专项练习：菱形的判定

1、1 / 11菱形的判定、选择题1. 下列条件能判断四边形abcd是菱形的条件是（）a ?对角线互相平分b. 对角线互相垂直c ?邻边相等d ?对角线互相垂直且平分2. 若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍，则该平行四边形一定为（ ）a. 矩形. b . 菱形. c. 矩形和菱形 .d . 正方形 . 3. 满足下列（）的是菱形 . a . 两对角线相等b. 两对角线垂直c. 两条对角线垂直且互相平分d. 两条对角线相等且互相垂直4?顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形，则原来的四边形必是（ ）a. 等腰梯形b . 矩形c. 对角线相等d . 菱形5. 将一张矩形纸对折再对折（

2、如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到、两部分，将展开后得到的平面图形是（）a. 矩形 b . 三角形 c. 正方形 d . 菱形6. 已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点，得到的四边形是（）a. 梯形b. 矩形c. 菱形d . 正方形7. 用两根等宽的木条交叉重叠在一起，则重叠部分的图形一定是（）a. 矩形b. 菱形c. 正方形d . 无法确定8. 已知四边形abcd是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）2 / 11a. ab =cd b. ac =bd 3 / 11c. ac _ bd时，它是菱形d. 当.abc =90时，它是矩形、填空题9. 依次连结等腰梯形各边中点

3、所成的四边形是_ . 10. 在四边形abcd中，对角线ac、bd交于点0, 从( 1) ab=cd ； ( 2) ab / cd ； ( 3) oa =oc ； ( 4) ob =od ； ( 5) ac 丄bd ； ( 6) ac 平分.bad 这六个条件中，选取三个推出四边形abcd是菱形 . 如( 1) ( 2) ( 5) = abcd 是菱形，再写出符合要求的两个：_ = a b c是菱形；_ =a b c是菱形 .11. 延长等腰 abc顶角平分线ad到e使de二ad，连结be, ce，则四边形abec是 _ 形. 12. 对角线 _ 勺四边形是菱形 . 13. 将矩形 abcd

4、绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后，使a 与 b 重合，得矩形 bfde ，bf 交 ad 于 m，de 交 bc 于 n，贝 u 四边形 bmdn 是 _ ( 填特殊四边形的名称 ). 三、证明题14. 已知，如图，从菱形abcd对角线的交点o分别向各边引垂线，垂线分别是e，f，g，h . 求证：四边形efgh是矩形 . 15. 已知四边形abcd的四边分别为 a，b，c，d，且满足a4b4c4 y4=4abcd，求证：四边形abcd是菱形 . mndc4 / 1116. 已知丫abcd是对角线ac、bd相交于o，如图，且 13, ac =6 , bd =4，你能说明四边形abcd是菱形吗？

5、17. 如图所示，rt abc中，.acb =90，abc的角平分线bd交ac于点d ,ch丄ab交bd于f ， de丄ab于e，四边形cdef是菱形吗？19. 如图，在 abc中，ad是?bac的平分线 , 交ac于f , 求证：四边形aedf是菱形 . 如图，在五边形abcde中，ab二bc二cd = de 说明：四边形acde是菱形 . 18. 二ea，abc 二2 dbe . 请b d c 5 / 1120. 如图，矩形abcd中，o是两对角线的交点，af垂直平分线段ob，垂足 为e，ch垂直平分线段od，垂足为g . 求证：（ 1） aob是等边三角形；（2）四边形afch是菱形 .

6、 21. 如图，矩形abcd中，o是ac与bd的交点，过o点的直线ef与ab，cd的延长线分别交于e，f . (1)求证： boe dof ;22. 如图所示，ad是 rt abc斜边bc上的高， .b的平分线交ad于m，交ac 于e， dae的平分线交cd于n . 求证：四边形amne为菱形 . （2）当ef与ac满足什么条件时 , 四边形aecf为菱形？并证明你的结论 . c 6 / 1123. 如图所示，在四边形abcd中，对边ab二cd , m , n , p , q分别是ad , bc , ac , bd的中点，求证：mn丄pq . 24. 如图，四边形abcd中，点e在ab上，且

7、ade与厶bce都是正三角形 , 点p，q，m，n分别为边ab，bc，cd，da的中点 . 求证：四边形pqmn与md的平行线bn交于n，求证：四边形bndm为菱形 . 25.如图, 四边形abcd 中, abc adc =90 ,m为ac中点，且mn丄bd 7 / 11d c 8 / 1126. 如图 rta abc 中，bac =90 , ad 丄bc 于d , ce 平分.acb 交ad 于g , 交ab于e , ef丄bc于f，求证：四边形aefg为菱形 .27. yabcd的对角线的垂直平分线与边形afce是菱形 . 28. 已知：如图，过yabcd的对角线交点o作互相垂直的两条直线

