2022年行列式典型例题VIP

1、优秀教案欢迎下载第二讲 行列式综合训练第一部分例 2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是零nd=11aa解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质方法 1 利用性质，将行列式化为上三角行列式nd11cnca=101aaaa=11()naaa=na-2na方法 2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式ndn1rr=111aaa1ncc=111aaa=na-2na方法 3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式nd1c 展开=1naaa+110010( 1)0nnaa而110010( 1)0nnaa最后列展开=21( 1)n2naa=2nand=1na a-

2、2na=na-2na方法 4 利用公式aoob=a b将最后一行逐行换到第2 行，共换了2n次；将最后一列逐列换到第2 列，也共换了2n次精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载nd=2(2)( 1)n11aaa=11aa2naa=na-2na方法 5 利用公式aoob=a b例 2.2 计算 n阶行列式：11212212nnnnnabaaaabadaaab (120nbbb) 解采用升阶（或加边）法该行列式的各行含有共同的元素12,na aa，可在保持原行列式值不变的情

3、况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素12112122121000nnnnnnaaaabaadaabaaaab升阶213111nrrrrrr12121100100100nnaaabbb1112,1jjccbjn111211121000000000nnaaaaabbbbb=1121(1)nnnaab bbbb这个题的特殊情形是121212nnnnaxaaaaxadaaax=11()nniixxa可作为公式记下来例 2.3 计算n阶行列式：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 21 页 -

4、 - - - - - - - -优秀教案欢迎下载12111111111nnaada其中120na aa解 这道题有多种解法方法 1 化为上三角行列式nd12,irrin1121111naaaaa112,jjaccajn21100nbaa其中11211niibaaa1111niiaa，于是nd12111nniia aaa方法 2 升阶（或加边）法1211110 11101110111nnadaa升阶12,3,1irrin121111100100100naaa11111121,2,1121111111jjnijccannjniinaaa aaaaa方法 3 递推法将nd改写为12111011101

5、11nnaadan按c 拆开12111111111aa+1211011011naaa精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载由于12111111111aa1,1inrrin12111aa121na aa1211011011naaan按c 展开1nna d因此nd=1nna d121na aa为递推公式，而111da，于是nd=1nna d121na aa=12na aa11211nnnda aaa=12na aa2122111nnnnda aaaa=12na aa1121

6、1ndaaa=12na aa121111naaa例 .4 设343123211211)(xxxxxxxf，证明存在),1 ,0(使0)(f. 证因为( )f x是关于x的二次多项式多项式, 在1 , 0上连续 ,(0,1)内可导 , 且0331221111)0(f,101(1)1110121f由罗尔定理知 , 存在) 1 ,0(,使0)(f. 例 2.5 计算d=222244441111abcdabcdabcd解 这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解方法 1 借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

7、- - - - - - 第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载d2433221ra rrarrar222222222111100()()()0()()()bacadab bac cad dabbaccadda1c 展开=()()()ba cada222111()()()bcdbbaccadda3r 拆开=()()()ba cada（333111bcdbcd+222111a bcdbcd）其中333111bcdbcd23221rb rrbr222211100()()cbdbccbddb=()()cbdb11()()c cbd db=()()cbdb ()()

8、d dbc cb由于222111bcdbcd是范德蒙行列式，故222111bcdbcd=()()()cbdb dcd=()abcd()()()bacada ()()()cb dbdc方法 2 d213141cccccc222222244444441000abacadaabacadaabacada1r展开=()()()ba cada222222111()()()()()()bacadababacacadada2131cccc()()()bacada22100()()bacbdbbabaxy1c 展开=()()()ba cadacbdbxy精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

9、 - - - - - - - 第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载其中222()()xcbabcacbcab，222()()ydb abcadbdabd=()abcd()()()bacada ()()()cb dbdc=()abcd()()()ab acad()()()bc bdcd方法 3 用升阶法 由于行列式中各列元素缺乏3 次幂的元素， 在d中添加 3 次幂的一行元素，再添加一列构成5 阶范得蒙行列式：5d=22222333334444411111abcdxabcdxabcdxabcdx5d按第 5 列展开得到的是x的 4 次多项式，且3x的系数为

10、4 545( 1)add又利用计算范得蒙行列式的公式得5d=()()()()bacadaxa()()()cbdbxb ()()()dcxcxd=()()()bacada()()cbdb ()dc ()()()()xaxbxcxd=()()()bacada ()()cbdb ()dc43()xabcd x其中3x的系数为()()()bacada()()cbdb ()dc ()abcd由3x的系数相等得：d=()abcd()()()bacada ()()()cb dbdc例 2.6 设4322321143113151| a，计算 a41 + a42 + a43 + a44 = ? 其中 a4j(j

