论文-拉格朗日中值定理在高考题中的妙用

1、拉格朗日中值定理在高考题中的妙用【摘要】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市一些高考题可以用拉格 朗口中值定理來解答.本文归纳了可用拉格朗日中值定理解决的四类题型，再通过一些具体 的高考试题，体现高观点解题的好处.【关键词】拉格朗日中值定理高考题高观点引言新课程中，高中数学新增加了许多近、现代数学思想，这为中学数学传统的内容注入了 新的活力，也为解决一些初等数学问题的方法提供了更多的选择.尤其在近几年在近几年的 数学高考试题中，经常遇到一些题目，虽然可以利用中学的数学知识解决，但是在高等数学 屮往往能找出相关的“影子”，也即所谓的“高观点”试题这样的试题或以高等数学知识为 背景

2、，或体现高等数学中常用的思想方法.这类试题常受到命题者的青睐，成为高考中一道 亮丽的风景，其中不乏以拉格朗口中值定理为背景的高考试题.拉格朗日中值定理是利用导 数的局部性研究函数整体性的重要工具，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，建立了函数值 与导数值之间的定量联系，因而可以用它来研究函数的性态.拉格朗日中值定理是高考试 题设置高等数学背景的一个热点素材.一. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函数/满足如下条件：（i）/在闭区间上上连续；（ii）/在开区间上）内可导；则在（°,方）内至少存在一点j使得f点）"）一/ h a几何意义：在满足定理条件的曲线上y = /（x）至

3、少存在一点p（n，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线初（如图）二. 求割线斜率大小几何意义的利用由拉格朗日屮值儿何意义可知:曲线上两点的割线斜率，可以转化为曲线上切线的斜率.即连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行.下面通过下题具体分析.例1： (2011年福建省质检理19题)已知函数/(x) = x+ + tzlnxx(i )求f(x)的单调递增区间；(ii)设a = l,g(x) = f '(x),问是否存在实数使得函数gd)上任意不同两点连线的斜率都不小于£?若存在，求£的取值范围；若不存在，说明理rfl.解(i )略(ii)当67 = 1时，g(x)

4、=l-3 +丄，假设存在实数使得的图象上任意不同两点连线 x的斜率都不小于k,即对任意无舛 >(),都有g(")-g3)以,即求任意两点割线斜率的大小，由中值定理知存在xg(xpx2),有g(朗/(兀2)一£3)以,转为求切线斜率的大小.即 花坷g'(x)= 2 - a以在(°，炖)上恒成立(以下同参考答案)x f评析：该题若用初等方法解决，构造函数同是本题的难点和突破口.将曲2)一 gj以,转 兀2 一西化为g(q-gngdj-斗，转而考查函数h(x) = g(x)-kxf学生不是很容易想到，但若利用拉格朗tl中值定理，则只需求二次导函数在所给区间

5、的最小值即可，学生易接受.二.利用拉格朗日中值定理证最值(1)证/一/"或张)-于cb-ab-a即证厂(0与2的大小关系例2： (2009年辽宁卷理21题) 己知函数 f(x) =*+ -cuc + (a-)nx,a> (i )讨论函数/(x)的单调性；(ii )证明：若 dv5,则对任 g(0,-foo), x( x.,有 一 > -1.(i)略;(ii)要证 小)7(兀)1成立，即证f口>_1.占-尢2g令 g£) = f(d % + d 1 则=(年 1卜 4 低 1=) * 1 以 5 ).由于 1vqv5'所以<().从而g(g)&

6、gt;0在r恒成立也即孕-dg + d- 1 > -& 又歹丘(占,兀2)，xx2 w(0,+oo),故§ > 0 则f y + 一i,即 f(§)= ?_” 竺：！>_,也即 /(再)-/(")>_. §§西一勺评注：这道题(ii)小题用初等方法做考虑函数g(x) = /(x) + ;v.为什么考虑函数g(e = /(x) + x很多考生一下子不易想到.而且g (兀)的放缩也不易想到.(2) 、证明曲>4或曲j成立(其中兀>0, /(0) = 0)xx即证川)7(°)>。或川)-/(