8、eg, 平行四边形abcd各边分别相交于点e, f, g, h . 求证：四边形efgh是菱形. fh与ad，: 四边d9 / 1129. 如图，在丫abcd中，0 是对角线 ac 的中点，过点 o 作 ac 的垂线与边 ad, bc 分别交于 e, f. 四、应用题30. 如图，在四边形abcd 中，e、f、g、h 分别是 ab、bc、cd、da 的中点 , 请添加一个条件，使四边形efgh 为菱形，并说明理由 . 参考答案、选择题1. d2. b3. c4. c5. d6. c求证：四边形 afce 是菱形 . 10 / 117. b8. b二、 填空题9. 菱形10. (5)或如 (6)

9、11. 菱12. 互相平分且垂直13. 菱形三、 证明题14. 先证四边形hefg为平行四边形，再证hf二eg . 15. 解：因为a4b4c4d4二4abcd，所以2a42b42c42d4-8abcd = 0，所以(a4 -2a2b2b4) (b4-2a2c2c4) (c4-2c2d2d4) (d4 -2a2d2a4) 2(a2b2 -2abcd c2d2) 2(a2d2 -2abcd b2c2) =0 所以(a2-b2)2 (b2-c2)2 (c2-d2)2 (d2-a2)2 2(ab-cd)2 2(ad-bc)2=0 由非负数性质得，a2-b2=0, b2-c2=0, c2-d2=0,d

10、2-a2= 0，ab - cd =0，ad - be = 0 .所以a = b = c = d .所以四边形abcd是菱形 . 16?解：；四边形abcd是平行四边形，ac =6, bd = 4 .oa =oc =3, ob =0d =2 . 又 ad 二 13 . .ad-oa2 od2. aod =90 , 即：ac 丄 bd .yabcd是菱形 . 11 / 1117?解：四边形cdef是菱形 . 理由如下：de 丄ab, ch 丄ab,de / ch .即：de / cf .又；bd是角平分线，de =dc ,且bde 二bdc. de / ch, bde cfd. ? cdf - d

11、fc. cd =cf. cf = de. . 四边形cdef是平行四边形，又因dc二de . 四边形cdef是菱形 . 18. 提示：只需证四边形eacd为平行四边形，只需证明ae / cd，过b作bm / ae 经证bm / cd 即可.19. v ef 垂直平分ad ,二ae 二de , af 二df ,v ad 平分bac , ? aed afd ,二ae 二af ,二ae 二de = af 二df , 故四边形aedf是菱形.1 1 20. ( 1)可证oa ac , ob bd ,二oa =ob .2 2 v af垂直平分ob ,二oa二ab =ob，故 aob为等边三角形 .( 2

12、) 在等边 aob 中，af 丄ob , 二? oae 二bae = 30 ,可证明fca =/dac , fca =/eao ,二af =cf ,可证明四边形afch是平行四边形，而af =cf，故四边形afch是菱形 . 21. ( 1 )丁在矩形abcd 中，ab / cd , 二.e = . f , . ebo 二.fdo，又bo =0d，? boe dof .( 2) 当ef与ac垂直时，四边形aecf为菱形. 证明：? boe dof，二eo 二fo . 12 / 11又ao =oc，二四边形aecf为平行四边形 . 又ef丄ac，二四边形aecf为菱形. 22. 证明：设an与m

13、e交于点o，因为ad是 rta abc斜边bc上的高，所以.abd =/cad .又be，an分别平分 .abd和.cad，所以.ean abe .所以在 rta abe中，.aob =90， ame是等腰三角形，an平分me，又因为/ abo 二nbo，ob =ob，所以 rta aob如rt nob，ao =on，即me垂直平分an，四边形amne是 菱形. 23. 证明四边形mqnp是菱形即可 . 24. 连结ac，bd，； ade与厶bce都是正三角形， .ae = de，c be，aed =/bec =60，aec = 60 dec 二.deb 证厶aec 如 deb 1 (sas) . ac = db，又p，q，m，n 分别为各边中点，得pq 二mn ac，1 qm 二pn bd . pq =qm =mn =np.四边形pqmn 为菱形 .2 25. 设mn与bd交于o，易证mb二md，再证 dom如 bon，从而bn =dm，又由bn / dm，可证得四边形bndm 为菱形 . 26. 易证ae =fe，而且ad / ef，aeg = age ? ag = ea = ef 又ag / ef aefg 为菱形