材料力学第三章扭转

1、3-1 概概 述述 工程上有一些直杆，在外力作用下，其变形是横截面绕工程上有一些直杆，在外力作用下，其变形是横截面绕着杆轴线转动，这种变形称为着杆轴线转动，这种变形称为扭转扭转。以扭转为主要变形的杆。以扭转为主要变形的杆件称为件称为轴（轴（shaft）。外力特点：外力特点：外力是一平衡力偶系，作用在垂直于外力是一平衡力偶系，作用在垂直于杆轴线的平面内。杆轴线的平面内。变形特点：变形特点：所有横截面绕杆轴线作相对转动，任所有横截面绕杆轴线作相对转动，任意两横截面之间产生相对角位移，称为意两横截面之间产生相对角位移，称为扭转角扭转角，用用j j表示；纵向线也随之转过一角度表示；纵向线也随之转过一角

2、度g g。TT1 1. 扭矩用扭矩用Mx表示，单位：表示，单位：Nm, kNm。2 2. 符号规定：按右手螺旋法则，以拇指代表横截符号规定：按右手螺旋法则，以拇指代表横截面外法线方向，与其余面外法线方向，与其余4指转向相同的扭矩为正，指转向相同的扭矩为正，反之为负。反之为负。3 3. 计算方法：截面法计算方法：截面法 扭矩图扭矩图 以平行于杆轴线的坐标为以平行于杆轴线的坐标为x坐标，表示横截面坐标，表示横截面的位置；以垂直于杆轴线的坐标为的位置；以垂直于杆轴线的坐标为Mx坐标，表示坐标，表示各横截面扭矩各横截面扭矩Mx的大小，画出的图形称为的大小，画出的图形称为扭矩图扭矩图。例例 画出如图所示

3、圆轴的扭矩图。画出如图所示圆轴的扭矩图。T3TTT123321ABCD3-2 圆杆扭转时的应力圆杆扭转时的应力一、横截面上的应力一、横截面上的应力OMxrTT周线周线纵线纵线周线周线纵线纵线1 1. 变形几何关系变形几何关系（1 1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。（2 2）所有的纵线都转过了同一角度）所有的纵线都转过了同一角度g g。abcddxabcddxTT周线周线纵线纵线abcddx（1 1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变， 绕杆轴线相对转动。

4、绕杆轴线相对转动。（2 2）所有的纵线都转过了同一角度）所有的纵线都转过了同一角度g g。平面假设：平面假设：横截面变形后仍为平面，并如同刚片一样仅横截面变形后仍为平面，并如同刚片一样仅绕杆轴线做相对转动，其上任一半径始终保持为直线。绕杆轴线做相对转动，其上任一半径始终保持为直线。dxcrabOdOcddj jg gg g f ecddc周线周线纵线纵线abcddxfeg dj jdxg g tang g = = =eedxg g = =dj jdx = = dj jdxdxcrabOdOcddj jg gfeg g f eg2 2. 物理物理关系关系切应变发生在垂直于半径的切应变发生在垂直于

5、半径的平面内，从而切应力也垂直平面内，从而切应力也垂直于半径。于半径。根据实验得到，在弹性范围内根据实验得到，在弹性范围内=G剪切胡克定律剪切胡克定律gG为切变模量为切变模量cddc横截面上切应力的分布规律横截面上切应力的分布规律Mxo =G3 3. 静力学关系静力学关系oMxdArdAMx= dAAMx= G2 dAAdj jdxAdj jdxG2dAdj jdx=GA2dAAdj jdxG2dAMxdj jdxGdj jdxMxG =Mx =maxMxr=MxrG二、极惯性矩和抗扭截面系数的计算二、极惯性矩和抗扭截面系数的计算1. 1. 实心圆截面实心圆截面 A2dA d 432 d 31

