上海高考数学函数压轴题解析详解

1、上海高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解1.(本小题满分12 分) 已知常数a0,n 为正整数， fn(x)=xn (x+a)n(x0) 是关于 x 的函数 . (1)判定函数fn(x) 的单调性，并证明你的结论. (2)对任意 n a,证明 fn+1(n+1)0,x0, fn(x)a0 时 ,fn(x)=xn (x+a)n是关于 x 的减函数 , 当 n a 时 ,有： (n+1)n (n+1+a)nnn (n+a)n.2 分又 fn+1(x)=(n+1)xn (x+a)n, fn+1(n+1)=(n+1)(n+1)n (n+1+a)nn, fn+1(n+1)|u v|，所以 p(x) 不

2、满足题设条件. （2）分三种情况讨论：10.若 u,v 1，0，则 |g(u) g(v)|=|(1+u) (1+v)|=|u v|，满足题设条件；20.若 u,v 0，1，则 |g(u) g(v)|=|(1 u) (1 v)|=|v u|，满足题设条件；30.若 u 1，0，v 0，1，则：|g(u) g(v)|=|(1 u) (1+v)|=| u v|=|v+u| |v u|=|u v|，满足题设条件; 40若 u 0，1，v 1，0,同理可证满足题设条件. 综合上述得g(x) 满足条件 . 3.(本小题满分14 分) 已知点 p(t,y) 在函数 f(x)=1xx(x 1)的图象上，且有t

3、2 c2at+4c2=0(c 0). (1)求证： |ac| 4; (2)求证：在 ( 1，+）上 f(x) 单调递增 . (3)(仅理科做 )求证： f(|a|)+f(|c|)1. 证： (1)t r,t 1, =( c2a)2 16c2=c4a2 16c20， c 0, c2a216, |ac| 4. (2) 由 f(x)=1 1x1, 法 1.设 1x1x2,则 f(x2) f(x1)=11x12 1+1x11=)1x)(1x(xx1221. 1x1x2,x1 x20,x2+10, f(x2) f(x1)0, 即 f(x2)0 得 x 1, x 1 时， f(x) 单调递增 . （3）（

4、仅理科做）f(x) 在 x 1 时单调递增，|c|a|40, f(|c|) f(|a|4)=1|a|4|a|4=4|a|4f(|a|)+f(|c|)=1|a|a|+4|a|44|a|a|+4|a|4=1. 即 f(|a|)+f(|c|)1. 4（本小题满分15 分）设定义在r 上的函数43201234( )fxa xa xa xa xa（其中iar，i=0,1,2,3,4 ），当x= 1 时， f(x) 取得极大值23，并且函数y=f(x+1) 的图象关于点（1， 0）对称（1）求 f(x) 的表达式；（2）试在函数f(x) 的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间

5、2,2上；（3）若+212(13 ),(n )23nnnnnnxyn，求证：4()().3nnf xf y解：（ 1）31( ).3f xxx5 分（2）20,0 ,2,3或20,0 ,2,.3 10 分（3）用导数求最值，可证得4()()( 1)(1).3nnf xfyff 15 分5（本小题满分13 分）设 m 是椭圆22:1124xyc上的一点， p、 q、t 分别为 m 关于 y 轴、原点、 x 轴的对称点，n 为椭圆 c 上异于 m 的另一点，且mn mq，qn 与 pt 的交点为e，当 m 沿椭圆 c 运动时，求动点 e 的轨迹方程解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(

6、 ,),mx yn xyx ye x y则111111(,),(,),(,),px yqxyt xy 1 分221122221,(1)1241.(2)124xyxy3 分由（ 1）（ 2）可得1.3mnqnkk6 分又 mn mq ，111,mnmqmnxkkky所以11.3qnykx直线 qn 的方程为1111()3yyxxyx，又直线pt 的方程为11.xyxy 10 分从而得1111,.22xxyy所以112 ,2 .xx yy代入（ 1）可得221(0),3xyxy此即为所求的轨迹方程.13 分6（本小题满分12 分）过抛物线yx42上不同两点a、b 分别作抛物线的切线相交于p 点，.