11、= 1, 2, 3, 4) 是|a|中元素 a4j的代数余子式 . 解直 接 求 代 数 余 子 式 的 和 工 作 量 大 可 将4 14 24 3aaaa改 写 为4 14 24 31111aaaa，故精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载a41 + a42 + a43 + a4411113211431131511602102310121000=4 1602( 1)023012=621003202061例 2.7 求解方程 : 11111111( )01121111

12、(1)xf xxnx解 方法 1 ( )f x12,irrin11110000010000(2)xxnx=)2()1()1(1nxxxn由题设知0)2()1()1()(1nxxxxfn所以2, 1,0121nxxxn是原方程的解. 方法 2 由题设知 , 当2,2, 1 ,0nx时, 由于行列式中有两列对应元素相同,行列式值为零 , 因此)(xf可写成)2()1()(nxxaxxf于是原方程0)2()1()(nxxaxxf的解为 : 2, 1,0121nxxxn例 2.8计算元素为aij = | i j|的 n 阶行列式 . 解方法 1 由题设知，11a=0，121a，1,1,nan，故精品学

13、习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载011102120nnndnn1,1,2iirrin n011111111n1,1jnccjn1211021( 1)2(1)020001nnnnnn其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行第二步用的每列加第n列方法 2 011102120nnndnn11,2,1111111120iirrinnn12,1001201231jccjnnnn=12( 1)2(1)nnn例 2.9计算行列式2211112200000000bdbdcacad解方

14、法 1 按第一列展开：1121120000acda dbb-0000111122bdcacd=111122bdcaba-111122bdcacd=（22ba-111122bdcacd）=（22ba-）22cd（11ba-）11cd方法 2 本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第2、3 行，有：112 3 2 311( 1)acddb2222acdb=（11ba1 1d c）（22ba22d c ）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载例 2.10 计算2nd=11

15、11nnnnababcdcd，其中未写出的元素都是0解 方法 1 利用公式aoob=a b采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换，直到换到第2 行（作22n次相邻对换） ；最后一列逐列和上列换，换到第2 列（作22n次相邻对换），得到2nd=2(22)( 1)n1111111100000000nnnnnnnnabcdababcdcd=2d2(1)nd=()nnnna db c2(1)nd=()nnnna db c1111()nnnnadbc2(2)nd=()nnnna db c1111()nnnnadbc111 1()a db c=1()niiiiia db c方法 2 利用行列式展开定理

16、进行求解2nd1r 展开=1111111100nnnnnnababacdcdd精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载 +1 2( 1)nnb1111111100nnnnnababcdcdc上面第 1 个行列式是aoob的形式，而第2 个行列式按第1 列展开，所以2nd=21 12222( 1)nnnnnnna d db cd=()nnnna db c2(1)nd=1()niiiiia db c例 2.11 计算5100011000110001100011aaaadaaa

17、aa解 方法采用递推的方法进行求解5d125ccc10000100011000110011aaaaaaaaa1c 展开=1001100110011aaaaaaa+5 1000100()( 1)110011aaaaaaaa即5 1454()(1)ddaa，4 1343()(1)ddaa，3 1232()(1)ddaa，221daa故234551daaaaa方法 2 采用降阶的方法进行求解精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载5d12(1)ra r220100110001

18、10001100011aaaaaaaaaaa213(1)ra ar2323001011000110001100011aaaaaaaaaaaaa2314(1)ra aar23423400011 1000110001100011aaaaaaaaaaaaaaa23415(1)ra aaar23450000111000110001100011aaaaaaaaaaaa1r展开=23455 14(1) ( 1)( 1)aaaaa=23451aaaaa例 2.12证明dn= 121100010nnnxxaaaxa=111nnnnxa xaxa证方法 1 递推法按第 1 列展开，有dn= x d1n+（ 1）

19、1nan11111nxxx= x d1n+ an由于 d1= x + a1，2211xdaxa，于是dn= x d1n+ an=x（x d2n+a1n）+ an=x2d2n+ a1nx + an精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载= x1nd1+ a2x2n+ a1nx + an=111nnnnxa xaxa方法 2 第 2 列的 x 倍，第 3 列的 x2倍，第 n 列的 x1n倍分别加到第1 列上12cxcnd21121010010000nnnnxxxaxaaa

20、xa213cx c32121231010000100010nnnnnnxxxaxax aaaaxa=0111xfxnr按展开1( 1)nf1111nxxx=f 其中111nnnnfaaxa xx或dn21123nncxcx cxc12210100001000001nnxxfaaaxa1按c 展开1( 1)nf1111nxxx=11( 1)( 1)nnf=f 其中111nnnnfaaxa xx方法 3 利用性质，将行列式化为上三角行列式精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎

