等腰三角形存在性问题解题策略探究

1、等腰三角形存在性问题解题策略探究近几年各地的数学中考中，探索等腰三角形的存在 性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强, 题意构思精巧，要求学生有较高的分析问题、解决问题的能 力。它符合课标对学生能力提高的要求。学生初解此类问题时，一般靠直觉画图，或是主观猜测, 往往会出现漏解、错解，甚至在坐标系背景下无从下手等现 象。根据笔者对此类问题的研究，现将本考点解题策略整理 如下：一、先弄清一个基本问题的解题方法：已知线段ab,在 平面内取一点p,使apab为等腰三角形。首先，因为没有 说明谁为腰，谁为底，因此要分类讨论：1. 如果ae为底，则作ab的垂直平分线，点p定在ab 的垂直平分

2、线上。2. 如果ab为腰，若za为顶角，则以点a为圆心，ab长为半径画圆，点p定在这个圆上。3. 如果ab为腰，若zb为顶角，则以点b为圆心，ab 长为半径画圆，点p定在这个圆上。称这种方法为“两圆 一线”，两圆即以两定点为圆心，以定长为半径画的两个圆， 具体到实际问题可画出部分弧，一线即给定线段的垂直平分 线。即两圆上的点和线段垂直平分线上的点都符合要求，具 体到题目中会让在指定范围确定。二、探索的等腰三角形有一条边是确定位置及长度的， 确定第三个顶点的存在(一般会指定位置，如在x轴或y轴 或抛物线或某抛物线的对称轴上是否存在点使三角形为等 腰三角形)。例 1.如图 1,抛物线 y=ax2+

3、bx+c 经过 a (-1, 0)、b (3, 0)、c (0, 3)三点，直线1是抛物线的对称轴。(1) 求抛物线的解析式；(2) 设点p是直线1上的一个动点，当apac的周长最 小时，求点p的坐标；(3) 在直线1上是否存在点m,使amac为等腰三角形, 若存在，直接写出所有符合条件的点m的坐标；若不存在， 请说明理由。思路点拨：因为a、c位置确定，采用“两圆一线”找 到两圆及一线与1的交点，因本例是在对称轴上确定点，所 以不太好确定点的坐标，我们可采用设未知数的方法来求。 设未知数的方法有两种：一种是设点的坐标，一种是设某线 段的长度。但总之设未知数后都要利用几何条件及图形特征 列方程，

4、利用代数方法求解，因为只有通过解方程才能求出 设的未知数的值。三、在所求的等腰三角形中，一个顶点固定，另外两个 顶点运动(有运动两点的位置范围，即在哪条线上)，确定 其中一顶点或两点坐标。解题策略：由于两个顶点都在运动，用“两圆一线”无 从下手，这种问题常见的有两种类型：一是三角形的三边可 以用已知或与运动变化相关的量来表示，这一种我们可以利 用勾股定理或相似表示边长，再根据两边相等列方程（当然 也需分类讨论）。二是“盲解”，即代数方法。这种解法一 般分三步：1罗列三边；2分类列方程；3解方程，检验三 角形不是所有边长都能用与运动相关的量来表示，那我们就 要利用等腰三角形的性质（三线合一、两腰

5、相等等），常过 顶点做底边的垂线把底边平分来列方程求解。例2如图2,已知正方形oabc的边长为2,顶点a、c 分别在x、y轴的正半轴上，m是bc的中点。p （0, m）是线 段oc上一动点（c点除外），直线pm交ab的延长线于点d。（1）求点d的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当aapd是等腰三角形时，求m的值。思路点拨：1用含m的代数式表示aapd的三边长，为解等腰三角 形做好准备。2探求aapd是等腰三角形，分三种情况利用边相等列 方程求解。解答：（1）因为pc/db,所以 = h = ho因此pm=dm, cp=bd=2-mo所以ad=4-mo于是得到点d的坐标为（2, 4m）。（2）

6、在zxapd 中，ad2二（4m） 2, ap2=m2+4, pd2= （2pm） 2=4+4 （2-m） 2o 当ap=ad时，（4-m） 2=m2+4o解得 （如图3）。 当pa二pd时，m2+4二4+4 （2-m） 2o解得 （如图4） 或m=4 （不合题意，舍去）。 当 da=dp 时，（4-m） 2=4+4 （2-m） 2o 解得山二（如 图5）或m=2 （不合题意，舍去）。综上所述，当aapd为等腰三角形时，m的值为, 或。第（2）题解等腰三角形的问题，其中用几何说理 的方法，计算更简单：图3,当ap二ad时，am垂直平分pd, 那么 pcmambao所以二二因此pc=b, m二如图4,当pa=pd时，p在ad的垂直平分线上。所