7、0pbpa（1）求点 p 的轨迹方程；（2） 已知点 f （0， 1） ，是否存在实数使得0)(2fpfbfa？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211xxxxbxxa由,42yx得：2xy4, 021xxpbpapbpa3 分直线 pa 的方程是：)(241121xxxxy即42211xxxy同理，直线pb 的方程是：42222xxxy由得：),(, 142212121rxxxxyxxx点 p 的轨迹方程是).(1rxy6 分（ 2）由（ 1）得：),14,(211xxfa),14,(222xxfb)1,2(21xxp42)14)

8、(14(2221222121xxxxxxfbfa10 分所以0)(2fpfbfa故存在=1 使得0)(2fpfbfa12 分解法（二）：（1）直线pa 、pb 与抛物线相切，且, 0pbpa直线 pa、 pb 的斜率均存在且不为0，且,pbpa设 pa 的直线方程是)0,(krmkmkxy由yxmkxy42得：0442mkxx016162mk即2km3 分即直线 pa 的方程是：2kkxy同理可得直线pb 的方程是：211kxky由2211kxkykkxy得：11yrkkx故点 p 的轨迹方程是).(1rxy6 分（ 2）由（ 1）得：)1,1(),1,2(),2(22kkpkkbkka)1(

9、2)11)(1(42222kkkkfbfa10 分故存在=1 使得0)(2fpfbfa12 分7（本小题满分14 分）设函数xaxxxfln1)(在), 1上是增函数 . （1）求正实数a的取值范围；（2）设1,0 ab，求证：.ln1bbabbaba解：（ 1）01)(2axaxxf对),1 x恒成立，xa1对),1 x恒成立又11x1a为所求 .4 分（ 2）取bbax，1,0, 1bbaba，一方面，由（1）知xaxxxfln1)(在), 1上是增函数，即babba1ln8 分另一方面，设函数)1(ln)(xxxxg)(xg在),1 (上是增函数且在0 xx处连续，又01)1 (g当1x

10、时，0)1 ()(gxgxxln即bbabbaln综上所述，.ln1bbabbaba14 分8(本小题满分12 分) 如 图 ， 直 角 坐 标 系x o y中 ， 一 直 角 三 角 形abc，90c，b、c在x轴上且关于原点o对称，d在边bc上，3bddc，abc!的周长为12若一双曲线e以b、c为焦点，且经过a、d两点(1)求双曲线e的方程；(2)若一过点(,0)p m（m为非零常数）的直线l与双曲线e相交于不同于双曲线顶点的两点m、n，且mppn，问在x轴上是否存在定点g，使()bcgmgn？若存在，求出所有这样定点g的坐标；若不存在，请说明理由解： (1)设双曲线e的方程为22221

11、 (0,0)xyabab，则(,0),( ,0),( ,0)bcd ac c由3bddc，得3()caca，即2ca222|16,| 124 ,|2 .abacaabacaabaca（3 分）解之得1a，2,3cb双曲线e的方程为2213yx（5 分）(2)设在x轴上存在定点( ,0)g t，使()bcgmgn设直线l的方程为xmky，1122(,),(,)m xyn xy由mppn，得120yy即12yy（6 分）(4,0)bc，1212(,)gmgnxtxt yy，()bcgmgn12()xtxtxydocabxydocabnbcoyxgmp即12()kymtkymt（8 分）把代入，得1

12、2122()()0ky ymtyy（9 分）把xmky代入2213yx并整理得其中2310k且0，即213k且2231km212122263(1),3131kmmyyy ykk（10 分）代入，得2226 (1)6()03131k mkm mtkk，化简得kmtk当1tm时，上式恒成立因此，在x轴上存在定点1(,0)gm，使()bcgmgn（12 分）9(本小题满分14 分) 已知数列na各项均不为0，其前n项和为ns，且对任意*nn都有(1)nnp sppa（p为大于 1 的常数），记12121ccc( )2nnnnnnnaaaf ns(1)求na；(2)试比较(1)f n与1( )2pf

13、np的大小（*nn）；(3)求证：2111(21) ( )(1)(2)(21)112nppnf nfffnpp剟，（*nn）解： (1)(1)nnp sppa，11(1)nnp sppa，得11(1)nnnp apapa，即1nnapa（3 分）在中令1n，可得1apna是首项为1ap，公比为p的等比数列，nnap（4 分）(2)由(1) 可得(1)(1)11nnnppp pspp12121cccnnnnnaaa1221ccc(1)(1)nnnnnnnppppp12121ccc( )2nnnnnnnaaaf ns1(1)2 (1)nnnpppp，（5 分）(1)f n1111(1)2(1)nnnpppp而1( )2pf np1111(1)2()nnnppppp，且1p，1110nnppp，10p(1)f n1( )2pf np，（*nn）（8 分）(3)由(2) 知1(1)2pfp，(1)f n1( )2pf np，（*nn）当2n时，211111( )(1)()(2)()(1)()2222nnppppf nf nf nfpppp221111(1)(2)(21)222npppfffnppp,2111112npppp，（10 分）（当且仅当1n时取等号）另一方面，当2n，1,2, 21kn时，221 2(1)121nnnkn kpppp