第二讲、区域及复变函数

1、2021-11-25第二讲第二讲 平面点集与复变函数平面点集与复变函数1、复平面上的点集、复平面上的点集2、简单曲线、简单曲线3、复球面与无穷远点、复球面与无穷远点4、复变函数、复变函数5、复函数的极限与连续性、复函数的极限与连续性6、思考与练习、思考与练习2021-11-25而而称称由由不不等等式式 00zz所所确确定定的的点点集集为为0z的的去去心心邻邻域域。 平平面面上上以以0z为为中中心心， ( (任任意意的的正正数数) )为为半半径径的的圆圆： 0zz内内部部的的点点的的集集合合称称为为0z的的邻邻域域. . 1 1、复平面点集的基本概念、复平面点集的基本概念 设设G为为一一平平面面

2、点点集集，0z为为G中中任任意意一一点点。 如如果果存存在在0z的的一一个个邻邻域域， 该该邻邻域域内内的的所所有有点点都都属属于于G， 那那末末称称 为为 的的内内点点。如如果果G内内的的每每个个点点都都是是它它的的内内点点，那那末末称称 为为开开集集。 0zGG（1）邻域）邻域2021-11-251）D是一个开集；是一个开集； 2 2）D是是连连通通的的，就就是是说说D中中任任何何两两点点都都可可以以用用完完全全属属于于D的的一一条条折折线线连连接接起起来来。 D的的所所有有边边界界点点组组成成D的的边边界界. . 边界边界区域区域1z2zp 邻域邻域 图图(1.10)(1.10) 0z设

3、设D为复平面内的一个区域，为复平面内的一个区域，如果点如果点 不属于不属于 ，但在，但在p的任意的任意小的领域内总包含有小的领域内总包含有D中的点， 这中的点， 这样的点样的点 我们称为我们称为D的边界点。的边界点。 Dpp以上概念参见图（以上概念参见图（1.10）区区域域D与与它它的的边边界界一一起起构构成成闭闭区区域域或或闭闭域域，记记作作D。 平平面面点点集集D称称为为一一个个区区域域，如如果果它它满满足足下下列列两两个个条条件件： （3）区域）区域2021-11-25及及带带形形域域：bza Im 等等都都是是无无界界区区域域。 如如果果一一个个区区域域D可可以以被被包包含含在在一一个

4、个以以原原点点为为中中心心的的圆圆里里面面，即即存存在在正正数数M，使使区区域域D的的每每个个点点z都都满满足足Mz ，那那末末D称称为为有有界界的的，否否则则称称为为无无界界的的。 例 如 圆 环 域例 如 圆 环 域 : : 满 足 不 等 式满 足 不 等 式201rzzr 的所有点构成的的所有点构成的区域 （图区域 （图( (1.121.12) )） 。 区域是有界的，） 。 区域是有界的，区 域 的 边 界 由 两 个 圆 周区 域 的 边 界 由 两 个 圆 周10rzz 和和20rzz 组成。组成。 边界边界0z1r2r边界边界图图1.12圆圆的的外外部部：Rzz 0; ; 上上

5、半半平平面面：0Im z; ; 角角形形域域： zarg0; ; 2021-11-252 2、简简单单曲曲线线 代表一条平面曲线，称为代表一条平面曲线，称为连续曲线。连续曲线。如果如果 和和 是两个连续的实变函数，那么方程组是两个连续的实变函数，那么方程组( )x t( )y t( ),( ), ()xx tyy tatb 如果令：如果令：来代表，这就是平面曲线的复数表示式。来代表，这就是平面曲线的复数表示式。( )( )( )z tx tiy t那么这条曲线就可以用一个方程那么这条曲线就可以用一个方程( )zz t()atb 如果在区间如果在区间bta 上上)(tx 和和)(ty 都是都是连