6、6dA=2dA2dA= 22d0d/2ddor2. 2. 空心圆截面空心圆截面 Ddod D 432 D 432 d 432 D 3163.3.薄壁圆环截面薄壁圆环截面 30P2 rI =r0Ddd0o20P2 rW = 例例 直径为直径为50mm的传动轴。电动机通过的传动轴。电动机通过A轮输入功率，轮输入功率，由由B、C和和D轮输出。已知轮输出。已知A、B、C和和D轮所受力偶矩分别为轮所受力偶矩分别为TA= =3.18kNm，TB=1.43kNm，TC= =0.80kNm，TD=0.95kNm。（1 1）作轴的扭矩图）作轴的扭矩图,(2,(2）求轴的最大切应力。）求轴的最大切应力。 Mx /

7、kNmx+- -1.431.750.95 解：解：1.1.作扭矩图作扭矩图2.2.最大切应力最大切应力 Mx /kNmx+- -1.431.750.952.2.最大切应力最大切应力mkN75.1max=xM1605. 014. 31633P=dWMPa4 .71105 .241075. 163Pmaxmax=WMx36m105 .24=解：解： 各横截面上扭矩均为各横截面上扭矩均为Mx=T=10kN m （1 1）实心圆截面）实心圆截面dTTD/2TTD343933Pm1096. 116m10)100(14. 316=dW例例 直径直径d =100mm的实心圆轴，两端受力偶矩的实心圆轴，两端受

8、力偶矩T=10kNm作作用，求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为用，求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为0.5的空心圆轴，且横截面面积不变，问最大切应力是多少？的空心圆轴，且横截面面积不变，问最大切应力是多少？MPa0 .51N/m100 .51m1096. 1mN101026343Pmaxmax=WMxdTT343933Pm1096. 116m10)100(14. 316=dW（1 1）实心圆截面）实心圆截面（2 2）空心圆截面）空心圆截面D/2TTD)1 (441222=Ddmm115=D34439343Pm108 . 2)5 . 0(1 16m10)115(14. 3

9、)1 (16=DWMPa7 .35N/m107 .35m108 . 2mN101026343Pmaxmax=WMxMPa0 .51N/m100 .51m1096. 1mN101026343Pmaxmax=WMx实心：实心：空心：空心：由面积相等，且内、外直径比由面积相等，且内、外直径比 =0.5 =0.5 例例 两空心圆轴，两空心圆轴，横截面面积相等，横截面面积相等，内、外直径比值内、外直径比值分别为分别为0.6和和0.8，在相同扭矩作用下，在相同扭矩作用下，问哪一个的最大切问哪一个的最大切应力大？应力大？0.6D1TTD10.8D2TTD2G1G2d2dG2 G1Mx(b)dxdydz三、切

10、应力互等定理三、切应力互等定理xdx(a)oo( dydz)dx =( dxdz)dy = 扭转圆轴纵截面上切应力？扭转圆轴纵截面上切应力？切应力互等定理：切应力互等定理：在任何受力杆在任何受力杆件中，过件中，过一点一点相互相互垂直垂直的两个截面上，的两个截面上，垂直于两截面交线的切应力大小相等，垂直于两截面交线的切应力大小相等，并共同指向或背离这两面的交线。并共同指向或背离这两面的交线。这是材料力学中普遍适用的一个定理这是材料力学中普遍适用的一个定理dxdydzoo = 3-3 圆杆扭转时的变形圆杆扭转时的变形扭转超静定问题扭转超静定问题dj jdxMxGdj jdxj j = =dj jM

11、xdxGMxGMxlGj j = = 例例 图示钢制实心圆截面传动轴。已知：图示钢制实心圆截面传动轴。已知：T1 =0.82kNm， T2 =0.5kNm， T3 =0.32kNm，lAB=300mm， lAC=500mm。轴的直径轴的直径d=50mm，钢的切变模量，钢的切变模量G=80GPa。试求截面。试求截面C相相对于对于B的扭转角。的扭转角。 解解: : AB、AC两轴段的扭矩分别两轴段的扭矩分别Mx1=0.5kNm， Mx2 =0.32kNm。 T2T1T3dBAClAClABT2T1T3dBAClAClABT1T3dAClACACP2GIlMACxAC=jrad0033. 005.