7、。)_ x_0x-0例3： (2007年高考全国卷i第20题)设函数 f（x） = ex-e-21(i )证明：/的导数/ (x)>2；(ii)证明：若对所有x>0,都有/(x)>6tv ,贝吒的取值范围是(-oo,2.(i )略.(ii)证明：(i)当尢=0时，对任意的°,都有/(x)>av(ii)当兀>0时，问题即转化为«< x对所有兀> 0恒成立.令g(x)=/（小/（0）x-0由拉格朗fi中值定理知(),兀)内至少存在一点§ (从而g>o),使得/'£) =g(x) = /'

8、3;)=/+八，由于f (。=占一以之°一沪&>0),故f (。在(0,兀)上是增函数, 让兀0 得 g(x)rain=/'£) = /+£df(0) = 2,所以 a 的取值范围是(-oo,2.评注：用的是初等数学的方法.即令(x) = /(x)-av,再分*2和。>2两种情况讨论.其中，ci>2又要去解方程g'(x) = 0.但这有两个缺点：首先，为什么。的取值范围要以2为分界展开.其次，方程gx) = 0求解较为麻烦.但用拉格朗日屮值定理求解就可以避开讨论,省去麻烦.例4： (2008年全国卷ii22题)(i) 求y

9、(兀)的单调区间;(ii )如果对任何兀no ,都有/(x)<6lv ,求d的取值范围.证明(i )略；(ii) 证明：当兀=0时，显然对任何d,都有/“皿 当兀>0时，zw=zhzz(2)xx-0由拉格朗日中值定理，知存在仆(o,x),使得型=心了= /£).由(i)知jcjc 0£(、 2cosx + l 口而 2sinx(2 + cosx)(cosx-l) >.、八刘/ w- '从而/ w=十令0得，(2 + cos x)(2 + cos x)xe(2公 + 1)兀,(2比 + 2)刃；令 / (x) <0 得，xg2kjc,(2k +

10、1).所以在(2£ + 1)龙,(2£ + 2)龙上, f(x)的最大值/ (兀)唤=/(2£ + 2)龙)=丄在2炽(2+ )k_h, f(x)的最大值 f (x)nm = f(2曲)=丄.从而函数/'(x)在2s(2k + 2)刃上的最大值是/ (x)nm =丄ken3知，当兀>0时，f(x)的最大值为/(心冷所以，f(0的最大值八九斗为了使 f(g)s恒成立，应有f (亂址".所以a的取值范围是卩,+8 .1_3>评注：这道题的参考答案的解法是令g(x) = ar-/(兀),再去证明函数列兀)的最小值(x)min>0.这与

11、上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数a,要对参数a进行 分类讨论;其次为了判断g(x)的单调性,还要求g (x) » 0和g (x) < 0的解，这个求解涉及到反 余弦arccos%,较为复杂.而用拉格朗日屮值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了高观 点解题的优越性.三. 利用拉格朗日中值定理证不等式在近儿年的数学高考屮，出现了不少含有拉格朗h屮值定理的试题.常以不等式恒成立 问题为基本切入点，具有一定的深度，既符合高考命题“能力立意”的宗旨，又突出了数学 的学科特点，较好地甄别了学生的数学能力.下面以近几年全国各地的数学高考试题为例, 说明拉格朗口中值定理的

12、不同形式在高考中不等式的应用，更好地体会用“高观点”解题的 优势.(1)用于证明/(b)-/(a)与方-a的大小关系例5： (2006年四川卷理第22题)3已知函数/(x) = x2+-+alnx(x>o),/(x)的导函数是f (x),对任意两个不相等的正x证明：(ii)当 a<4时，|/(xj-/(x2)| > x(-x2 .证明：ft /(x) = x2 + + anx得，f (x) = 2x +,令g(兀)=/(兀)则由拉格朗日屮 xx x值定理得：|g(xj-g(x2)| =|g'(a)(x-x2)下面只要证明：当454时，任意2>0,都有g>1

