高等代数欧几里得空间

1、性质性质(如长度、夹角如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及等在一般线性空间中没有涉及.其具体模型为几何空间其具体模型为几何空间 、23,RR 1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，但几何空间的度量但几何空间的度量 长度：长度：都可以通过内积反映出来：都可以通过内积反映出来：,cos, 夹角夹角 ：2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.满足性质：满足性质：,VkR 1 ( ,)( , ) 2(,)( ,

2、)kk 3(, ),( , ) 4( , )0, 当且仅当当且仅当 时时0 ( , )0. 1. 定义定义设设V是实数域是实数域 R上的线性空间，对上的线性空间，对V中任意两个向量中任意两个向量、定义一个二元实函数，记作、定义一个二元实函数，记作 ，若，若,( ,) ( ,) （对称性）（对称性）（数乘）（数乘）（可加性）（可加性）（正定性）（正定性） V为实数域为实数域 R上的线性空间上的线性空间; V除向量的线性运算外，还有除向量的线性运算外，还有“内积内积”运算运算;( ,).R 欧氏空间欧氏空间 V是特殊的线性空间是特殊的线性空间则称则称 为为 和和 的的内积内积，并称这种定义了内积的

3、，并称这种定义了内积的( ,) 实数域实数域 R上的线性空间上的线性空间V为为欧氏空间欧氏空间.例例1在在 中，对于向量中，对于向量 nR 1212,nna aab bb当当 时，时，1）即为几何空间）即为几何空间 中内积在直角中内积在直角3n 3R 坐标系下的表达式坐标系下的表达式 . 即即( ,). 这样这样 对于内积就成为一个欧氏空间对于内积就成为一个欧氏空间.nR( ,) 易证易证 满足定义中的性质满足定义中的性质.( ,) 141）定义）定义 1 12 2( ,)n na ba ba b （1） 所以所以, 为内积为内积.( ,) 2）定义）定义 1 12 2( ,)2kkn na

4、ba bka bna b 从而从而 对于内积也构成一个欧氏空间对于内积也构成一个欧氏空间.nR( ,) 由于对由于对 未必有未必有,V ( ,)( ,) 注意：注意：所以所以1），），2）是两种不同的内积）是两种不同的内积.从而从而 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.nR易证易证 满足定义中的性质满足定义中的性质.( ,) 14所以所以 也为内积也为内积.( ,) 例例2 为闭区间为闭区间 上的所有实连续函数上的所有实连续函数( , )C a b , a b所成线性空间，对于函数所成线性空间，对于函数 ，定义，定义( ),( )f xg x(, )( )

5、 ( )baf gf x g x dx （2） 则则 对于（对于（2）作成一个欧氏空间）作成一个欧氏空间.( , )C a b证：证： ( ),( ), ( )( , ),f xg xh xC a bkR1 .(, )( ) ( )( ) ( )( ,)bbaaf gf x g x dxg x f x dxg f 2 .(, )( ) ( )( ) ( )bbaak f gk f x g x dxkf x g x dx (, )k f g 3 . (, )( )( )( )bafg hf xg xh x dx ( ) ( )( ) ( )bbaaf x h x dxg x h x dx(, )

6、( , )f hg h24 . (,)( )baf ffx dx 2( )0,fx (,)0.f f且若且若( )0,f x 则则2( )0,fx 从而从而 (,)0.f f 故故 (,)0( )0.f ff x因此，因此， 为内积，为内积， 为欧氏空间为欧氏空间.(, )f g( , )C a b 21)( ,)( ,),( ,)kkkkk 2)( ,)( ,)( , ) 推广：推广： 11( ,)( ,)ssiiii 3)(0,)0 2. 内积的简单性质内积的简单性质,VkR V为欧氏空间，为欧氏空间，2) 欧氏空间欧氏空间V中，中，,( , )0V 使得使得 有意义有意义. 1. 1.

7、引入长度概念的可能性引入长度概念的可能性1）在）在 向量的长度（模）向量的长度（模） . 3R 2. 2. 向量长度的定义向量长度的定义,( , )V 称为向量称为向量 的的长度长度. 特别地，当特别地，当 时，称时，称 为为单位向量单位向量. 1 1)0;003. 向量长度的简单性质向量长度的简单性质3）非零向量）非零向量 的单位化：的单位化： 1. 2)kk （3） 1）在）在 中向量中向量 与与 的夹角的夹角 3R 2）在一般欧氏空间中推广（）在一般欧氏空间中推广（4 4）的形式，首先）的形式，首先1. 1. 引入夹角概念的可能性与困难引入夹角概念的可能性与困难应证明不等式：应证明不等式

