24知识讲解_抛物线的方程与性质_基础

1、f抛物线的方程与性质【学习目标】1 掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程2.理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）3 .能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题4.进一步体会数形结合的思想方法【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点叫做抛物线的焦点，定直线要点二、抛物线的标准方程标准方程的推导如图，以过 f 且垂直于 i的直线为 x 轴,垂足为 k.以 f,k 的中点 0 为坐标原点建立直角坐标系xoy.f和一条定直线i（i不经过点f）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点i叫做抛物线的准线.pf 的坐标为（卫,0），准线 i 的方程为x设|kf|=p（p 0）

2、，那么2.焦点2设点 m（x,y ）是抛物线上任意一点 m 到 i 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合点,p m | mf | d|mf | （x才）（x 7）2y2|p2,d |x将上式两边平方并化简,y22px（p 0）.x 轴的正半轴上，坐标是方程叫抛物线的标准方程, 它表示的抛物线的焦点在（卫,0）它的准线方程曰p是 x .22抛物线标准方程的四种形式:根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式2 2 2 2y 2px,y 2px,x 2py,x 2py （p要点诠释:0）。只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程; 抛物线的焦点在标准方

3、程中一次项对应的坐标轴上,且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线x220y的一次项为20y，故其焦点在y轴上，且开口向负方向（向下） 抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4 倍，比如抛物线x220y的一次项20y的系数为20，故其焦点坐标是(0, 5)。般情况归纳:方程图象的开口方向焦点准线k 0时开口向右y kx2k 0时开口向左k 0时开口向上xky2（k，0）4k（0,-）4xk4kyk 0时开口向下7一次项系数。从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定用待定系数法求抛物线的标准方程时，首，然后求先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开

4、口方向定型) 一次项的系数，否则，应展开相应的讨论在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的 形式，再求参数 p,若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种 情况。要点三、抛物线的简单几何性质:抛物线标准方程寸 2px( p 0)的几何性质范围：xx 0，y y r，抛物线 y =2px ( p 0)在 y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点2m 的坐标(x, y)的横坐标满足不等式 x0;当 x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无 界曲线。对称性：关于 x 轴对称抛

5、物线 y =2px (p0)关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称 轴。顶点：坐标原点抛物线 y =2px ( p0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是( 离心率：e0, 0）。221.抛物线 y =2px ( p0)上的点 m 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用示，e=1。抛物线的通径2通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。2因为通过抛物线y =2px (p0)的焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为卫，p,2r, p，所以抛物线的通径长为22p。这就是抛物线标准方程中2p

6、 的一种几何意义。另一方面，由通径的定义我们还可以看出,p 刻画了抛物线开口的大小,p 值越大，开口越宽；p 值越小，开口越窄.(1)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线;(2)标准方程中的参数 p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p0 恰恰说明定义中的焦点 f 不在准线p 的值,l上这一隐含条件；参数 p 的几何意义在解题时常常用到,特别是具体的标准方程中应找到相当于才易于确定焦点坐标和准线方程 .【典型例题】类型一：抛物线的定义例 1.已知抛物线的焦点为(3，3)，准线为 x 轴,求抛物线的方程。【解析】设 m (x，y)为抛物线上的任意一点,则由抛物线的

7、定义，得j(x 3)2(y 3)2|y|两边平方，整理得y所求抛物线的方程为【总结升华】当抛物线的顶点不在原点，对称轴不是坐标轴时，我们只能根据定义求抛物线的方程举一反三：【变式】求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(-2, 3);【答案】：x2412-x 6y392x2设 y =2px,以(-2 , 3)代入，得2p292 ；x设 x =2py,以(-2 , 3)代入，得2p(2)焦点在直线 3x-4y-12=0 上;若焦点为(4, 0),则 y =16x【答案】：若焦点为(0,-3),则 x =-12y(3)准线过点(2, 3)；【答案】： 准线为 x=2，则 y = -8x准线为

8、y=3,则x= -12y222224y3。(4)焦点在 y 轴上，抛物线上一点m(m, 3)到焦点的距离等于25。【答案】：设抛物线方程为x =-2 py(p0),则点 m(m,-3)到准线的距离为 5，即2- p=4, x =-8y例 2.若动圆p与定圆c:(x 3)22(3)5,2y 1相外切，且与直线i :x 2相切，求动圆圆心p的轨迹方程.【解析】解法一：设p(x,y),动圆半径r,动圆与直线i切于点n，圆心c( 3,0),则|pc i r 1,即i pc i ipn i 1依题意点p在直线i的左侧，故i pn i 2 x3)2y2化简得y2(2 x) 1.12x,即为所求.，延长pn

