2022年苏教版高中数学必修2圆与方程预习提纲平面解析几何教案

1、圆与方程预习提纲1圆的标准方程：2圆的一般方程：3直线与圆的位置关系的判断：4圆与圆的位置关系的判断：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - -圆与方程教案例 1：已知两点p1（4， 9）和 p2（6， 3） ，求以 p1p2为直径的圆的方程，并且判断点m（6，9） ，n（3，3） ，q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。例 2：圆 x2 + y2 4 与圆（ x3）2 +（y4）2 16 的位置关系。例 3：求以 c（1，3）为圆心，并且和直线3x4y7=0 相切的圆的方程. 例 4

2、：过点 a（3，1）和 b（ 1，3） ，且它的圆心在直线3xy20 上的圆的方程。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - -例 5：求半径为10，和直线4x3y70 0 切于点（ 10，10）的圆的方程。例 6：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点m（x0，y0）的切线的方程. 例 7：求过点a（2，4）向圆 x2 + y2 4 所引的切线方程。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - -

3、- - - -例 8：两直线分别绕a（2，0） ，b（ 2，0）两点旋转，它们在y 轴上的截距b，b的乘积bb 4，求两直线交点的轨迹。例 9：已知一圆与y 轴相切，圆心在直线l：x3y = 0 上，且被直线yx 截得的弦ab 长为2 7 ，求圆的方程。例 10：求过三点o（0，0） 、m1（ 1，1） 、m2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - -例 11：已知一曲线是与两个定点o（0，0） 、a（3，0）距离的比为21的点的轨迹，

4、求此曲线的方程，并画出曲线. 例 12：已知曲线c： （ 1a）x 2（1a）y 24x8ay0， （1）当 a 取何值时，方程表示圆；（2）求证：不论a 为何值，曲线c 必过两定点； （3）当曲线c 表示圆时，求圆面积最小时 a的值。例 13：已知圆x2 + y21，求过点p（ a，b）的圆的切线方程。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - -例 14：已知圆方程为x2 + y24x2y200， （1）斜率为43的直线 l 被圆所截线段长为 8，求直线方程； （2）在圆上求两点a 和 b

5、，使它们到直线l： 4x3y190 的距离分别取得最大值或最小值。例 15：自点 a（ 3，3）发出的光线l 射到 x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2 + y24x4y70 相切，求光线l 所在直线的方程。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - -圆与方程教案例 1：已知两点p1（4， 9）和 p2（6， 3） ，求以 p1p2为直径的圆的方程，并且判断点m（6，9） ，n（3，3） ，q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。解：根据已知条件，圆心c（a，b）是 p1p2

6、的中点，那么它的坐标为：a4625，b9326 再根据两点的距离公式，得圆的半径是：r cp1（45）2 +（96）210 所求圆的方程是： （x5）2 +（y 6）2 10 cm10 ， cn13 10 ， cq 310 点 m 在圆上，点q 在圆内，点n 在圆外 . 例 2：圆 x2 + y2 4 与圆（ x3）2 +（y4）2 16 的位置关系。解：圆心距5r1r26 两圆相交例 3：求以 c（1，3）为圆心，并且和直线3x4y7=0 相切的圆的方程. 解：因为圆c 和直线 3x4y7=0 相切，所以半径r 等于圆心c 到这条直线的距离. 根据点到直线的距离公式，得516)4(37341

7、322r因此，所求的圆的方程是.25256)3()1(22yx说明：例3中用到了直线和圆相切的性质，即圆心与切点连线垂直于切线且等于半径. 例 4：过点 a（3，1）和 b（ 1，3） ，且它的圆心在直线3xy20 上的圆的方程。解：设圆的方程为（ xa）2 +（yb）2 r 2 则： （3 a）2 +（1b）2 r 2， （ 1 a）2 +（3b）2 r 2，3ab2 0 解法二：线段ab 的中点坐标是（1，2）则 kab31 1312所以，线段ab 的垂直平分线方程为：y22（x1）即： 2xy0 由2xy 03xy 20得圆心坐标为c（2，4） ，又 r ac10 圆的方程是： （x2）

8、2 +（y4）2 10 例 5：求半径为10，和直线4x3y70 0 切于点（ 10，10）的圆的方程。解：设圆心坐标为c（x 0，y 0） ，则y 010 x 0 10 （43） 1（x 010）2 +（y 010）2 100精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - -解得： x 02，y 04 或 x 018，y 016 所求圆的方程是：（x2）2 +（y4）2 100 或（ x 18）2 +（y16）2 100 例 6：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点m（x0，y0）的切

9、线的方程. 解：设切线的斜率为k，半径 om 的斜率为 k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是 k=11k00001,yxkxyk. 经过点 m 的切线方程是：)(0000 xxyxyy整理得：202000yxyyxx因为点 m（x0，,y0）在圆上，所以22020ryx所求切线方程为：200ryyxx当点 m 在坐标轴上时，上述方程同样适用. 例 7：求过点a（2，4）向圆 x2 + y2 4 所引的切线方程。解法一：设切线方程为y4k(x2) 即 kxy4 2k0 由kxy42k0 x2 + y2 4得：（k 21）x 2 4k（2 k）x4k 216k120 由 0 得： k34又：