12、03210805 . 032049=Mx1=0.5kNmMx2 =0.32kNmlAC=500mmG=80GPad=50mmT2T1T3dBAClAClABT2T1T3dBAClAClABMx1=0.5kNmMx2 =0.32kNmlAB=300mmG=80GPad=50mmACABP1GIlMABxAB=jrad00310.=rad0002. 0=ABACBCjjj4905032108030500.=二、扭转超静定问题二、扭转超静定问题 杆在扭转时，如支座反力仅用静力平衡方程不能求出，杆在扭转时，如支座反力仅用静力平衡方程不能求出，这类问题称为这类问题称为扭转超静定问题。扭转超静定问题。其求

13、解方法与拉压超静定问题类似。其求解方法与拉压超静定问题类似。ABCTabTATBABCTabTATB变形协调条件变形协调条件A、B两固定端两固定端, , CA与与CB的的 数值相等。数值相等。PP1GIaTGIaMAxCA=jPP2GIbTGIbMBxCB=j故故BATabT =从而从而TTTBA=平衡方程平衡方程TbabTA=TbaaTB=思考题：思考题： 横截面面积相同的空心圆杆与实心圆杆，它们的强横截面面积相同的空心圆杆与实心圆杆，它们的强度、刚度哪一个大？但工程中为什么使用实心杆较多？度、刚度哪一个大？但工程中为什么使用实心杆较多？3-4 扭转时材料的力学性能扭转时材料的力学性能由低碳

14、钢薄壁圆筒扭转试验可以测得由低碳钢薄壁圆筒扭转试验可以测得T- j j 曲线曲线TMrrx=00)2(202 rT=jg0rl =jglr0=故可得故可得 - -曲线曲线r0=G剪切胡克定律剪切胡克定律E、G、v的关系的关系)1 (2=EGp剪切比例极限剪切比例极限s剪切屈服极限剪切屈服极限可得切应力强度极限可得切应力强度极限b3-5 扭转圆杆的强度计算和刚度计算扭转圆杆的强度计算和刚度计算一、强度计算一、强度计算等直圆杆扭转时的强度条件为等直圆杆扭转时的强度条件为式中式中Mxmax 是危险截面上的扭矩。是危险截面上的扭矩。PWMxmaxmax= 三方面的强度计算：三方面的强度计算：校核强度校

15、核强度、设计截面设计截面和和容许力偶矩容许力偶矩。maxMxmaxWP MxmaxWP Mxmax WP =unu 极限切应力极限切应力对于脆性材料对于脆性材料u=b对于塑性材料对于塑性材料u=s =（0.5-0.60.5-0.6） 塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料 =（0.8-1.00.8-1.0） 容许切应力容许切应力 例例 直径为直径为50mm的实心传动轴。电动机通过的实心传动轴。电动机通过A轮输入轮输入功率，由功率，由B、C和和D轮输出。已知轮输出。已知A、B、C和和D轮所受力偶轮所受力偶矩分别为矩分别为TA= =3.18kNm，TB=1.43kNm，TC= =0.80kNm，TD=0

16、.95kNm, =75MPa。（1 1）作轴的扭矩图）作轴的扭矩图,(2,(2）校核轴的切应力强度。）校核轴的切应力强度。d解：解： （1 1）轴的扭矩图）轴的扭矩图Mx1.43(kNm)0.951.75-+-d（2 2）校核轴的切应力强度校核轴的切应力强度AC段截面扭矩绝对值最大段截面扭矩绝对值最大Mx1.43(kNm)0.951.75-+-轴的最大切应力轴的最大切应力MPa3 .71N/m103 .71m1605. 0mN1075. 126333Pmaxmax=WMxkNm =75MPa故该轴满足切应力强度要求。故该轴满足切应力强度要求。MxmaxGIp max等直圆杆扭转的刚度条件为等直