8、： ( ,)1 此即此即,cosarc （4） 对欧氏空间对欧氏空间V中任意两个向量中任意两个向量 ，有，有 、( ,) （5） 2. 2. 柯西布涅柯夫斯基不等式柯西布涅柯夫斯基不等式当且仅当当且仅当 线性相关时等号成立线性相关时等号成立.、证：当证：当 时，时， 0 ( ,0)0,0结论成立结论成立.( ,)0. 当当 时，作向量时，作向量 0 ,ttR由内积的正定性，对由内积的正定性，对 ，皆有，皆有 tR ( , )(,)tt 2( , )2( ,)( ,)0tt （6） 取取 代入（代入（6）式，得）式，得( ,)( ,)t 22( ,)( ,)( , )2( ,)( ,)0( ,)

9、( ,) 即即 2( ,)( , )( ,) 两边开方，即得两边开方，即得 ,. 当当 线性相关时，不妨设线性相关时，不妨设 、k 于是，于是， 2( ,)(,)( ,).kkk 2kk ( ,). (5)式等号成立式等号成立. 反之，若（反之，若（5）式等号成立，由以上证明过程知）式等号成立，由以上证明过程知 或者或者 ，或者，或者 0 ,0, 也即也即 线性相关线性相关.、1 12 2n na ba ba b,1,2, .iiabRin3. 3. 柯西布涅柯夫斯基不等式的应用柯西布涅柯夫斯基不等式的应用柯西柯西不等式不等式2222221212nnaaabbb（7）1）22( ) ( )(

10、)( )bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx 施瓦兹施瓦兹不等式不等式( ), ( )( ) ( )baf xg xf x g x dx 由柯西布涅柯夫斯基不等式有由柯西布涅柯夫斯基不等式有( ( ), ( )( )( )f xg xf xg x 从而得证从而得证.证：在证：在 中，中， 与与 的内积定义为的内积定义为 ( , )C a b( )( )f xg x2）（7） 证：证： 2(,) ( , )2( ,)( ,) 2222 两边开方，即得（两边开方，即得（7）成立）成立.对欧氏空间中的任意两个向量对欧氏空间中的任意两个向量 有有,、3）三角三角不等式不等式设设V为欧氏

11、空间，为欧氏空间， 为为V中任意两非零中任意两非零、向量，向量， 的的夹角夹角定义为定义为 、4. 4. 欧氏空间中两非零向量的夹角欧氏空间中两非零向量的夹角定义定义1：( ,),cosarc 0, 零向量与任意向量正交零向量与任意向量正交.注：注： 即即 .,2 cos,0 设设 为欧氏空间中两个向量，若内积为欧氏空间中两个向量，若内积 、 ,0 则称则称 与与 正交正交或或互相垂直互相垂直，记作，记作 . 定义定义2：5. 5. 勾股定理勾股定理设设V为欧氏空间，为欧氏空间，,V 222证：证： 2, ,2, 222( ,)0 . 若欧氏空间若欧氏空间V中向量中向量 两两正交，两两正交，1

12、2,m 推广：推广：则则 22221212.mm证：若证：若 (,)0,ijij 则则 21211(,)mmmijij1(,)(,)mmiiijiij 222121(,)miimi (,)0,1,2,ijiji jm 即即例例3、已知、已知 2,1,3,2 ,1,2, 2,1在通常的内积定义下，求在通常的内积定义下，求,( ,),. 解：解： 2222,2132183 2 ( ,)2 11 2322 10 ,2 又又 1, 1,5,1 22221151282 7 通常称为与的距离，记作通常称为与的距离，记作 ( ,).d 设设V为欧氏空间，为欧氏空间， 为为V的一组基，对的一组基，对V中中12

13、,n 任意两个向量任意两个向量1 122nnxxx1 122nnyyy令令(,),1,2,.ijijai jn 1111( ,)(,)(,)nnnniijjijijijijxyx y （8）定义定义：矩阵：矩阵 111212122212(,) (,)(,)(,),(,)(,) (,)(,)nnnnnnA 称为基称为基 的的度量矩阵度量矩阵.12,n 1122,ijn nnnxyxyAaXYxy （9）则则 11( ,)nnijijija x yX AY （10） 度量矩阵度量矩阵A是实对称矩阵是实对称矩阵. 由内积的正定性，度量矩阵由内积的正定性，度量矩阵A还是正定矩阵还是正定矩阵. 事实上，对事实上，对 ，即，即 ,0V0X 有有( , )0X AX A为正定矩阵为正定矩阵. 由（由（10）知，在基）知，在基 下，向量的内积下，向量的内积12,n 由度量矩阵由度量矩阵A完全确定完全确定. 对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.证：设证：设 为欧氏空间为欧氏空间V的两组的两组1212,;,nn 基，它们的度量矩阵分别为基，它们的度量矩阵分别为A、B ，且，且1212(,)(,)nnC 设设