第二章 球面和球面系统0

1、第二章第二章 共轴球面系统的共轴球面系统的物像关系物像关系 透镜是构成光学系统最基本的透镜是构成光学系统最基本的成像元件，它由两个球面或一个球成像元件，它由两个球面或一个球面和一个平面所构成。光线在通过面和一个平面所构成。光线在通过透镜时会在这些面上发生折射。因透镜时会在这些面上发生折射。因此要研究透镜成像规律必须先了解此要研究透镜成像规律必须先了解单个球面的成像规律单个球面的成像规律。 U：物方孔径角：物方孔径角 ：像方孔径角：像方孔径角 L ：物方截距：物方截距 ：像方截距：像方截距 U L 2.1 光线经单个折射球面的折射光线经单个折射球面的折射一一.符号规则符号规则 1、沿轴线段：沿轴

2、线段：L、 、r以折射球面（或反射面）顶以折射球面（或反射面）顶点点O为原点，到光线与光轴交点或球心的方向与光为原点，到光线与光轴交点或球心的方向与光线的传播方向相同，其值为正，反之为负；线的传播方向相同，其值为正，反之为负； L2.1 光线经单个折射球面的折射光线经单个折射球面的折射2、垂轴线段：以光轴为基准，在光轴上为正，反之为、垂轴线段：以光轴为基准，在光轴上为正，反之为负；负；3、孔径角、孔径角U和和U ：光轴以锐角方向转到光线，顺时针：光轴以锐角方向转到光线，顺时针为正，逆时针为负；为正，逆时针为负；4、光线与法线的夹角：、光线与法线的夹角：I 和和I ，光线以锐角方向转到法，光线以

3、锐角方向转到法线，顺时针为正，逆时针为负；线，顺时针为正，逆时针为负；5、光轴与法线的夹角、光轴与法线的夹角 ：光轴以锐角方向转向法线，：光轴以锐角方向转向法线，顺时针为正，逆时针为负；顺时针为正，逆时针为负；6、折射面之间的间隔：在折射系统中，、折射面之间的间隔：在折射系统中，d恒为正。恒为正。2.1 光线经单个折射球面的折光线经单个折射球面的折射射试用符号规则标出下列光组及光线的位置（1）r = -30mm, L = -100mm, U = -10（2）r = 30mm, L = -100mm, U = -10（3）r1 = 100mm, r2 = -200mm , d = 5mm, L

4、= -200mm, U = -10（4）r = -40mm, L = 200mm, U = -10（5）r = -40mm, L = -100mm, U = -10, L= -200mm2.1 光线经单个折射球面的折光线经单个折射球面的折射射符号规则是人为规定的，符号规则是人为规定的，一经定下，就要严格遵一经定下，就要严格遵守，只有这样才能导出守，只有这样才能导出正确结果正确结果！2.1 光线经单个折射球面的折光线经单个折射球面的折射射二二.光线经折射球面的光路计算公式光线经折射球面的光路计算公式 使用上述公式为子午面内实际光线的光路计算公式，使用上述公式为子午面内实际光线的光路计算公式，用上

5、式可由用上式可由L 和和 U求得求得L和和 U 。sinsinLrIUrUUIIsin sinILrrUsin sinnIIn2.1 光线经单个折射球面的折光线经单个折射球面的折射射 光线很靠近光轴，称之为光线很靠近光轴，称之为“近轴光线近轴光线”；光轴；光轴附近的这个区域称为附近的这个区域称为“近轴区近轴区”。 uirrliuiuinniurrli近近轴轴光光路路计计算算公公式式2.2 近轴光线光路的计算近轴光线光路的计算 对于近轴光线，对于近轴光线， 一定时，不论一定时，不论u为何值，为何值， l为定值，这表明由轴上点以细光束成为定值，这表明由轴上点以细光束成像时，其像是像时，其像是完善的