10、当过点a 并且与 y 轴平行的直线恰与圆相切所求切线方程为：x2 或 3x 4y100 解法二：设切线方程为kxy42k0 则：42kk 212 得： k34又：当过点a 并且与 y 轴平行的直线恰与圆相切所求切线方程为：x2 或 3x4y100 解法三：设切点为（x 0，y 0） ，则：x 0 xy0y 4 2x 04y04 又： x02 + y024 x 02，y 00 或 x 065，y 085得切线方程：x 2 或 3x4y 100 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - -例 8

11、：两直线分别绕a（2，0） ，b（ 2，0）两点旋转，它们在y 轴上的截距b，b的乘积bb 4，求两直线交点的轨迹。解：设 m（x，y）为两直线l1、l2的交点则有 l1：x2yb= 1， l2：x 2yb= 1 得： b2y2x，b2y2xbb2y2x2y2 x4 x2 + y2 4（ y0）例 9：已知一圆与y 轴相切，圆心在直线l：x3y = 0 上，且被直线yx 截得的弦ab 长为2 7 ，求圆的方程。解：设圆心c（ 3a，a）圆与 y 轴相切r 3a又： cd 3aa22 abd12 ab7 由勾股定理得：a 1 所求圆的方程为：（x3）2 +（y1）2 9 或（ x3）2 +（y1

12、）2 9 例 10：求过三点o（0，0） 、m1（ 1，1） 、m2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标 . 解：设所求圆的方程为022feydxyx用待定系数法，根据所给条件来确定d、e、f、因为 o、m1、m2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得02024020fedfedf解得068fed于是所求圆方程为：x2+y28x+6y=0 化成标准方程为： （x4）2+ y(3)2=52所以圆半径r=5,圆心坐标为（ 4， 3）说明 ：如果由已知条件容易求得圆心的坐标、半径或需利用圆心的坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，如果已知条件和圆心坐标或

13、半径都无关，一般采用圆的一般方程。例 11：已知一曲线是与两个定点o（0，0） 、a（3，0）距离的比为21的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线. 解：在给定的坐标系里，设点m（x,y）是曲线上的任意一点，也就是点m 属于集合 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - -.21|amommp由两点间的距离公式，点m 所适合的条件可以表示为21)3(2222yxyx，将式两边平方，得41) 3(2222yxyx化简得 x2+y2+2x3=0 化为标准形式得： （x+1）2+y2=4 所以

14、方程表示的曲线是以c（ 1，0）为圆心， 2 为半径的圆。说明 ：到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆。例 12：已知曲线c： （ 1a）x 2（1a）y 24x8ay0， （1）当 a 取何值时，方程表示圆；（2）求证：不论a 为何值，曲线c 必过两定点； （3）当曲线c 表示圆时，求圆面积最小时 a的值。解： （1）当 a 1 时，方程为x2y0，为一直线；当 a 1 时， （x21 a）2 +（y4a1a）2 416a 2(1a)2表示圆。（ 2）方程变形为：x2 + y24x a（x2 + y2 + 8y） 0 c 过定点 a（0，0） ，b（165，85）（ 3）以 ab 为直径的圆

15、面积最小（为什么？）得圆的方程： （x85）2 +（y45）2 16521a85，4a1a45，4 16a 2(1a)2165解得： a14例 13：已知圆x2 + y21，求过点p（ a，b）的圆的切线方程。解： （1）当 p 在圆内，即a2 + b21 时，无切线方程；（ 2）当 p 在圆上，即a2 + b21 时，方程为：axby1；（ 3）当 p 在圆外，即a2 + b21 时，设直线方程为ybk（ xa） ，即 kxykab0 由 d k00kabk 211，得（a 21） k 22abkb210 当 a 1 时， kaba 2b2- 1a 21；当 a 1 时， kb2 12b精品

16、学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - -当 a 1 时， ybaba 2b2- 1a 21(xa) 当 a1 时， ybb212b(x1)或 x1 当 a 1 时， ybb212b(x1)或 x 1 例 14：已知圆方程为x2 + y24x2y200， （1）斜率为43的直线 l 被圆所截线段长为 8，求直线方程； （2）在圆上求两点a 和 b，使它们到直线l： 4x3y190 的距离分别取得最大值或最小值。解： （1）设所求方程为：y43xb，圆的方程可化为：（x2）2（ y1）225

17、圆心 c（2， 1） ，半径 r5 圆心到直线的距离为：d 42313b5 113b53 b43或 b263所求直线方程为：y43x43或 y43x263即： 4x3y40 或 4x3y260 （ 2）解法一：设l l 且 l与圆相切，则所述距离即为l与 l 间的距离，切点即为所求点。设 l： 4x3ym0 则由：4x3ym0 x2 + y24x2y200得：25x 24（2m3）xm 26m 1800 16（2m3）2 100（m 26m180） 0 得： m14 或 m 36 又： x4（2m3）2 252（32m）25x 2（m14 时）或 x6（m 36 时）得 a（ 2， 2） ，b（6，4）解法二：过圆心作与直线l 垂直的直线l与圆交于a、b 两点即为所求。kl43k l34l： y 134（x2）即： 3x4y20 由3x4y20 x2 + y2 4x2y20 0解出 x、y 即为 a、b 坐标精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - -例 15：自点 a（ 3，3）发出的光线l 射到 x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2 + y24x4y70 相切，求光线l 所在直线的方程。解：圆的方