2022年西南大学《中学代数研究》复习思考题及答案

1、（ 0772）中学代数争论复习摸索题一、填空题：1、直接保证了数学归纳法的合理性，所以也可以把数学归纳法当作公理来看待；2、无理数的定义除了无穷小数说之外，仍有、；3、为了加深对一些基本不等式的数学本质的懂得，在证明及其教学中应强调不等式的；4、目前比较广泛使用的函数概念有三种定义，分别是、；5、在一般高中数学课程标准中（试验稿），对数列内容的处理突出了、的思想；6、算法表达了数学的思想；二、简述题1 、 试 说 明 有 理 数 集 是 一 个 可 数 集 ；2 、 设 a 是 半 序 集 ， 且 定 义 了 加 法 及 乘 法 运 算 ， 试 说 明 序 关 系 “” 满 足 什 么条 件

2、才 是 大 小 关 系 ？3 、 试 说 明 复 数 为 什 么 不 能 比 较 大 小 ？4、请写出均值不等式、柯西不等式、排序不等式的一般形式，并给出它们的二维几何说明；5、方程的本质是什么？6、古希腊作图三大问题是什么？人们是怎样证明其为不行能解的，解决这些问题的基本思想方法是什么？7、任意给一个有限数列，能否找出它的通项？8、试述孙子定理及其解法原就，并举例说明该原就在其它数学理论学问中的表达；9 、数 学 概 念 教 学 的 基 本 方 式 有 哪 些 ？ 请 以 函 数 概 念 的 教 学 为 例 给 以 说 明 ，并阐 明 其 基 本 做 法 及 特 征 ；10 、 进 入21世

3、 纪 之 后 ， 我 国 新 颁 布 的 高 中 数 学 课 程 标 准 （ 实 验 稿 ） 为 什么 要 把 “ 算 法 ” 列 入 必 修 课 ？三 、 证 明题1 、假 设 自 然 数 的 加 法 交 换 律 、结 合 律 成 立 ，试 用 皮 亚 诺 公 理 体 系 证 明 ：自 然数的乘法 满足对加 法的分配 律，即对 任意自然 数a,b, cn ,有ab cacbc；2 、 证 明 任 何 一 个 有 理 数 的 平 方 都 不 等 于 5 ；3 、 证 明 e 不 是 有 理 数 ；4 、 设 a、 b、 c 为 正 数 且 各 不 相 等 ， 求 证2+2+2abbcca9ab

4、c5 、 x1，x2，xnr ，2222求 证 x1x2x2x3xxnxnx1x1x2x n四 、 计 算题1 、 求 方 程xyzxzyzyx3 的 整 数 解 ；2 、 当 xyzt1 x,y, z, t0,求 u1xyz1y zt1z tx1txy的 最 小 值 ；3 、 在 一 块 平 板 上 竖 起 三 根 柱 子 a， b， c， 另 外 ， 有 n 片 大 小 不 同 的 、 中 间 开着 小 孔 的 圆 片 ；开 始 时 ，所 有 的 圆 片 套 在a 柱 上 ，大 的 在 下 面 ，小 的 在 上 面 ；现 在 ， 在 可 借 用 第 三 根 柱 子 的 条 件 下 ， 按

5、下 列 规 就 将 圆 片 从 一 根 柱 上 移 到 另一 根 柱 上 ：（ a） 一 次 只 能 移 动 一 片 ；（ b ） 不 许 把 大 圆 片 叠 在 小 圆 片 上 ； 如 设把 a 柱 上 的 n 片 圆 片 全 部 移 到 c 柱 所 需 的 最 少 次 数 为an ； 求an （ 注 ： 至 少 用两 种 方 法 求an ， 其 中 一 种 为 母 函 数 方 法 ）4 、已 知 an 满 足 递 推 关 系 an5an 16 an 22n，且a1, a12 ，求0 an5、有 一 对 小 兔 ， 过 一 个 月 之 后 长 成 大 兔 ， 到 第 三 个 月 就 可 以

