba 是一个以是一个以 为公比的等比数列为公比的等比数列 21qqnnnnqbqaqbqa211

8、1121111与例例2 已知已知 nnba ,是项数相同的等比数列，是项数相同的等比数列，nnba 是等比数列是等比数列.求证求证证明证明:设数列设数列 na首项为首项为 1a,公比为公比为 ; 1qnb首项为首项为 1b,公比为公比为 2q那么数列那么数列的第的第n n项与第项与第n+1n+1项项分别为：分别为：nnba 11 1121 112()()nna b q qa b q q与即为即为等比数列等比数列 a n 中，中， a 4 a 7 = 512，a 3 + a 8 = 124,公比公比 q 为整数，求为整数，求 a 10.法一：直接列方程组求法一：直接列方程组求 a 1、q。法二：

9、在法一中消去了法二：在法一中消去了 a 1，可令，可令 t = q 5法三：由法三：由 a 4 a 7 = a 3 a 8 = 512 0512124323 aa412833 aa或或 128441288383aaaa或或 公比公比 q 为整数为整数 128483aa3241285 q2 q练习练习数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列定义式定义式公差（比）公差（比）定义变形定义变形 通项公式通项公式 一般形式一般形式 an+1-an=dd 叫公差q叫公比 an+1=an+d an+1=an q an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=a

10、mqn-mmnaadmn mnmnaaq 归纳：qaann11、一个等比数列的第4项与第7项分别是 , ，求这个等比数列的通项公式以及第5项292243练习练习243546351231232,(1)0,225,;(2)7,8,nnnaaa aa aa aaaaaaa a aa例 已知数列为等比数列若且求求3.等比数列an中,a3+ a6=36,a4+a7=18, an =1/2,求n.等比数列的性质等比数列的性质等比数列的性质等比数列的性质等比数列的性质等比数列的性质典例剖析典例剖析典例剖析典例剖析练习练习（1）数列：）数列：1，2，4，8，16，123456789102468101214161820012nna（2）数列：）数列：nnna412)21(8,81,41,21, 1 , 2 , 4 , 8（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，4na2111n）（na（4）数列