第一章 连续体力学

1、大大 学学 物物 理理（农科农科）第一章第一章 液液 体体本章主要内容：本章主要内容：1、静止液体的性质、静止液体的性质 （压强，表面张力）（压强，表面张力）2、液体的流动性质、液体的流动性质 （连续性原理，伯努力方程）（连续性原理，伯努力方程）3、液体的黏滞性质、液体的黏滞性质 （牛顿黏滞定律，泊肃叶公式）（牛顿黏滞定律，泊肃叶公式）4、固体在黏滞液体中的运动、固体在黏滞液体中的运动 （斯托克公式）（斯托克公式）第一章第一章 液液 体体美国的密西西比河美国的密西西比河黄果树瀑布黄果树瀑布物质的三态物质的三态固体固体液体液体气体气体问题：固液之间的态是什么？有没有？（液问题：固液之间的态是什么

2、？有没有？（液晶）晶）三态特点：三态特点：固体：体积、形状固定，不易压固体：体积、形状固定，不易压缩；液体：不易压缩，形状不定，容易流动，缩；液体：不易压缩，形状不定，容易流动，各向同性各向同性原因：结构决定原因：结构决定结构特点：分子排列比晶体稍微松散。大多数液体都是结构特点：分子排列比晶体稍微松散。大多数液体都是以分子为基本结构单元，分子之间的键联较弱，主要是以分子为基本结构单元，分子之间的键联较弱，主要是范德瓦耳斯键。由杂乱分布的变动的微区构成。范德瓦耳斯键。由杂乱分布的变动的微区构成。液体的结构液体的结构：液体的结构特征是近程有序、远程无序。液体的结构特征是近程有序、远程无序。 液体的

3、分类液体的分类：（1）极性液体极性液体(polar liquid)：由带极性的分子组成的液体。由带极性的分子组成的液体。 这种液体分子的正负电部分不相重合而使分子具有极性。这种液体分子的正负电部分不相重合而使分子具有极性。 （2） 非极性液体非极性液体(non-polar liquid)又称范德瓦耳斯液体。又称范德瓦耳斯液体。特征是液体的分子不带电荷或没有极性特征是液体的分子不带电荷或没有极性, ,分子之间主要依靠分子之间主要依靠微弱的分子力联系起来。微弱的分子力联系起来。（3 3）金属液体金属液体(metallic liquid)(metallic liquid)：液体的导电性和导：液体的导

4、电性和导 热性都很好热性都很好 。（4 4）量子液体量子液体( (quantum liquid) ：超流体超流体(super liquid)，超流体的黏滞性很小，是一种量子化效应。超流体的黏滞性很小，是一种量子化效应。水（水（H H2 2O O ）：水分子是极性分子）：水分子是极性分子 ，是溶剂。，是溶剂。怎么描写状态？怎么描写状态？状态状态state状态参量状态参量状态方程状态方程固体（刚体，如汽车）：位置坐标，速度或动量，固体（刚体，如汽车）：位置坐标，速度或动量，牛顿方程牛顿方程液体，气体：温度（液体，气体：温度（热学热学描述）描述）、压力（、压力（力学力学描描述）述）、体积（、体积（几

5、何几何描述）描述）；液体状态方程，气体；液体状态方程，气体状态方程状态方程电子：微观粒子，态函数，不确定关系电子：微观粒子，态函数，不确定关系1.2 静止液体的力学性质静止液体的力学性质1.2.1静止液体内一点的压强静止液体内一点的压强 FFF F1 、液体压强产生的原因：重力、液体压强产生的原因：重力0dplimdSFFSS 压强定义式：压强定义式：2、静止液体内不存在剪切应力，只存在正压力静止液体内不存在剪切应力，只存在正压力物体内部的力叫应力。静止的流体无相互运动不表现出黏性，即物体内部的力叫应力。静止的流体无相互运动不表现出黏性，即不存在摩擦力（切向，剪切力），只存在法向的压应力。不存