6、生 下 一 对 小 兔 ， 并 且 以 后 每 月 生 下 一 对 小 兔 ， 而 所 生 的 小 兔 ， 也 同 样 到 第 二 个 月 长 成 大 兔 ， 到 第 三 个 月 生 下 一 对 小 兔 ， 以 后 也 每 月 生 下 一 对 小 兔 ； 假 设 所 有 兔 子 均 不 死亡 ， 设 an 为 n 月 后 的 兔 子 对 数 ； 求 an （ 注 ： 至 少 用 两 种 方 法 求 an ， 其 中 一种 为 母 函 数 法 ）一、填空题：（ 0772）中学代数争论复习摸索题答案1、自然数公理（或皮亚诺公理）2、康托尔基本序列说、戴德金分割说3 几何背景4、变量说、对应说、关系

7、说5、函数思想、模型思想6、机械化二、简述题1、凡是能与自然数集一一对应的集合，称作可数集；例如，正有理数集根据如下方法排列是可数的：123451234522222123453333312345444441234555555正有理数集可数，就负有理数集可数，再加上数0，构成了可数的有理数集；2、半序集a 中的序关系“” 满 足 加 法 保 序 性 和 乘 法 保 序 性 时 ， 才 是 大 小 关 系 ；即 abacbc（ 加 法 保 序 性 ）， ab0cacbc（ 乘法 保 序 性 ）；3 、复 数 集 尽 管 按 照 字 典 排 序 法 可 构 成 一 个 序 集 ，但 这 个 序 关

8、系 不 能 同 时 满 足加 法 保 序 性 和 乘 法 保 序 性 ； 在 这 个 意 义 上 说 ， 复 数 不 能 比 较 大 小 ；4 、 均值不等式、柯西不等式、排序不等式的一般形式分别是：a1a 2.an nn a1a2 .an , 其 中a1,a2 ,.an为 非 负 数 ， 当 且 仅 当a1a2.an 时，等号成立；2nn ai i 1i 12bi nai bi i 12，其中a1 ,a 2 ,.an ,b1,b2 ,.bn为任意实数， 当且仅当a1a2b1b2.an时，等号成立；bn设有两个数列a1a 2.an , b1b2.bn，就a1bna 2 bn 1.anb1ai1

9、 bj 1ai 2b j 2.a in b jna1b1a 2b2.anbn其 中 i1,i 2,.in ,j1,j 2,.jn是1 ， 2 ，、 n的 任 意 两 个 排 列 ； 当 且 仅 当a1a2.an 或 b1b2.bn 时等号成立；三个基本不等式的二维几何说明可参看教学内容；5、方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系；所以，可从以下三方面懂得方程： （ 1）方程是一种数学思想方法，其目标是为了求未知数；（2）、解方程需要充分利用已知数和未知数之间的关系；（ 3）、方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系；6、古希腊作图三大问题是：化圆为方、倍立方体、三等分角；人

10、们通过建立解析几何，将几何问题代数化，运用代数的方法证明三大问题为不行能解；解决这些问题的基本思想方法可称为 rmi 原就（关系映射反演方法，由我国数学家徐利治提出）；7、对于任何有限数列都可以写出它的通项公式；比如：a1 ,a2 , a3 是由三项组成的数列，为求它的通项公式，只需求自变量为自然数的函数a1, a2, a3 ；f n，使它在n1,2,3取值分别为f na n2n3a n1n3a n1n2由拉格朗日插值公式得123121321233132f n就是数列的通项公式8、孙 子 定 理 ： 设m1 , m2 .mn 是 n 个 两 两 互 素 的 正 整 数 ，a1 , a2 ,.a

11、n 是 任 意 给定 的 整 数 ， 那 么 一 元 同 余 式 组xa1mod m1 xa2 mod m2 xan mod mn 必有一解，且解数为1；孙子定理的解法原就或证明是通过先构造“单因子构件”，然后凑出结果所要求得的构件；这一原就在插值理论、算子理论中都有表达；比如拉格朗日插值理论就表达了这一原就；9、假如从过程与结果的关系来说，数学概念教学有以下两种基本方式：一是重结果的数学概念讲解式教学方法，二是重过程的数学概念发觉式教学方法；前者的基本步骤如下：1、揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；2、对概念进行特别分类，揭示概念的外延；3、巩固概念，利用概念的定义进行简洁的识别活动

