高二数学学案(选修2-3)第三章

1、高二数学学案（选修2-3） 第三章 审稿人：高二数学组 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用学习目标：1. 能知道用回归分析处理两个变量之间的不确定关系的统计方法2. 会利用散点图分析两个变量是否存在相关关系.会利用残差及来刻画线性回归模型的拟合效果3. 能记住建立回归模型的方法和步骤；能知道如何利用线性回归模型求非线性回归模型学习重点：建立变量之间的线性回归方程，能根据散点图初步判断两个变量之间是否具有线性关系学习难点：1.会求线性回归方程 2.掌握建立回归模型的步骤，会选择回归模型，特别是非线性回归模型学习过程：一、知识探究1.回归分析（1）函数关系是一种 关系，而相关关系是一种 关系（

2、2）回归分析是对具有 关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法（3）对于一组具有线性相关关系的数据，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = ， 其中 ， 称为样本点的中心（4）相关系数：衡量两个变量之间线性关系的强弱计算公式： = 注：时，表明两个变量 相关；时，表明两个变量 相关越接近于 ，表明两个变量线性相关性越强越接近于 ，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系2.线性回归模型在线性回归模型（其中为模型的未知参数）中，称为 ，自变量称为 ，因变量称为 探究： 产生随机误差的原因 线性回归模型与一次函数的不同3.残差(1)定义:在回归分析中，对应于样本点的随机误差的估计值 称为

3、相应于点的 (2)残差图：以 为横坐标， 为纵坐标作出的图形称为残差图.注：残差图是用来刻画回归效果的，判断依据是残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高(3)残差分析：在研究两个变量间的关系时，首先要根据 来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据.然后，通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在 ，这方面的分析工作称为残差分析4.相关指数相关指数可以用来刻画回归的效果，其计算公式是= 在线性回归模型中，越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果 ，越小，意味着残差平方和越大，即模型

4、的拟合效果 注：在含有一个解释变量的线性回归模型中，恰好等于相关系数的平方5.非线性回归方程当回归方程不是形如时，称之为 ，非线性回归方程也可以 （1）将幂函数型函数（为常数，均取正值）化为线性函数： 将两边取常用对数，则有 ，令代入上式得 （其中是常数），其图象是一条直线（2）将指数型函数（为常数，且）化为线性函数： 将两边取常用对数，则有 ，令代入上式得 （其中是常数），其图象是一条直线6.建立回归模型的基本步骤：（1）确立研究对象，明确哪个变量是 ，那个变量是 （2）画好确定好的解释变量和预报变量的 ，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）（3）由经验确定回归方程的类型（4）按一定规

5、则（如最小二乘法）估计回归方程中的参数（5）得出结果后分析残差图是否有异常（如个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），若存在差异，则检验数据是否有误，或模型是否合适等注：有关回归方程需要注意下列问题 回归方程只适用于我们所研究的样本的总体 我们所建立的回归方程一般都有时间性 样本取值的范围会影响回归方程的适用范围 不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值二、理论迁移 例1：（1）如果记录了的几组数据分别为则关于的线性回归直线必过点（ ）A. B. C. D. （2）下列四个命题中正确是（ ） 在线性回归模型中，预报真实值的随机误差，它是一个观测的量； 残差平方和越小的模型

6、，拟合的效果越好； 用来刻画回归方程，越小，拟合的效果越好； 在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，若带状区域宽度越窄，说明拟合精度越高回归方程的预报精度越高.A B C D（3）在两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型.它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（ ） A模型1的相关指数为0.98B模型2的相关指数为0.80C模型3的相关指数为0.50D模型4的相关指数为0.25题型一 求线性回归方程例2：某班5名学生的数学和物理成绩如下表：ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图(2)求物理

7、成绩y对数学成绩x的回归直线方程(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩题型二 线性回归分析例3：为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散点图并求线性回归方程(2)求出R2(3)进行残差分析例4：已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：x1416182022y1210753求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏题型三 非线性回归分析例5：收集到的一组数据下表为：x21232527293235y7

8、11212466115325(1)作出与的散点图，并猜测与之间的关系(2)建立与的关系，预报回归模型并计算残差(3)利用所得模型，预报时的值三、课后小结1.求线性回归方程的步骤，了解线性回归模型与一次函数的不同2.初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏3.用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用学习目标：1.能用等高条形图反映两个分类变量之间是否有关系2.能够根据条件列出列联表并会由公式求3.能知道独立性检验的基本思想和方法学习重点：能够根据题目所给数据列出列联表及求学习难点：独立性检验的基本思想和方法学习过程：一、知识探究1.分类变量与列联表（1）

9、分类变量：变量的不同“值”表示 ，这样的变量称为 （2）列联表： 定义： ，称为列联表 2×2列联表一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为_和_,其样本频数列联表(称为2×2列联表)为:总计总计注：越小，说明 ；越大，说明 （3）等高条形图 等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否 ，常用等高条形图展示列联表数据的 观察等高条形图发现 和 相差很大，就判断两个分类变量之间有关系4.独立性检验（1）定义：利用随机变量来判断“ ”的方法，称为独立性检验（2）公式：= ，其中 为样本容量（3）独立性检验的基本思想 要判断“两个分类变量有关系”，首先

10、假设结论不成立，即： 成立.在该假设下构造的随机变量应该 .如果由观测数据计算得到的的观测值很大，则断言 ，即认为“两个分类变量有关系”；如果观测值 ，则说明在样本数据中没有发现足够证据拒绝注：反证法原理与独立性检验原理的比较:反证法原理 在假设下，如果推出一个_,证明了不成立.独立性检验原理在假设下,如果出现一个与相矛盾的 ,就推断不成立,且该推断犯错误的概率 .（4）独立性检验的一般步骤：第一步：根据样本数据制成2×2列联表第二步：根据公式计算观测值第三步：比较与临界值的大小关系作出统计推断（5）独立性检验临界值表P()0.500.400.250.150.100.050.0250

11、.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828例如：（1），则有 _ 的把握认为“与”有关系（2），则有 _ 的把握认为“与”有关系（3），则有 _ 的把握认为“与”有关系（4），则认为没有充分的证据显示“与”有关系，但也不能作出结论“成立”，即不能认为“与”没有关系探究:在运算时,在判断变量是否有关系时,若观测值,则和.哪种说法是正确的?三、理论迁移 例1：关于分类变量与的随机变量观测值，下列说法正确的是（ ）A的值越大，“与有关系”可信程度越小B的值越小，“与有关系”可信程度越小C的值越接近于0，“与无关”

12、程度越小D的值越大，“与无关”程度越大例2：为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男1310女720已知，根据表中数据，得到，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为 例3：某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表： 体育文娱总计男生212344女生62935总计275279试用你所学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？例4：为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查得到如下数据： 成绩优秀成绩较差总计兴趣浓厚的

13、643094 兴趣不浓厚的227395总计86103189判断学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？例5：为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？例6：某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表：甲厂分组29.86，29.90)29.90，29.94)29.94，29.9

14、8)29.98，30.02)30.02，30.06)30.06，30.10)30.10，30.14)频数12638618292614乙厂分组29.86，29.90)29.90，29.94)29.94，29.98)29.98，30.02)30.02，30.06)30.06，30.10)30.10，30.14)频数297185159766218(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异” 甲厂乙厂总计优质品   非优质品   总计   P(K2