6、续的，连续的，且对于且对于t的每一个值，有的每一个值，有 0)()(22 tytx 那末这曲线称为光滑的。那末这曲线称为光滑的。 2021-11-25 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为逐段光滑曲线。逐段光滑曲线。 没没有有重重点点的的连连续续曲曲线线C，称称为为简简单单曲曲线线或或若若尔尔当当( (J Ja ar rd da an n) )曲曲线线。 (a)简单、闭简单、闭)()(bzaz (b)简单、不闭简单、不闭 )(az)(bz设设 为一条连续曲线，为一条连续曲线， 与与 分别称分别称为为 的起点和终点。的起点和终点。 :( )()C zz

7、 t atb ( )z a( )z bC2t如如果果简简单单曲曲线线C的的起起点点与与终终点点重重合合，即即 。bzaz 那那末末曲曲线线C称称为为简简单单闭闭曲曲线线。 对于满足对于满足btabta 21,的的1t与与 ，当，当21tt 而有而有)()(21tztz 时，点时，点)(1tz称为曲线称为曲线C的重点。的重点。 2021-11-25(c)不简单、闭不简单、闭(d)不简单、不闭不简单、不闭)()(bzaz )(az)(bz任任意意一一条条简简单单闭闭曲曲线线C把把整整个个复复平平面面唯唯一一地地分分成成三三个个互互不不相相交交的的点点集集，其其中中除除去去C以以外外，一一个个是是有

8、有界界区区域域，称称为为C的的内内部部，另另一一个个是是无无界界区区域域，称称为为C的的外外部部，C为为它它们们的的公公共共边边界界。 对于简单闭曲线我们有以下的结论对于简单闭曲线我们有以下的结论简单闭曲线的这一性质，其几何直简单闭曲线的这一性质，其几何直观意义是很清楚的。观意义是很清楚的。 我们把这一结论称为约当定理。我们把这一结论称为约当定理。2021-11-25定定义义： 复复平平面面上上的的一一个个区区域域B，如如果果在在其其中中任任作作一一条条简简单单闭闭曲曲线线， 而而曲曲线线的的内内部部总总属属于于B， 就就称称为为单单连连通通域域. .一一个个区区域域如如果果不不是是单单连连通

9、通域域，就就称称为为多多连连通通域域。 单连通单连通单连通单连通多连通多连通3 3复球面复球面 取取一一个个与与复复平平面面切切于于原原点点0 z的的球球面面， 球球面面上上的的一一点点S与与原原点点重重合合( (图图1 1. .6 6) )。 通通过过作作垂垂直直于于复复平平面面的的直直线线与与球球面面相相交交于于另另一一点点N。我我们们称称 为为北北极极, , 为为南南极极。 NS图图1.6点击点击2021-11-25由由图图 1 1. .6 6 说说明明：球球面面上上的的点点，除除去去北北极极N外外，与与复复平平面面内内的的点点之之间间存存在在着着一一一一对对应应的的关关系系。 这这样样

10、一一来来，球球面面上上的的每每一一个个点点，就就有有唯唯一一的的复复数数与与它它对对应应，这这样样的的球球面面称称为为复复球球面面。 我我们们把把包包括括无无穷穷远远点点在在内内的的复复平平面面称称为为扩扩充充复复平平面面。 不不包包括括无无穷穷远远点点在在内内的的复复平平面面称称为为有有限限平平面面，或或者者 就就称称复复平平面面。 为为了了使使复复平平面面与与球球面面上上的的点点无无例例外外地地都都能能一一一一对对应应起起来来， 我我们们规规定定： 复复平平面面上上有有一一个个唯唯一一的的“无无穷穷远远点点”, , 并并把把它它记记作作 。它它与与球球面面上上的的北北极极 相相对对应应。