6、在摩擦力（切向，剪切力），只存在法向的压应力。剪切力产生原因：摩擦；压应力产生原因：重力剪切力产生原因：摩擦；压应力产生原因：重力dSF上上F下下d =F FF下上（1）静止液体内一点压强各向同性）静止液体内一点压强各向同性l xynxlxpyylypxlnpnn ny yx xp pp pp p证明：静止液体内一点压强各向同性证明：静止液体内一点压强各向同性zxynxypx z yxpy z npn z n ny yx xp pp pp pmg0cos0sin1sin02cos=;sin1;(0)2xyxxnyynynxnynxynFFFpy zpn zFpx zpn zmgpx zpn z

7、x y z gnynxppppg yyppp yppmgpxzgdy-dpAByAyBABppgh高度相差高度相差h h的两点间压强差为的两点间压强差为（2）液体压强随高度的变化规律）液体压强随高度的变化规律简单证明简单证明0( +)( +)0;();BBAAyypyBABAABpyFFp x zppx zmgp x zppx zx y z gpdppy ggg dpgdyydydpgdy ppg yyppgh yppmgpxzAByAyB推论：等高的地方压强推论：等高的地方压强相等相等0ABPsPsBAPP静止流体中所有等高的地方压强相都等静止流体中所有等高的地方压强相都等ABPAPBSS例

8、题例题1-3在密度为在密度为的液体中沿竖直方向放的液体中沿竖直方向放置一个长为置一个长为a宽为宽为b的长的长方形平板，板的上边与方形平板，板的上边与水面相齐，求此板所受水面相齐，求此板所受液体压力的大小（不考液体压力的大小（不考虑液面外的大气压）虑液面外的大气压）20;12ABbdFppgh pgy pdsdFpdspadya gydyFa gydygab水闸水闸1.2.2液体的表面张力液体的表面张力液体自发收缩液体自发收缩成球的现象成球的现象它们为什么可以它们为什么可以漂在水面上漂在水面上水黾水黾shu mn 由于表面张力水面像张开的网由于表面张力水面像张开的网1.2.2液体的表面张力液体的

9、表面张力1、分子力分子力当分子间距离略大于平衡距离当分子间距离略大于平衡距离r0时，时，分子力表现为引力分子力表现为引力液体内部液体内部液体表面层液体表面层汽化层汽化层2、液体表面状况液体表面状况表面层液体分子间距比液体内部表面层液体分子间距比液体内部分子间距大，分子之间呈现引力分子间距大，分子之间呈现引力0rorFm10100r3、表面张力：、表面张力：液体液体表面表面分子间的吸引力。分子间的吸引力。因为是表面力，所以沿液面切向因为是表面力，所以沿液面切向 lflff大小大小：方向：总是与液面相切方向：总是与液面相切表面张力系数表面张力系数单位长度直线两旁液面的相互作用拉力单位长度直线两旁液

10、面的相互作用拉力，在国在国际单位制中的单位为际单位制中的单位为 N m -1 。 肥皂肥皂膜膜F液面相当弹性模，表面张力是恢复力液面相当弹性模，表面张力是恢复力边界：液体吸引力大于气体（气体引力忽边界：液体吸引力大于气体（气体引力忽略）略）内部：双向吸引力（上图）内部：双向吸引力（上图）液面上的线元将液面分成两部分，线元两边的相互拉力就是表面张力液面上的线元将液面分成两部分，线元两边的相互拉力就是表面张力液面相当弹性模液面相当弹性模表面张力是恢复力表面张力是恢复力弯曲液面的表面张力：方向沿液面弯曲液面的表面张力：方向沿液面切向切向注意：固液界面，边界是附着力注意：固液界面，边界是附着力2WF

11、xxS 0WdWSdS 增加单位表面积时，外力所需增加单位表面积时，外力所需做的做的功功f fF4.表面张力系数的意义表面张力系数的意义注意：膜有两个面注意：膜有两个面从表面能的角度定义从表面能的角度定义由能量守恒定律，外力由能量守恒定律，外力 F 所做的功完全用于克服表面张力，所做的功完全用于克服表面张力，从而转变为液膜的表面能从而转变为液膜的表面能 E 储存起来，即储存起来，即：EWS 所以所以：ES 表示增大液体单位表面积所增加的表示增大液体单位表面积所增加的表面能表面能5、液体表面张力系数的性质液体表面张力系数的性质(1) 液体自身的性质液体自身的性质 (2)表面张力系数随温度的表面张

