浙江师范大学《微分几何》全套模拟卷分解

1、浙江师范大学微分几何考试模拟卷（A卷）说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理判断题（正确打乜错误打X）（每小题 2 2 分，共 1010 分）1、 等距变换一定是保角变换（）2、 空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. .（）3、 二阶微分方程 A（u,v）du2 2B（u,v）dudv B（u,v）dv2=0 总表示曲面上两族 曲线.（）4、 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线- 定是最短的（）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是F = 0，这里F是第一基本量（）.1.X2.V3.X4.X5.V、填空题（每小题 3 3 分，共 1515 分）1.半径为R的圆的曲率为_.2.曲面的

2、坐标曲线网正交的充要条件是 _,3.坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是 _.4.在脐点处曲面的第一，第二类基本量满足 _5.使法曲率达到最大值和最小值的方向是 _ 向.1.丄2.F=03.F =M =0R4.EL_ F-MG百，5、主方向计算题(第 1 1 小题各 1818 分，第 2 2、3 3、4 4 小题各 1010 分，共 4848 分)1.已知空间正则参数曲线 r(t)二cos3t,sin2t,cos2t(1) 求基本向量:,.(2) 求r(t)的曲率和挠率(0 : t：).解：r,= -3sintcos2t,3sin2tcost,-2sin 2tr=3cos 6 s2it n t

3、o s ,t6 s2rlh co s33 s int, 4 co s 2 r,- 2 1 sit n c(l-s 63tsin ,%cos2t21s in cto s ,8s in2 r=5 s i n c d s2r,r =sin 2 cds ,22r*r,=si n224昭cots-f si5552、求抛物面 z 二 a(x y )在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判断原 点是否为脐点.解：令 r(x,y) =x, y,a(x2y2)，则 二1,0,2ax， ry=0,1,2ayE=1, = 0,G= 1. EG - F2=1n =0,0,1L =2 a, M = 0 , N = 2

4、a由于F = M =0，所以坐标曲线是曲率线，主曲率为 k2a,k2a, 高斯曲率为K =4a2，平均曲率为2a.3、设一个曲面的第一基本形式为ds2= du2(u2a2)dv2,求它上面两条曲线u v = 0,u -v = 0的交角.解：有题意可知 E =1,F =0,G =u2 a2两曲线u v = 0,u -v =0的交点为(0,0)，故由du : dv = 1:1,、u:、v = 1:1得4.确定螺旋面r=、ucosv,usinv,cvf上的曲率线。解 对于正螺面r = ucosv,usinv,cvf，所以，曲率k和挠率.为 k 二325 s in tcost42 5 s it n c

5、t o ssi rba =-5 s i In-ssto bd ccd s , 3tsi n , 4aXY-p-e-esss bct,Co s , 0cos：二-1 a二arccos-1a21 a2E =1,F =0,G =u2c2,-c u2c2所求曲率线为In u +c +v = G，In u + Ju2+c2-v = c2。1.证明挠曲线（.=0 的曲线）的主法线曲面是不可展曲面.证：主法线曲面方程为Q（s,v） =r（s） v （s），是直纹面又因为（厂，：，：J=（,:，-k二川用）二-有已知.-0，所以（，）=0,有定义知此直纹面是不可展曲面。2、证明如果一条曲线的所有法平面包含常向

6、量e，那么这曲线是直线或平面曲线.证：设所给的常向量为 e=0，则 J _ e。所以 Fje=0,两边对 S 求微商得“e=0，若k = 0，则曲线是直线。若=2=0，则号-e，于是亠ije =1-k，亠圧=0, -k_e膽=0，由于：活=o，所以有.世=0。L =0,M,N = 0.曲率线的方程为化简得积分得dv2dudvdu2u2c2-0 ,2 2 2 2-du u c dv =0，ln u + Ju2+c2五、 证明题（每小题各 9 9 分，共 2727 分）i.I.I由可知，从而 V 0，所以.=0，即曲线为平面直线3、设在两条曲线、丨的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线

7、平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。证 设曲线r:r=r（s）与丨：r = r （s）点 s 与s一一对应，且对应点的切线平行，则（s）=二.（s）,两端对 s 求微商得:_-ds, 即卩k:（s）二k：（s）审，（这里dsdsk= 0,若 k=p |=0,则一：无定义），所以 1 /，即主法线平行，那么两曲线的 副法线也平行。浙江师范大学微分几何考试模拟卷（B卷）说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理判断题（正确打乜错误打X）（每小题 2 2 分，共 1010 分）1、 保角变换一定是等距变换()2、 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯-一确定 （)3、 坐标曲

8、线网是正交网的充要条件是F=0，这里F是第一基本量（)4、咼斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.()5、测地曲率是内蕴量()1.2.，3V4.5.二、填空题（每空 3 3 分共 3030 分）j兀dT1、已知 r =cos3x,sin3x,cos2x，0 x，贝二 ，_ ，2二 _ ，二-_2、 已知曲面r二ucosv,usinv,6v，u 0，0二v，则它的第一基本形式2为_ ，第二基本形式为_ ，高斯曲率K二_，平均曲率H=卫_，点1处沿方向du:dv = 2的法曲率，点0处的两个主曲率分别为壘 .1- 1 一-3cos x,3sin x, -4sin x,cos x,04cos x, -4s