11、N2021-11-25对对于于复复数数 来来说说，规规定定：实实部部、虚虚部部与与辐辐角角的的概概念念均均无无意意义义；但但它它的的模模则则为为正正无无穷穷大大即即 为为了了今今后后的的需需要要，关关于于 的的四四则则运运算算作作如如下下规规定定： 加法：加法： , 乘乘法法： , ,( (0 ) ) 减减法法： , 除除法法： ,0, 0 0 ( (0 ，但但可可为为 ) ). . 2021-11-254、复复变变函函数数 定定义义 设设G是是一一个个复复数数iyxz 的的集集合合。 如如果果有有一一个个确确定定的的法法则则存存在在，按按照照这这一一法法则则，对对于于集集合合 中中的的每每一

12、一个个复复数数z，就就有有一一个个或或几几个个复复数数ivuw 与与之之对对应应，那那末末称称复复变变数数w是是复复变变数数 的的函函数数（简简称称复复变变函函数数） ，记记作作)(zfw 。 Gz如如果果一一个个z值值对对应应着着一一个个w值值，那那末末我我们们称称函函数数)(zf是是单单值值的的；否否则则称称为为多多值值函函数数。 没有特别说明，以后讨论的均为单值函数。没有特别说明，以后讨论的均为单值函数。集集合合G称称为为)(zf的的定定义义集集合合，对对应应于于 中中所所有有 的的一一切切w值值所所成成的的集集合合 G，称称为为函函数数值值集集合合。 Gz2021-11-25因而函数因

13、而函数2zw 对应于两个二元对应于两个二元实变函数实变函数 令令,ivuwiyxz 那那末末 xyiyxiyxivu2222 xyvyxu2,22 考考察察函函数数2zw 。 对任意给定的一个复数对任意给定的一个复数iyxz 就相当于给定了两个就相当于给定了两个实数实数x和和y，而复数，而复数ivuw 亦同样地对应着一对实数亦同样地对应着一对实数 和和 ，所以复变函数，所以复变函数 和自变量和自变量 之间的关系之间的关系 zfw 相当于两个关系式：相当于两个关系式： yxvvyxuu, 。 uvwz2021-11-25下面我们介绍复函数与映射的关系。下面我们介绍复函数与映射的关系。如果用如果用

14、 平面上的点表示自变量平面上的点表示自变量 的值，而用的值，而用 平面上平面上的点表示函数的点表示函数 的值， 那末函数的值， 那末函数 zfw 在几何上就可以在几何上就可以看做是把看做是把 平面上的一个点集平面上的一个点集 （定义集合）变到（定义集合）变到 平面平面上的一个点集上的一个点集 G（函数值集合）的映射（或变换） 。（函数值集合）的映射（或变换） 。 zzwwzGw如如果果G中中的的点点 被被映映射射 zfw 映映射射成成 中中的的点点 ，那那末末 称称为为 的的象象( (映映象象)，而而 称称为为 的的原原象象。 zzzwww*G例例如如，考考虑虑函函数数zw 所所构构成成的的映

15、映射射，( (见见下下图图) ) 映映射射zw 点击点击2021-11-251z 2w 2z 1w 0如如果果把把 平平面面和和w平平面面重重叠叠在在一一起起， 不不难难看看出出， 函函数数zw 是是关关于于实实轴轴的的一一个个对对称称映映射射。 ( (如如右右图图) )。 z假定函数假定函数 zfw 的定义集合为的定义集合为 平面上的集合平面上的集合 ， 函， 函数值集合为数值集合为w平平面上的集合面上的集合 G，那么对于，那么对于 G内任意一点内任意一点w能在能在G内找到至少一个内找到至少一个 ，使得，使得)(zfw 。 zGz由此定义一个复函数由此定义一个复函数 满足满足 ，我们称函数，

16、我们称函数为为 的反函数，记作的反函数，记作( )z ( )f z( )z ( )f z1( )zfw2021-11-25今今后后， 我我们们不不再再区区分分函函数数与与映映射射( (变变换换) )。 如如果果函函数数 （映映射射）)(zfw 与与它它的的反反函函数数( (逆逆映映射射) )(wz 都都是是单单值值的的，那那末末称称函函数数（映映射射）),(),()(yxivyxuzf 是是一一一一对对应应的的。 此此时时， 我我们们也也称称集集合合G与与集集合合 G是是一一一一对对应应的的。 从从反反函函数数的的定定义义可可知知，对对于于任任意意的的*Gw 有有 )(wfw 。 只只有有当当