17、圆杆扭转的刚度条件为精密机器：精密机器： 一般传动轴：一般传动轴：钻杆：钻杆： =(0.150.3)=(0.150.3)o o / /m =(0.32.0)=(0.32.0)o o / /m =(2.04.0)=(2.04.0)o o / /m 例例 一传动轴如图一传动轴如图3-14a所示。设材料的容许切应力所示。设材料的容许切应力=40MPa，切变弹性模量，切变弹性模量G=810MPa，杆的容许，杆的容许单位长度扭转角单位长度扭转角= =0.20/m。试求轴所需的直径。试求轴所需的直径。解：（解：（1 1）轴的扭矩图）轴的扭矩图Mx(kNm)3.57+Mx(kNm)3.57+3663pmm1

18、01750Pa1040mN107=.maxxMWmaxmax=pWMxmm96mm10175016163363=.PWdmaxmax=pGIMx47451643pmm10512m10512m1802010108mN107=.maxPaGMIxmm126105123232474P=.Wd47451643pmm10512m10512m1802010108mN107=.maxPaGMIxMx(kNm)3.57+综合考虑，应取综合考虑，应取d=126mm 例例 直径直径D=100mm的轴，由两段联接而成；联接处加凸的轴，由两段联接而成；联接处加凸缘，并在缘，并在D0=200mm的圆周上布置的圆周上布置

19、8个螺拴紧固，如图个螺拴紧固，如图3-153-15所所示。已知轴在扭转时的最大切应力为示。已知轴在扭转时的最大切应力为70MPa；螺栓的容许切；螺栓的容许切应力应力=60MPa，试求螺拴所需直径，试求螺拴所需直径d。解：解：=81iiirFT0Q4DTF/=163PDWTmaxmax=kN11716403Q.max=DDFF则=2QQQ4dFAFmm1191060101174463Q.=Fd3-6 非圆截面杆的扭转非圆截面杆的扭转变形特征翘曲变形特征翘曲 非圆截面杆扭转后，横截面不再保持为平面，而要发生非圆截面杆扭转后，横截面不再保持为平面，而要发生翘曲（翘曲（warping）。）。自由扭转：

20、自由扭转：两端自由的非圆截面直杆，受一对外力偶矩扭转时，两端自由的非圆截面直杆，受一对外力偶矩扭转时，各横截面翘曲程度相同，这时杆的横截面上只有切应力。各横截面翘曲程度相同，这时杆的横截面上只有切应力。约束扭转：约束扭转：若杆端存在约束或杆的各横截面扭矩不同，扭转若杆端存在约束或杆的各横截面扭矩不同，扭转后各横截面上翘曲程度不同，横截面上除有切应力外，还有后各横截面上翘曲程度不同，横截面上除有切应力外，还有附加正应力。附加正应力。 由约束扭转产生的附加正应力，在实体截面杆中很小，由约束扭转产生的附加正应力，在实体截面杆中很小，可忽略不计；但在薄壁截面杆中不能忽略。可忽略不计；但在薄壁截面杆中不

21、能忽略。角点切应力等于零角点切应力等于零; ; 边缘各点切应力边缘各点切应力沿切线方向沿切线方向; ; 最大切应力发生最大切应力发生在长边中点。在长边中点。1maxbh一、矩形截面杆一、矩形截面杆（2 2）切应力和单位长度扭转角的计算）切应力和单位长度扭转角的计算最大切应力最大切应力短边中点的切应力短边中点的切应力单位长度杆的扭转角单位长度杆的扭转角、为与为与h/ /b有关的系数。有关的系数。h和和b分别为矩形截面的长边和短边；分别为矩形截面的长边和短边；TWMx=maxmaxg=1TGIMx=3TbW=4TbI=1maxbh对于狭长矩形截面对于狭长矩形截面)(10=hm最大切应力最大切应力单位长度杆的扭转角单位长度杆的扭转角2T3hMWMxx=max3T3GhMGIMxx=二、开