12、；4，概念的应用与联系， 用概念解决问题， 并建立所学概念与其他概念的联系；这种教学过程简明， 使同学可以比较直接地学习概念，节约时间， 后者在教学过程中，强调揭示数学概念的形成 过程， 让同学从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用，形式表述和符号化的运用等多方位懂得一个数学概念，代表做法是美国数学训练家杜宾斯基提出的apos 理论；以上两种方法各有利弊，发觉法更适合低年级，适合教基础概念或原理，但是缺点是太费时，课堂难以把握；讲解式教学法更适合高年级，适合教概念之间的关系，省时，但在迁移才能的培育方面不及发觉教学法；一般来说，以讲解式教学为主，活动发觉式为辅；10、算法是现代数

13、学的重要组成部分，也是运算机科学的核心和运算机技术的基础；算法在科学技术、 社会进展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的各个方面；因此，算法的基本学问已经成为现代公民必需具备的一种数学修养；所以，在2002 年颁布的高中数学课程（试验稿） 中，首次在高中数学课程中列入算法的有关内容，而且是必修部分；三 、 证 明题1、证 明 ： 对 任 意 自 然 数a, b， 当 c1 时 ，根 据 皮 亚 诺 公 理 有 ab .1aba .1b .1；假 设 ab . ca . cb . c ， 由 于 自 然 数 的 加 法 交 换 律 、 结 合 律 成 立 ， 就ab . c'ab

14、 . caba . cb . caba . cab . cba . c'b . c'所 以 ， 由 数 学 归 纳 法 ， 对 任 意 的 自 然 数a, b,c ， 有ab cacbc ；2、设5a b，其中a 和 b 是没有公因数的整数；于是可得5b 2a 2 ，由此a 2 是 5的倍数；然而，假如a 2 是 5 的倍数， a 本身必定是5 的倍数，由于5 没有大于1 的平方数；这就意味着a5c ，其中c 是某个整数；于是5b2a 2 变成5b 225c2，或者b 25c2 ；同样的争论可以证明b 必定也是5 的一个倍数； 这样 a 和 b 都是 5 的倍数， 这同它们没有

15、公因数的假设冲突；所以，5 不是有理数，即任何一个有理数的平方都不等于5；3、见教材p31.4、证 明 ： 可 用 柯 西 不 等 式 证 明 ， 待 证 不 等 式 化 为11abbc1 . 2acbb c9 ，左 端 = 11abbc1 . abc bbcca111 29 ，又 a, b,c 各 不 相 等 ， 因 此 等 号 不 成 立 ； 原 不 等 式 得 证 ；5、证明：可用 柯 西 不 等 式 证 明 ， 由222223x1x2lxn-1xnxxl2xxxxlxx2x3即证；xnx1n112n四、运算题1、解：由x,y,z 均不能为零，就有x 2 y 2y 2 z2z2 x 23

16、xyz ，由此得xyz >0.由 均 值 不 等 式 有x2 y 2y 2 z2z 2 x233 x4 y 4z43xyz3xyz， 由 此 可 得3xyz3xyz3xyz；由于 xyz>0 且 3 xyz1，但 x,y,z 均为整数，所以xyz=1, 所以， x,y,z有以下四组取值；x1x1x1x1y1,y1,y1 ,y1z1z1z1z12、条件式改写为 xyz1ux3 yz2yztztx2yzt txzty32x tx2y . x1 131 2yz111 212yzt16 .31 21ztxtx 2 y当， xyzt时， u16min33、解 ： 易 得 递 推 公 式 an

17、2an 11， 且 a 00, a11 ；（ 1 ）、 母 函 数 法 ： 设 an 的 母 函 数 为f x ，2n于 是 ，f xa 0a1xa x2a x n， 2n2 xf x2a 0x2a1x2an 1x又 有11x1xx 2xn+-得，f x2xf x11xa01 a12a01) xan2an 11 xn所 以 ，f xx1x12 x1112 x1x 2nn 01) x n ， 故 a2 n1 ；n（ 2 ）、 因 an2an 11 ， 且 a00, a11 ， 所 以a12a01a 22 a11a 32a 21an 12an 21an2 an 11即 anan 12an 1an2 12 n 1ana 0 ，2n 1再结合 an2an 11 ， 可 推 得 an2 1 ；4 、 可 用 母 函 数 法 求 解 ； 设 an 的 母 函 数 为f x ， 于 是f x5xfa0xa1x5a0 xa x 2215