17、反反函函数数为为单单值值函函数数时时，才才有有Gzzfz ),( 2021-11-25定义定义: : 设函数设函数)(zfw 在在0z的去心邻域的去心邻域 00zz内有定义。内有定义。如果有一确定的数如果有一确定的数 存在，使得对于任意给定的存在，使得对于任意给定的0 ，相应地存在正数，相应地存在正数)0()( ，使得当，使得当 |00zz 时有时有 |Azf， 那末， 那末 称为称为 zf当当z趋向于趋向于0z时的极限，记作时的极限，记作 Azfzz 0lim， 或记作当或记作当0zz 时，时， Azf。 AA点击点击下面我们看看极限的几何意义下面我们看看极限的几何意义5. 复变函数的极限和

18、连续性复变函数的极限和连续性2021-11-25这这个个定定义义的的几几何何意意义义是是： 当当变变点点 一一旦旦进进入入 的的充充分分小小的的 去去心心邻邻域域时时，它它的的象象点点 zf就就落落入入 的的预预先先给给定定的的 邻邻域域中中。跟跟一一元元实实变变函函数数极极限限的的几几何何意意义义相相比比十十分分类类似似，只只是是这这里里用用圆圆形形邻邻域域代代替替了了那那里里的的邻邻区区。 z0zA关关于于极极限限的的计计算算，有有下下面面两两个个定定理理。 定定义义中中z趋趋向向于于000iyxz 的的方方式式是是任任意意的的， 就就是是说说，无无论论 从从什什么么方方向向、以以何何种种

19、方方式式趋趋向向于于 ，)(zf都都要要趋趋向向于于同同一一个个常常数数 。这这比比对对一一元元实实变变函函数数极极限限定定义义的的要要求求苛苛刻刻得得多多。 z0zA注意注意: : 2021-11-25设设 ,yxivyxuzf ,00ivuA ,000iyxz 那那末末 Azfzz 0lim的的充充要要条条件件是是 ,lim,lim0,0,0000vyxvuyxuyyxxyyxx 定定理理一一: : 注注：定定理理将将求求 yxivyxuzf, 的的极极限限问问题题转转化化为为求求两两个个二二元元实实函函数数 yxu,和和 yxv,的的极极限限问问题题。 如果如果 ,lim,lim00Bz

20、gAzfzzzz 那末那末 定定理理二二 3 3） 0lim0 BBAzgzfzz； 1 1） BAzgzfzz 0lim; ; 2 2） ABzgzfzz 0lim; ; 2021-11-25例例 1 1: :证证明明函函数数 zzzfRe 当当0z时时的的极极限限不不存存在在。 令令iyxz ，则，则 22yxxzf 由由此此得得 0,22 yxvyxxyxu 让让z沿沿直直线线kxy 趋趋于于零零，我我们们有有 22202200111limlim,limkxkxyxxyxuxkxyxkxyx 证明：证明：2021-11-25显显然然，它它随随 而而不不同同，所所以以 yxuyx,lim0, 0不不存存在在. . k所所以以 |)Re(lim0zzz不不存存在在 定义：定义：下面介绍下面介绍复变函数的连续性复变函数的连续性 如果如果，那末我们就说，那末我们就说)(zf在在处连续，如果处连续，如果)(zf在区域在区域D内处处连续，我们说内处处连续，我们说)(zf在在D内连续。内连续。 00lim( )()zzf zf z2021-11-25函函数数 yxivyxuzf, 在在000iyxz 处处连连续续的的充充要要条条件件是是： yxu,和和 yxv,在在 00, yx处处连连续续。 定理三定理三 ：由由定定理理二二和和定定理理