13、,则有g(x) = 2 + 4-弓>1,即证d<4时，a<x2 +纟恒成立.这等价于证明x2 +电的最小值大于4 .由x2 +- = x2 +-+->3/4 ,格朗日定理得：|g(k)- g(兀2)|=|g(f-兀2)|=|g|卜厂兀2|>卜厂兀2卜评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为口然、流畅.体现 了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性.（2）证明 g（o）, g,g(b)三者大小的关系例6： (2004年四川卷第22题)131已知函数 /(x)

14、 = ln(l + x)-x,g(x) = xlnx.(i)求函数/(兀)的最大值；(ii )设 0 vd vz? v 2a ,证明：g(a) + g(/?)-2g(d；") v(b-d)l n2.证明(i )略；(ii )证明：依题意，有g(x) = lnx+l,g(a) + g(/?)-2g号纟卜g(b)-g(弓勻- g(号纟-g 由拉格朗日中值定理得, 存在d,竺空，“ w竺巴b ,使得<2 丿 i 2>_g =（g©）_gc）¥=（in“_in2）¥评注：对于不等式中含有g(q),g(b),g凹(d<b)的形式，我们往往可以把g

15、(凹g(d)12 丿v 2 ；和g-凹，分别对凹-g(o)和g(b)-/凹两次运用拉格朗日小值定理. 12丿 12丿 (2丿例7： (2006年四川卷理第22题)9已知函数/(x) = x2+- + «lnx(x>0),/(x)的导函数是/(x),对任意两个不相等的正数 x,x2.证明：(i)当*0时，几再);/区)>/(答玉)证明：(i )不妨设x, < x2 ,即证定理知，存在斗，无；兀< /丿*(号fm-f/ . 、x +x2、2 x，+-,x2|,则 ©7 且7厂石+ x2< 2>f-m§)宁又由拉格朗日屮值心)弓+ &

16、#163;, f(g+宁务当必。时，八归所以)是-个单调递减函数，故f< f (0从而/(£)-/(号川州)成立，因此命题获证 四：利用拉格朗日定理证明根的存在证明方程根的存在性，所给根的范圉就是区间a.b把所给方程设为函数/(兀)就可用拉格 朗h屮值定理证明方程根的存在性，一般用反证法.例1设/在0,1可导，且0v/(x)vl,又对于(0,1)内所有的点有广(x)工- 1证明方程 /(x) + x-l = 0在(0,1)内有唯一的实根.分析:要证明方程有唯一的实根，分两步证明，先证明有根，再证明根是唯一的证明:先证方程有根，令 g(x) = g+兀 -1,又因为 0 <

17、 f(x) v 1,则 g(0) = /(0) -1 < 0, g(l) = /(l) > 0，得到 g(0)-g(l )< 0. 所以，函数g(x)在(0,1)内至少有一个实根.再证唯j性；假设方程/(兀)+兀-1 =()在(0,1)内有两个实根a,0不妨设为ova v0 v 1,则有/(0) = 1 -0,/3) = 1 - 对函数/)在久0上运用拉格朗日中值定理有/(»")()因此厂宀埸三回(1-0)-(1-a)p-a=-1这和已知条件广(x)h-1矛盾.所以方程/(x) + x-l=o在(0,1)内有唯一的实根.结束语拉格朗日中值定理是数学分析的一

18、个重要定理，是解决函数在某一点的导数的重要具.， 不少高考压轴题以导数命题，往往可以用拉格朗口中值定理求解.固然，这些压轴题用初等 数学的方法也可以求解.但求解吋一般都需要学生巧妙的构造新函数，成为难点且往往计算 量较大.这时用拉格朗日中值定理交易解决.充分体现了高等数学的优越性，有力反驳了 “高 数无用论”的错误的想法.从而使学生感受到高等数学与初等数学的联系，增加学习的兴趣.参考文献1 陈纪修，於崇华,金路.数学分析（上册）m.北京：高等教育出版社,2010, 123-124.2 吴旻玲.高考中的拉格朗日中值定理j.中学教研（数学）,2012,： 44.3 王一棋.高观点下的中学数学一一拉格朗日中值定理在中学数学中的应用j.数学教学 通讯,63.4 李惟峰.拉格朗tl屮