9、in x, -355 du2(u236)dv2dudvJu2+36三、计算题(每小题 1212 分共 3636 分)1、求曲面 z=x3-y3的渐近曲线.解设 r 二u,v,-v3则r=1,0,3， 2 二0,1,-看， n =即卡414-3,3/,1|rurv|.9u49v41rUu=0,0,6u，rUv=o，I*,。,-6v6u6vL二n % - 44，M. =0，N二n 544V9u +9v +1V9u +9v +1因渐近曲线的微分方程为2 2Ldu 2Mdu dv Ndv = 0即udu2二vdv2或、,udu 二、.vdv 二 03333二 渐近曲线为 u2=v2+G 或(-u)2=

10、v2+C22、已知曲面的第一基本形式为 I =v(du2dv2)，v 0，求坐标曲线的测地曲率解E = G = v,F =0，Gu=0，Ev=1u-线的测地曲率巳一1gu2E G2v . vv-线的测地曲率-GU_ 03、求曲线r3 t-3t , 3 dh, a3 t的曲率和挠率:解：因为，二冷3t -t3,3at2,a 3t t3，625sin 2x24、3715176 637，37-36(u236)2化3a 1 -t2,6at,3a 1 t2/ ,；-:-6at,6a,6at?,尸L18a2t2-1 , -36a2t,18a2t21 ?,E =3、2a 1 t2,尸尸=18、2a21 t2

11、,r 6a,0,6a1,IId 3r,r ,r 216a3,1所以k二-12，23a 1 t四、证明题(每小题 1212 分，共 2424 分)1.设空间两条曲线-和C的曲率处处不为零，若曲线-和C可以建立一- 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线-和C在对应点的切线夹固定角证设-:r =r(s)，i:r“ =r”(s)，则由 b知 ” =二卩从而，=0，齐弓=0,d()匹？.九=0dsds-constant，即cosf、；-,?：=C这表明曲线-和C在对应点的切线夹固定角.2.给出曲面上一条曲率线丨，设丨上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角.求证-是一条平面曲线.证 设Z:

12、r r(u,v)，丨：u =u(s),v =v(s)，其中 s 是丨的自然参数，记v -，则=cosr，两边求导，得-役n r = 0，d s由】为曲率线知dn/d r，即虫空=7 7，因此.1rd-nrd0d s d sd sd s若 0 0，贝厂为平面曲线；若 n 矣-0，则因-为曲面匕上的一条曲率线，故 dnd .而=n = n - =0，所以 d0，即n为常向量.于是】为平面曲线.13a 1 t2 2浙江师范大学微分几何考试模拟卷（C卷）说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理、判断题（正确的在题后括号内打“”错的打“X。每小题 2 2 分，共 1010 分）1. 曲面上的

13、曲纹坐标网为共轭网的充要条件为 L=N=O.（）2. 曲面上曲率线网一定存在.（）3. 存在第一类基本量 E=1, F=-3, G=3 的曲面（）4. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量。（）5曲面上的直线一定是测地线。（）1、X,2 2*3 3X4 4X5V二、填空题（每小题 3 3 分，共 1515 分）1向量函数 r=r（t）具有固定长的充要条件是 _ 。2._ 曲线 r=r（t）的挠率是。3._ 曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件 _ 。4._ 直纹曲面的高斯曲率值满足。5._ 球面上的测地线是。-I-I 4 4（: :1、rrO,2、亠工亠工）,3、L=N=O ,4、KM ,5、

14、大圆。（r，J2三、计算题（每小题 1010 分共 5050 分）1、 求曲线r= tsint, t cost, tet在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。解 原点对应 t=0 ,r（0）=sin t+t cost, cost-tsi nt,et+tet=0,1,1,-*ttr（0）=2 cost + t cost, cost -tsint, 2e+tetz0= 2,0,2,所以切线方程是 J，法面方程是 y + z = 0;0 1 1xyz密切平面方程是011=0,即卩 x+y-z=0 ,20 2主法线的方程是严+ 丫-0 即x=JL=z；、y +z=02-11从切面方程

15、是 2x-y+z=0 ,副法线方程式-11 -12、 求曲面 z = axy 上坐标曲线 x = x0,y = y0的交角.解 曲面的向量表示为r=x,y,axy, 坐标曲线 x = x的向量表示为444b2v,Fb2uv,Ga2b丄=0,r=x,y,ax y ，其切向量=0,1,ax。;坐标曲线 y = y的向量表示为?=x ,yo,ax yo，其切向量 j=1 , 0, ay。，设两曲线 x = x0与 y = y的夹角为,2rxrya xoYo1 rx11 ry11 a2x(21 a2y，23、求曲面 z =xy2的渐近线.解：曲面的向量表示为 r=x, y,xy2.rx1,0, y ,