9、交i于n,解法二：设p(x, y),作i :x 3，过p作pn i于n依题意有i pc i i pn i 1, i pc i i pn i 1ipn i，由抛物线定义可知,p点轨迹是以0(0,0)为顶点，c( 3,0)为焦点，i : x 3为准线的抛物线,故y212x为所求.【总结升华】求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解。举一反三:【变式 1】平面上动点 p 到定点 f (1，0)的距离比 p 到 y 轴的距离大 1，求动点 p 的轨迹方程。解法一：设 p 点的坐标为(x, y）,

10、则有2y2|x| 1,两边平方并化简得y =2x+2|x| o4x, x0-y 0, x,2即点 p 的轨迹方程为 y =4x (x 0)或 y=02（x0） o解法二：由题意，动点 p 到定点 f (1 , 0)的距离比到 y 轴的距离大 1,由于点 f(1, 0)到 y 轴的距离为 1,故当 x 0 时，原命题等价于点 p 到点 f (1, 0)与到直线 x= 1 的距离相等,故点 p 在以 f 为焦点，x= 1 为准线的抛线物上，其轨迹方程为故所求动点 p 的轨迹方程为 y =4x (x 0)或 y=1 (x 0）o2点 m 在抛物线上,-（何2p( 2两，即卩p4因此所求方程是x2【总

11、结升华】求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向,出焦参数 p.选择适当的方程形式，准确求举一反三:【变式】求过点(3,2)的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程:【答案】点(3,2)在第二象限，抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时,设所求的抛物线方程为y22px(p0),过点(3,2) , 222p ( 3),224- p ；，二y tx,33设所求的抛物线方程为x22py(p0),过点(3,2) , 322p所求的抛物线的方程为29x 2y，对应的准线方程分别是9。类型三：抛物线的几何性质8【高清课堂：双曲线的方程358821 例 11例 4.(1)写出抛物线y12

12、-x2的焦点坐标、准线方程;(2)已知抛物线的焦点为4f(0, 2),(3)已知抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为写出其标准方程;3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.【解析 1(1)抛物线yx2的标准方程为x2 4y，因为 2p=4,所以焦点坐标为(0, 1),准线方程为y 1.(2)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且卩=2，所以p 4，从而所求抛物线的标准方程为23(3)由已知得p 3，所以所求抛物线标准方程为y 6x，焦点坐标为e,o)，准线方程为2【总结升华 1 讨论抛物线的方程和几何性质时要注意抛物线的焦点轴和几何量诗2p的举一反三:x28y.x区别与联【

13、变式 1】(2016四川文) 抛物线 y2=4x 的焦点坐标是(a)(0,2) (b) (0,1)(c) (2,0) (d) (1,0)【答案】由题意,2y4x的焦点坐标为(1,0),故选 d.22【变式 2】若抛物线 y2= 2px 的焦点与椭圆仝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程95【答案】22【解析】 由题意椭圆1，故它的右焦点坐标是(2, 0),952又 y2= 2px(p 0)的焦点与椭圆x2仝1的右焦点重合,95故 p= 4,抛物线的准线方程为 x = 2.故答案为：x = 2例 5.已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 m (m， 3)到焦点的距离为 5,求

14、m 的值、抛物线的方程和准线方程。【解析】 解法一：因为顶点在原点，对称轴是 y 轴，点 m (m， 3)位于第三或第四象限故设抛物线方程为 x2= 2py (p 0),则焦点f(0, -p); m ( m, 3)在抛物线上且|mf|=5 ,2m 6p故员7讶5，解得 m2 晶,抛物线方程为 x2= 8y, 准线方程为 y=2。解法二：如图所示：设抛物方程为x2= 2py ( p 0),则焦点f (0,号)，准线ftl : yp，作 mn 丄i，垂足为 n,则 |mn|=|mf|=5，而|mn | 3号是(夕 ，- = ,35p4由 m = 8 ( 3)，得m 26。2抛物线方程为 x = 8y,准线方程为 y=2.【总结升华】抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素举一反三：【变式 1】设抛物线的顶点在原点，其焦点 f 在 y 轴上，又抛物线上的点(k, 2)与 f 点的距离为 4, 则 k 的值)2b . 4 或4c. 2d . 2 或2【答案】b【变式 2】(2014 新课标 i )已知抛