12、力系数随温度的升高而减小升高而减小 (3) 相邻物质的化学性质相邻物质的化学性质 (4) 杂质杂质 表面张力的本质：分子之间的吸表面张力的本质：分子之间的吸引力引力表面张力系数随温度的升高而减小：分表面张力系数随温度的升高而减小：分子间距增大子间距增大减少表面张力：对污物分子的引力减小，减少表面张力：对污物分子的引力减小，使其容易脱离（肥皂、洗衣粉功能）使其容易脱离（肥皂、洗衣粉功能）表面活性物质表面活性物质：能使液体表面张力系数：能使液体表面张力系数减小的物质减小的物质（肥皂、洗衣粉）（肥皂、洗衣粉）。将质量为将质量为 m 的待测液体吸入移液管（例如钢的待测液体吸入移液管（例如钢笔的笔囊）内

13、，然后让其缓慢地流出。笔的笔囊）内，然后让其缓慢地流出。6.液滴测定法测量表面张力系数液滴测定法测量表面张力系数nmgG 所受的表面张力为所受的表面张力为：fd则有则有mgdn即即mgn d当液滴即将滴下时，表面层将在颈部发生断裂。当液滴即将滴下时，表面层将在颈部发生断裂。此时此时颈部表面层的表面张力均为竖直向上，且合颈部表面层的表面张力均为竖直向上，且合力正好支持重力。力正好支持重力。用附有目镜测微尺的望远镜测得断裂痕的直径为用附有目镜测微尺的望远镜测得断裂痕的直径为 d ，移液管中液体全部滴尽时的，移液管中液体全部滴尽时的总滴数为总滴数为 n ，则每一滴液体的重量为则每一滴液体的重量为：则

14、大水滴的面积为则大水滴的面积为 nrS2424 RS 例例1-5解解设小水滴数目为设小水滴数目为 n ，n 个小水滴的总面积为个小水滴的总面积为在融合过程中，小水滴的总体积与大水滴的体积相同，则在融合过程中，小水滴的总体积与大水滴的体积相同，则333434Rnr33rRn 表面张力系数表面张力系数 ES求求所释放出的能量所释放出的能量溶合过程中释放的能量溶合过程中释放的能量ES24(1)RRr22(44)r nR半径为半径为r =210-3mm的许多小水滴融合成一半径为的许多小水滴融合成一半径为R=2mm的大水滴时。的大水滴时。( (假设假设水滴呈球状，水的表面张力系数水滴呈球状，水的表面张力

15、系数 =73=731010-3-3N Nm m-1-1在此过程中保持不变在此过程中保持不变) ) 1.2.3拉普拉斯公式：表面张力使弯曲液面两侧压强差不等于零拉普拉斯公式：表面张力使弯曲液面两侧压强差不等于零 弯曲液面两侧压强差公式即拉普拉斯公式弯曲液面两侧压强差公式即拉普拉斯公式（Laplace formula） 拉普拉斯公式：拉普拉斯公式：附加压强附加压强向上或向下向上或向下P内内-P外外=Ps2/ppR内外凸形球面液膜凸形球面液膜 凹形球面液膜凹形球面液膜 2 /ppR内外-rP内RP外fffLaplace formula证明证明22222=sin ;sinsinsin2;2sin;/2

16、 sin/sin/;2 /oiioioioFFFFlFllllr FrFprprprprFppFrrr R ppR 2 /ppR内外rP内RP外FFF2 /ppR内外-凸形球面液膜凸形球面液膜 凹形球面液膜凹形球面液膜 问题：问题： 一个膜厚度很薄的圆形肥皂泡，假定泡内外均为空气，一个膜厚度很薄的圆形肥皂泡，假定泡内外均为空气， 泡内外的压强差为多少？泡内外的压强差为多少？（单液面（单液面-双层液面）双层液面）2 /ppR内外说明：说明：F是什么力？是什么力？附着力，固体施加的力附着力，固体施加的力为什么用液体的为什么用液体的表面张力系数？表面张力系数？分界线上附着力等于分界线上附着力等于液体