16、 ry=0,1,2xy, q =0,0,0,2dI2-* 22 2rxy二0,0,2y, q 二0,0,2x, E = . T 4y , F 二 ry= 2xy ,G 二 口 = 1 4x y渐近线的微分方程为 Ldx22Mdxdy Ndy2,即 4ydxdy 2xdy2= 0, 族为 dy=0,即 yy,为常数.另一族为 2ydx=-xdy,即 In x2y = c2,或 x2y = c,c 为常数.4、确定抛物面 z=a( x2y2)在(0, 0)点的主曲率.解曲面方程即，r =x, y,a(x2y2),rx-1,0,2 ax ry-0,1 ,2ay,rxx=0,0,2 a,rxy=0,0

17、,0,Fyy=0,0,2 a。在(0, 0)点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以 N-4a N+4a2=0，两主曲率分别为-1= 2 a ,-2= 2 a .5、求曲面r =a(uv),b(u v),巴上的曲率线的方程22 2则有cosL =0,M2y1 4x2y2y42x1 4x2y2y4abM= _2,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是：EG一F2(a2b2u2)dv2=(a2b2v2)du2,积分得:In(u .a2b2u2) - -1n(va2b2v2) c.四、证明题( (第 1 1 小题 5 5 分，2 2、3 3 小题各 1010

18、分，共 2525 分) )1、 证明极小曲面上的点都是双曲点或平点证： 由 H=2=0 有 = 2=0 或1=八2=0 .2若 1 =2=0,则沿任意方向二,- n(：)二 rCOS2!W2sin2：=0 ,22IILdu2Mdudv Ndv即对于任意的 du:dv , kn27=0 ,所以有IEdu +2Fdudv+GdvL=M=N=0 对应的点为平点.若-1=-0,则 K= 20 ,即 LN-M2 a 0 , b+acos 0,所以 LN -M2的 符号与 cos的符号一致,当 owV 二2和 壬0 ,曲面上的 点为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-二 2+，曲面上的点为双曲 点，即圆

19、环面内侧的点为双曲点；当=二2或 牛时，LN -M2=0,为抛物点， 即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。四、证明题( (每小题 9 9 分，共 2727 分) )1、如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。证：设一曲线为r:r=r(s),则另一曲线 L 的表达式为： =r(s) (s)(s),(s)为曲线r在点 s 的主法向量，也应为 厂在对应点的副法线的方向向量。：=、；+ 工F - 1：与 正交，即 =0，于是=0，为常数。;?=、扎飞P，內=kB 九已0( +T厂)也与丁正交，即了 = - k 12=0,而 =0,所以有.=0，曲线r为平面曲线。同理曲线为平面曲线。2、证明

20、曲线r=r(s)为一般螺线的充要条件为(r,r,r)=O证 :r =匹 P ，r= 一瓷2G+邳+r =一3瓷此a +(瓷 +瓷_K?t2)B +(2代已+航)亍 . , ,-I-3335一5（r ,r ,r）二（2k_戈）3 = 0 = -2=（一），其中k=0.K2瓷曲线r=r(s)为一般螺线的充要条件为一为常数,即(一)=0,也就是(r ,r ,r) =0。3、若曲线丨的主法线是曲线的副法线，丨的曲率、挠率分别为k、.，求证2 2 -0k.，其中是常数。证明：设曲线丨：r二r s,曲线:r”二r”s”。】在r s的主法线与:在s的副法 线重合，则f s二Fs亠SiS。t d s:L于是有

21、rdsa - = ot+ 扎ds上式两边点乘，可得k 1 -，ok -，0.2=0，浙江师范大学微分几何考试模拟卷（F卷）说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理、判断题（正确的在题后括号内打“V,错的打“X。每小题 2 分，共 10 分）1椭圆的曲率和挠率特征为 k=1,T=0。（）2. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线.（）3. 球面曲线的主法线必过球心（）4曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=O.（）5.曲面上的渐进网一定存在.（）因为于是一：几_，上式两边点乘L，可得，=0，从而是常数。设，-0，dss求微商，可得 釘Aidsk k疗 一上式两边对2

22、 -.23,X，=1,t ,t2/，X0,1,2t - X =b,0,2 /。又若曲_ |X，X | k二1(t44t21)2|X， (t4t21)3(X,X,X,)2- - -二-=-(X，X”)2t4t212、求曲线Y二丫(S)的切线曲面的主曲率，平均曲率，曲率线方程。解：设曲线丫二丫(s)( s 为弧长参数)的切线曲面为X二丫(S) v(S)，则有 Xs7 vi，Xv-Xss=vk2：(k vk.)：vk，Xst=k：，Xw=02 2E=1+v k，F=1，G=1四、证明题( (第 1 1 小题 6 6 分,2,2，3 3, 4 4 小题各 7 7 分，共 2727 分) )1、是否存在曲面使得 E=1，F=0，G=1，L=-1，M=0，N=0 ?为什么?解：存在，因为E=1， F=0， G=1， L=-1 ， M=0， N=0 满足咼斯-柯达齐方程2、设非直线曲线；和另一条曲线-之间建立的一一对应，使得在对应点，曲线 线是-*的主法线，证明；是平面曲线。解：设曲线】：X =X(s) (s 为弧长参数)则丨*为