6、完善的，常称为，常称为高斯像高斯像。高斯像的位置由高斯像的位置由l决定。决定。 通过高斯像点而垂直于光轴的像面称通过高斯像点而垂直于光轴的像面称为为高斯像面高斯像面。构成物像关系的一对点。构成物像关系的一对点称为共轭点。称为共轭点。l2.2 近轴光线光路的计算近轴光线光路的计算在近轴区，我们用弧度代替了正弦，实际上，把正在近轴区，我们用弧度代替了正弦，实际上，把正弦展开成级数，可得：弦展开成级数，可得：357111357sin.!用用代替了代替了sin，误差是后面各项的和。，误差是后面各项的和。 愈大，误差愈大，误差愈大，愈大，很小时才有足够的精度。很小时才有足够的精度。误差所允许的范围就是近

7、轴区的范围，它由相对误差误差所允许的范围就是近轴区的范围，它由相对误差的大小来确定的大小来确定。sinsin2.2 近轴光线光路的计算近轴光线光路的计算重要公式！重要公式！ 式中式中Q 称为阿贝不变量，对于一个折射面，物空间称为阿贝不变量，对于一个折射面，物空间和像空间的和像空间的Q值相等，其数值随共轭点的位置而异。值相等，其数值随共轭点的位置而异。1111nnQrlrlnnn unuhrhullurnnlnln2.2 近轴光线光路的计算近轴光线光路的计算一一.垂轴平面物体以细光束经折射球面所成的像垂轴平面物体以细光束经折射球面所成的像 2.3单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量单个折射球面的

8、成像放大率及拉赫不变量 垂轴平面经单个折射球面以细光束成的像垂轴平面经单个折射球面以细光束成的像为一曲面。即物体以细光束经球面成像，也得为一曲面。即物体以细光束经球面成像，也得不到完善像。不到完善像。 结论：当物体通过折射球面成像时，只有结论：当物体通过折射球面成像时，只有位于近轴区内的物体位于近轴区内的物体才能成完善像。才能成完善像。2.3单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量二二.单个折射球面成像的放大率和拉赫不变量单个折射球面成像的放大率和拉赫不变量2.3单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量（一）垂轴放大率：（一）垂轴

9、放大率： 像高与物高之比为垂轴放大率，用像高与物高之比为垂轴放大率，用表示。表示。yy ynlnuyn ln u2.3单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量J 称为称为或或，可以利用，可以利用这一性质，在物方参数固定后，通过改变这一性质，在物方参数固定后，通过改变u 来控制来控制y 的大小，也就是可以通过控制像方的大小，也就是可以通过控制像方孔径角来控制横向放大率。孔径角来控制横向放大率。即即拉格朗日赫姆霍兹公式拉格朗日赫姆霍兹公式，它表明实际光学，它表明实际光学系统在近轴区域成像时，在一对共轭面内，其系统在近轴区域成像时，在一对共轭面内，其n，u，y或或n，

10、u，y 的乘积为一常数的乘积为一常数 J。y n uy n uJ 2.3单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量根据根据的定义和公式，可以确定物体的成像特性：的定义和公式，可以确定物体的成像特性：（1）若）若0, 即即 y 与与 y 同号，表示成同号，表示成。反之成反之成。对横向放大率的讨论：对横向放大率的讨论：2.3单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量（2）若）若0, 即即 l 与与 l 同号，表示物象在折射球同号，表示物象在折射球面面同侧同侧，。反之。反之l 与与 l 异号，物像异号，物像。 0, 成正立像且物像虚实相反。

11、成正立像且物像虚实相反。 1, 则则| y | | y |，成，成像，像， 反之反之 |y | | y |，成，成像像 ynlyn l还可发现，当物体由远而近时，即还可发现，当物体由远而近时，即 l 变小，变小，则则增大增大！成像的位置、大小、虚实、倒正极为成像的位置、大小、虚实、倒正极为重要！重要！2.3单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量 若若，成倒像，成倒像 ，l 和和 l 异号。对实物成实像，对虚异号。对实物成实像，对虚物成虚像。物成虚像。 若若 ，成正像，成正像， l 和和 l 同号对实物成实像，对虚物同号对实物成实像，对虚物成虚像。成虚像。（二）

12、（二） 沿轴放大率沿轴放大率 2.3单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量衡量光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的关系。衡量光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的关系。dldl222dlnlndln ln由上式知由上式知 ， 恒大于零，这表示物点沿轴移恒大于零，这表示物点沿轴移动，其像以同样方向沿轴移动。动，其像以同样方向沿轴移动。如果物点沿轴移动一个微小距离如果物点沿轴移动一个微小距离dl，相应地像，相应地像移动移动dl，轴向放大率用，轴向放大率用 表示。表示。2.3单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量（三）角放大率（三）角放大率

