浅谈三角形中位线定理的几种证法

1、浅谈三角形中位线定理的几种证法康园中学校 张瑜摘要：华师大数学九年级上册第23章中，学生学习了三角形中位线定理，对于三角形中位线定理的证 明方法我与学生进行了深入地研究，总结了十种类型的方法，下面将三角形中位线定理的这些证法与大家 共同分享。共有十种不同的类型：动手操作法、相似法、倍长法、平行法、翻折法、作高法、构造法、旋 转法、同一法、反证法。关键词：三角形中位线定理、二十八种不同的证法。三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。如图，已知 abc屮，d, e分别是ab, ac两边中点。求证：de ii bc, de=一、类型一：动手操作法 方法1:度量法华师大初中数学教材的编

2、写是呈螺旋式上升的，七年级和八年级上册重点培养学生的合情推理能 力（即学生的动手操作和简单的说理验证），八年级下册和九年级重点培养学生的演绎推理能力（即严 格地利用定理进行证明）。因此运用合情推理，可以采用度量的方法来证明三角形中位线定理。首先用 直尺分别量出de、bc的长，看是否满足de二丄bc,再用量角器分别量出zade和zb的度数，看是否相2等，从而判断是否平行。二、类型一：相似法 方法2：相似法一根据 ad=1ab, ae=1ac, zdae=zbac,从而得到厶adeaabco 于是zade=zabc,2 2de:bc=ad:ab=l:2o 轻松得到 de ii bc, de二丄bc

3、。2方法3：相似法二过点d作df丄ac于f,过点b作bg丄ac于g,则df/bg,于是 adfaabg,得到df二丄bg, af二fg。2三、类型三：倍长法方法4：中位线倍长法一：这是常用的方法，也是北师大教材中使用的方法。延长de至f,使ef=de,连接fc,则厶ade竺afec,则ad/fc且ad二fc,所以bd/fc且bd二fc,则四边形dbcf是平行四边形。因de二丄df,则de ii bc,de=1bc02 2 方法5：中位线倍长法二：延长de至f,使ef二de,连接cf、dc、af,则四边形adcf为平行四边形，易知四边形bcfd为平 行四边形，从而命题得证。方法6：中线倍长法：连

4、接be,延长be至g,使eg二be,连接cg,延长de,交cg于f,则厶abeacge,得到ad/fc易 证四边形dbcf是平行四边形，从而命题得证。四、类型四：平行法方法7 ：外部平行一边法:过c作cf/ab,交de的延长线于f,易证 adeacfe,得到de二ef, ad二cf.从而四边形bcfd 是平行四边形，从而命题得证。方法8：外部平行底边法过 a 作 af/bc,取 bc 中点为 g,连接 gd,延长 gd,交 af 于 f,则厶adfabdg, fd二dg, af二bg, 则af二gc,则四边形afgc是平行四边形,于是dg ii ac, dg=ac,则四边形dgce是平行四边形

5、,de/bc, de=gc,从而命题得证。方法9：外部平行中位线法过a作af/de, af二de,连接fe,延长fe,交bc于点g,则四边形afed是平行四边形，fg/ab, 从而得到bg二cg, aaefaceg,则bg二af二de二gc, fe=eg=ad=db,则四边形bged是平行四边形， 从而命题得证。方法10：内部平行一边法过 e 作 ef/ab,交 bc 于 f, macefacab,得到 bf二fc, ef二丄ab=ad, za=zfec,利用 “sas” 2可以证明厶adeaefc,得到de二fc, zaed=zc,从而命题得证。五、类型五：作高法方法1仁作底边高法此法是所有

6、方法中最为巧妙也是最为经典的方法。其思路主要是对于初中阶段所学知识的综合运 用。首先回顾与中点有关的知识点一一（1、全等；2、垂直平分线；3、等腰三角形三线合一；4、直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。）这时联想到第4个知识点中点但没有直角三角形，就必须构 造出来，于是就要作高。过a作af丄bc于f,连接df, ef。得到fd二bd二da； fe二ae二ec。利用“sss” 证明 adeafde,得到zadezfde,再运用三线合一得到af丄de,再分别作dm丄bc于f, e7丄bc 于n,于是四边形dmfg、enfg、dmne均为矩形，从而命题得证。方法12:作中位线高法分别过点a、b、

7、c向中位线作垂线,垂足分别为f、m、no易知 adfabdm, aaefacen,则md二df, ne=ef,mn二2de, mb/nc, mb二nc,得到四边形hbcn为矩形，从而命题得证。七、类型七：构造法方法13：构造矩形法过点d作df丄bc于f,过点e作eg丄bc于g,过a作mn/bc,分别与fd、ge的延长线交于m、n。 则四边形 mfgn 为矩形，hda9zfdb, aneaagec,于是 mn二fg, md二df二ne二eg,得到四边形 dfge 为矩形，从而命题得证。方法14：构造平行四边形法一过点d、e作df/eg,分别交bc于f、g,过点a作mn/eg,分别与fd、ge的延

8、长线交于m、n。 则四边形mfgn为平行四边形，与构造矩形法相同原理，从而命题得证。方法15:构造平行四边形法二过点a作af/bc,且af=bc,连接cf,延长de,交cf于g,则四边形abcf为平行四边形,ab/fc。 得到 adeacge,于是cg二ad二db，则四边形bcgd为平行四边形，从而命题得证。八、类型八：旋转法方法16：旋转法一因 ae=ec,故可将zxade 绕点 e 顺时针旋转 180°至cfe。则厶adeaeec, ad/ec, ad二fc,则 bd/fc h bd=fc,方法16方法18方法19方法17：旋转法二因ae二ec,故可将aabc绕点e顺时针旋转18

9、0°至cfa。可得到四边形dbcg是平行四边形，从而 命题得证。方法18：旋转法三连接be,因ae二ec,故可将zxabe绕点e顺时针旋转180°至acge,则厶adeacfe, abdea gfe,于是bd/fc, bd二fc,可得到四边形dbcf是平行四边形，从而命题得证。九. 类型九：同一法方法19：同一法过点d作df/bc,交ac于f, aadfaabc,得到af二丄ac。由己知条件中ae二ec,能够推出 2f与e为同一个点，从而命题得证。十、类型十：反证法 方法20：反证法一假设de与bc不平行，设de与bc交于点f。过点c作cg/bd,交df于g,则厶fgcaf

10、db,得 到 gc： db二 fg： fd h1,即 gchdb。根据 cg/bd 可知，ceg9aaed,则 gc=ad=db,这与 gchdb 相矛盾，从而命题中的de/bc得证。再根据de/bc很容易证明de二丄bc。2初中数学中的几何变换包括：平移、旋转、轴对称。我把这些方法分成了十种不同的类型， 其中运用这三种变换都能达到证明的目的。因为有屮点，所以倍长法与作高法和构造法都能构造 全等三角形，并且还能自动生成对顶角，平行法相当于就是把线段进行平移，也能构造全等三角 形，并生成対顶角，因此平行法、倍长法与作高法和构造法都可以转化为旋转，从而顺利地寻找 到证明思路与方法。这些辅助线的作法能互相转化的关键之处就在ae=ec,且a、e