浅谈中学数学教学中的以退求进解题策略

1、浅谈中学数学教学中的“以退求进”解题策略湖南省常德市澧县教师进修学校（415500） 樊希玉 美国著名数学家哈尔莫斯说：“数学真正的组成部分应该是问题和解，解题才是数学的心脏”。在中学数学教学中，有许多数学问题直接求解举步艰难，但若退一步思考，却给思维留下广阔的前进空间，常常会出现灵感，立即找到解题的通道。这种“以退求进”的思考方法，既是一种重要的解题技巧，也是一种重要的解题策略。下面结合自己的教学，举例说明几种常用的“以退求进”解题策略。一、“退抽象为具体”之策略 抽象既是数学的一大特点，又是具体的一面镜子，愈抽象的空间形式，推理过程与数量关系愈有可能应用到更为广泛

2、的领域中去。“退抽象为具体”的解题策略能使问题中的各个概念以及概念之间的相互关系具体明确，有利于把一般原理、一般规律应用到问题中去，尽可能对于抽象的式用具体的形表示，或对于抽象的形用具体的式表示，以用于揭示问题的本质。例1、已知集合A和集合B各含有12个元素，AB含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）CAB，且C中含有3个元素； （2）CA解题分析：此题比较抽象，不易理解，若能设计出一个具体模型（使问题的实质不变）来表示原题，则可以把比较抽象的问题具体化，这样能够降低问题的难度，找到问题的解法。解法：对于此题可构建以下模型：某班数学兴趣小组（集合A）和物理兴趣小组（集合B

3、）各有成员12人，其中有4人同时参加了两个兴趣小组（AB），现要从这些人中选出3人（集合C）组成代表队参加年级竞赛，要求代表队至少有一名数学兴趣小组成员，问一共可组成多少个这样的代表队？这个模型与原题是实质相同的一个问题，解法为我们所熟悉。由题意可知两个小组成员共计20人，其中只参加物理兴趣小组的成员8人，所以符合题意的选法有N=1084（种）。故原题满足两个条件的集合C共有1084个。二、“退整体为局部”之策略整体反映问题的结构特征，局部则显示问题更多的细节。许多数学问题，如果从整体去思考颇为费解，但若从局部着手，常常能找到问题的解决途径。例2、 证明：n(n+1)(2n+1)必为6的倍数（

4、n为整数）。解题分析：此题n(n+1)(2n+1)是整体，一时难以看出它能否被6整除。但我们可以把它分解为两个局部n(n+1)(n+2)与（n-1）n(n+1)，这样问题就简单多了。解法：因为算式n(n+1)(n+2)是三个连续整数之积，必为6的倍数。而算式（n-1）n(n+1)，当n=1时得数为0；n1时也是三个连续整数之积，显然它们都是6的倍数。所以前者与后者之和必然是6的倍数，即n(n+1)(2n+1)= n(n+1)(n+2) +(n-1)n(n+1)必然能被6整除。三、“退一般为特殊”之策略 事物的共性总是寓于个性之中，对于某些复杂的数学问题，若作正面推理，往往难于奏效，但若考察其中

5、的“特殊情况”（包括特殊数、特殊点、特殊位置、特殊图形等）则可轻易得解，具有“四两拨千斤”之效。这种解题策略尤其在解答选择题时特别凑效。1、退为特殊数例3 、若 则的值为（ ）A. -1 B. 1 C. 0 D. 2解题分析：考察因为条件为恒等式，将退为特殊数，即分别令=1和-1，代入等式得： ， 易得答案为（A）.2、退为特殊点例4 、直线1与2关于直线y=x对称，若直线1的方程为y=ax+b(a,b0)，则直线2的方程是（ ） A、 B、 C、 D、 解题分析：在直线1上取特殊点A（0，b），它关于直线y=x对称点为（b，0)，因为点坐标满足方程，所以应选（D）。3、退为特殊位置例5、 直

6、线过抛物线的焦点，并且与x轴垂直，若被抛物线截得的线段长为4，则a= 。解题分析：此题由抛物线向左平移一个单位即得，又抛物线向左、右（或上、下）移动均不改变过焦点且垂直于对称轴的弦长，故可将问题中的抛物线退为特殊位置（标准位置），即方程为进行求解，不会改变a的值，当时，得：a=4。4、 退为特殊图形例6、台体的上、下底面面积分别为16和64，则它的中截面分成的上、下两个台体的体积之比V上：V下的值为（ ）A、 B、 C、 D、解题分析：将此台体特殊化为正四棱台，由上、下底面边长分别为4和8，中截面边长为6. 则由台体的体积公式得 所以应选（C）.四、“退复杂为简单”策略复杂的问题往往是由简单的

7、问题迭加而成的，在解题过程中，如果能将复杂的问题转换为若干个简单的问题，或考察一个相似的简单问题，或把较复杂的形式转化为较简单的形式，这样可以收到化难为易的效果。例7、设x、y、z为三个互不相等的非零实数，且。求证：。解题分析：这道题所给的条件看上去确实不算少，但如果将其看作方程组去解答，只会越解越复杂。其实注意到题中关于x、y、z具有轮换对称性的特点，不妨先“退”下来，考虑较简单的二元问题：设x、y为互不相等的非零实数，且，求证：，由于简化后的命题与原命题结构一致，因此可类拟的去证原命题。解法：由已知条件得由（1）×（2）×（3）得 综上所述，在解答数学问题的过程中，恰当地运用“以退求进”的解题策略，可以达到简化解题的目的。在数学教学中，