13、定义：一对共轭光线与光轴的夹角定义：一对共轭光线与光轴的夹角u和和u的比值，的比值，用用 表示。表示。 三个放大率之间的关系：三个放大率之间的关系：1ulnuln uu 2.3单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量n 一个共轴球面系统的结构参数由下列数值确定（如一个共轴球面系统的结构参数由下列数值确定（如有有 k 个折射面）：各个折射面的曲率半个折射面）：各个折射面的曲率半径径 ；各个折射球面的顶点之间的间；各个折射球面的顶点之间的间隔隔 。各球面间的介质折射。各球面间的介质折射率率 ，其中，其中123k, ,r r rr123,d d ddk-1123,n

14、n nnk+1knnk+1光学系统一般是轴对称的，有一条公共轴线，光学系统一般是轴对称的，有一条公共轴线，称为称为。这种系统被称为。这种系统被称为光轴光轴2.4共轴球面系统共轴球面系统过渡公式过渡公式( 转面公式转面公式)共轴系统成像计算共轴系统成像计算2132k2132k2132k211322k,yyyyyyuuuuuunnnnnnlld lldlldk-1k-1k-1k-1k-1近轴光线在折射面投影高度近轴光线在折射面投影高度 h 的过渡公式的过渡公式 :22111 13322kk11111 122222kkkkk211 13222k,kl ul ud ul ul ul uludul uh

15、l u l uhl ul uhl uhhd uhhd uhhduk-1k-1k-1k-1k-1k-1 垂轴放大率垂轴放大率 沿轴放大率沿轴放大率a 角放大率角放大率 与单个折射球面一样有如下关系：与单个折射球面一样有如下关系： 对于拉赫不变量：对于拉赫不变量：k12k123112k12k1122kkk12k1k11111kuuuuuuuunnnnnnnnnn 1 1 12 22kkkkkkJnu yn u yn u yn uy成像计算中有两种方法：成像计算中有两种方法：方法方法1 1： 对每一面用追迹公式对每一面用追迹公式urrlini in u uii 1i l r ()u 及转面公式及转面

16、公式2132121132211kkkkkuu ,uu ,.uulld ,lld .lld方法方法2 2： 对每一面应用物像位置公式对每一面应用物像位置公式nnnnllr21132211kkklld ,lld .lld及转面公式及转面公式第五节第五节 球面反射镜球面反射镜一一.球面反射镜的物像位置球面反射镜的物像位置 实物成实像实物成实像 实物成虚像实物成虚像00112 llr 二二.球面反射镜的成像放大率：球面反射镜的成像放大率： 球面反射镜的拉赫不变量：球面反射镜的拉赫不变量：2221yluyludlldlluu Juyu y n作业 ：n1、一个玻璃球直径为、一个玻璃球直径为400mm,玻

17、璃折射率玻璃折射率n=1.5，球，球中有两个小气泡，一个正在球心，另一个在二分之一中有两个小气泡，一个正在球心，另一个在二分之一半径处，沿两气泡连线方向在球的两边观察两个气泡，半径处，沿两气泡连线方向在球的两边观察两个气泡，它们应在什么位置？它们应在什么位置？ 如在水中（如在水中（n=1.33）观察时，）观察时，它们应在什么位置？它们应在什么位置？n2、一个玻璃球直径为、一个玻璃球直径为60mm，玻璃折射率，玻璃折射率n=1.5，一，一束平行光射在玻璃球上，其会聚点应在什么位置？束平行光射在玻璃球上，其会聚点应在什么位置？n3、一折射面曲率半径、一折射面曲率半径r=150mm，n=1,n=1.5，当物，当物距距l=，-1000mm，-100mm，0，100mm，150mm和和1000mm时，垂轴倍率时，垂轴倍率应为多少？应为多少？1、已知一折射球面其、已知一折射球面其r =36.48mm，n =1， n =1.5163。轴上点。轴上点A的的截距截距 L=-240mm，由它发出一同心光束，今取，由它发出一同心光束，今取U为为-1、-2 、 -3 的三条光线，分别求它们经折