21、下载dn21321111nnccxccxccx1122000000000nnnnnnnxxxaaaaaakxxxn按c 展开x1nkn= x1n( 1nnxa+ 21nnxa+xa2+a1+x) =111nnnnaaxa xx方法 4 nrnd按展开1( 1)nna1000100001xx+ 21( 1)nna0000100001xx+212( 1)na1000000001xx+21( 1)()nax100000000 xxx=（ 1）1n（ 1）1nan+（ 1）2n（ 1）2na1nx +（ 1）12n（ 1）a2x2n+（ 1）n2( a1+x) x1n= 111nnnnaaxa xx例

22、 2.13计算 n阶“三对角”行列式dn=00010001000001解 方法 1 递推法精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载dn1按 c 展开()d1n(1)00001000001n1按 r 展开()d1nd2n即有递推关系式dn=()d1nd2n(n3) 故1nndd12()nndd递推得到1nndd12()nndd223()nndd221()ndd而1()d，2d+1+22，代入上式得1nnndd1nnndd（2.1）由递推公式得1nnndd12()nnnd2

23、d 2n1nnn1n1nn时，当时，当1)(n111nnn方法 2 把 dn按第 1 列拆成 2 个 n 阶行列式dn=0001000100000100010001000000001上式右端第一个行列式等于d1n，而第二个行列式精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载0001000100000000112,iicacin0000100001000001=n于是得递推公式1nnndd，已与（ 2.1）式相同方法 3 在方法 1 中得递推公式dn=()d1nd2n又因为当时

24、d1=2221d=2()=22=33d3= 1010=3()-2()= ()22()=44于是猜想11nnnd，下面用数学归纳法证明当 n=1 时，等式成立，假设当nk 时成立当 n=k+1 是，由递推公式得d1k=()dkd1k=()11kkkk=22kk所以对于nn，等式都成立第二部分这一部分的题是与矩阵、向量、 特征值等后续内容有关的题，感觉困难的同学可以放到相关内容学习后再看 但应注意考研题中关于行列式内容的出题, 往往与后续内容联系较多精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - -

25、优秀教案欢迎下载例 2.14设 a 为 33 矩阵 , |a| =2, 把 a 按行分块为123aaaa, 其中(1,2,3)ia i是a 的第i行, 则行列式312122aaaa_. 解312122aaaa312122aaaa=3212aaa=12322 |4aaaa例 2.15判断题(1) 若ba，是可乘矩阵，则abba（）(2) 若ba，均为n阶方阵，则abab（）解 (1) 错误，因为ba，不一定是方阵，即不一定有对应的行列式(2) 错误，例如取3003a，2002b，15abab例 2.16证明 :奇数阶反对称矩阵的行列式为零. 证|)1(|,aaaaaaantt(n 为奇数 ).

26、所以 |a| = 0. 例 2.17（数四， 01，3 分）设矩阵111111111111kkakk，且秩()r a3，则k= 解 由于111111111111kkakk124rrr3333111111111kkkkkkk=1111111(3)111111kkkk=11110100(3)00100001kkkk=3(3)(1)kk由()r a3，知a=0，而1k时，()r a1，故必有3k例 2.18 若ba，c均为 3 阶可逆方阵，1a，2b， 计算cbact211)(2精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 21 页 - -

27、 - - - - - - -优秀教案欢迎下载解cbact211)(2=23112tca bc=223112tc abc=22312ab=2 例 2.19 设 3 阶方阵ba，满足方程ebaba2，试求矩阵b以及行列式b ，其中101020201a解 由ebaba2，得eabea)(2，即()()aeae bae由于201030202ae，180ae001010200ae，20ae111()()()()baeaeaeae1001001/ 2010010200100所以2/1| b例 2.20设a为 3 阶方阵，a=2，求1*1()32aa的值解方法 1 化为关于*a的形式进行计算利用公式111(

28、)aa，*1aaa，1naa有1*1()32aa=1*23aa=*23aaa=*3aa=*2a=3*( 2)a=23( 2) a=32精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载方法 2 化为关于1a的形式计算利用公式111()aa，*1aa a，1a=1a，有1*1()32aa=1123aa a=14a=3( 4)1a=32例 2.21 （数四， 98，3 分）设ba，均为n阶方阵，a=2，b=-3，求1*2ba的值解1*2ba=1*2ban=n21nab1=n212n3

29、1=3212n例 2.22若21321,都是4 维列向量，且4 阶行列式n3221,，m1321,，计算 4 阶行列式32112,的值解 如果行列式的列向量组为n,21，则此行列式可表示为n,21，利用行列式的性质，有21123,3211,+3212,=1231,-3221,=1231,+1223,=nm例 2.23 计算行列式obaoba，|，其中12112(1)121121nnxnxnaxnnxnn，100002000010000bnn解|a=12112(1)121121nnxnxnxnnxnn精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载12,121000000irrinnnxxxxxxx1,1njccjn(1)1212000000000n nnxxxx这是逆对角的上三角行列式，所以(1)12(1)( 1)()2n nnn nax x又!|nb，故12)1(!)2