17、表面张力液体表面张力1.浸润与不浸浸润与不浸润润固体对液体附着力：固体对液体附着力：拉平液体拉平液体液体的表面张力：液体的表面张力：收缩成球收缩成球附着力大于表面张附着力大于表面张力：浸润力：浸润表面张力大于附着表面张力大于附着力：不浸润力：不浸润1.2.4毛细现象毛细现象受力：边界：附着力受力：边界：附着力大于表面张力大于表面张力内部：双向吸引力抵消内部：双向吸引力抵消1 、浸润与不浸润、浸润与不浸润接触角接触角：在液体与在液体与固体接触处，作液固体接触处，作液体表面的切线与固体表面的切线与固体表面的切线，这体表面的切线，这两条切线两条切线通过液体通过液体内部内部所成的角度所成的角度称为称为

18、“接触角接触角”。 1.2.4毛细现象毛细现象2/液体润湿固体液体润湿固体2/液体不润湿固体液体不润湿固体0完全润湿完全润湿完全不润湿完全不润湿润湿不润湿根据拉普拉斯公式：浸润时上升，不浸润下降根据拉普拉斯公式：浸润时上升，不浸润下降浸润液体在细管里上升浸润液体在细管里上升凹：内部压强小（小于外凹：内部压强小（小于外边大气压），液面上升依边大气压），液面上升依靠重量补充压强靠重量补充压强不浸润液体在细管里下降不浸润液体在细管里下降凸：内部压强大（大于外边大凸：内部压强大（大于外边大气压），外边液面上升依靠重气压），外边液面上升依靠重量补充压强量补充压强毛细现象的例子毛细现象的例子下雨后，人走过

19、潮湿的泥地，在地面上留下下雨后，人走过潮湿的泥地，在地面上留下的脚印里会渗出水来的脚印里会渗出水来建房子时在地基上铺防潮毡建房子时在地基上铺防潮毡 画国画，毛笔由于有毛细管可吸较多墨汁，画国画，毛笔由于有毛细管可吸较多墨汁，宣纸由于毛细管的作用能使墨汁迅速散布开宣纸由于毛细管的作用能使墨汁迅速散布开来来2、毛细现象、毛细现象浸润液体在细管里上升和不浸润液体在细管里下浸润液体在细管里上升和不浸润液体在细管里下降的现象，称为毛细现象降的现象，称为毛细现象 毛细现象毛细现象应用：计算毛细管内的液柱高度应用：计算毛细管内的液柱高度RrABhgrcos2gR2h/R2ghppghpp/R2-pp0ABA

20、0B1.2 1.2 小小 结结1 1、静止流体内压强分布、静止流体内压强分布 2 2、流体的、流体的表面张力及表面张力系数表面张力及表面张力系数 2/ppR内外2 /ppR内外-3、拉普拉斯公式、拉普拉斯公式（Laplace formula） ： 4、毛细公式、毛细公式grcos2h1.3 液体的流动性质液体的流动性质状态参量：压强和速度状态参量：压强和速度t)z,y,(x,vvz)y,(x,vv2、定常流动、定常流动1、理想流体、理想流体(理想化模型理想化模型) 不可压缩、无黏性的流体不可压缩、无黏性的流体一、基本概念一、基本概念(稳定流动稳定流动)流速场：流线切线表示方向；疏密表示大小流速

21、场：流线切线表示方向；疏密表示大小（同电场、磁场）（同电场、磁场）3、流线、流线在流速场中画许多曲线，使曲线上每一点的在流速场中画许多曲线，使曲线上每一点的切线方向与位于该点处的流体微团的速度方切线方向与位于该点处的流体微团的速度方向一致，这种曲线称流线向一致，这种曲线称流线4、流管、流管流体内部某一截面流线所围成的细管。流体内部某一截面流线所围成的细管。流线不会相交，因为同一时刻一点的流速不可能有两个方向流线不会相交，因为同一时刻一点的流速不可能有两个方向流线不会中断：连续体流线不会中断：连续体不同障碍物下流线分布：驻点不同障碍物下流线分布：驻点二、连续性原理二、连续性原理s1v2v1tv1

22、v2ts2tvSQm如果流如果流 体不可压缩体不可压缩 ,则流体则流体各处密度不变。根据各处密度不变。根据质量质量守恒守恒，流进流管的流体质，流进流管的流体质量等于流出流管的流体质量等于流出流管的流体质量量常量vS质量流量质量流量tt2211SvSvtVvsQV体积流量体积流量(单位：单位：m3/s)三、伯努利方程三、伯努利方程（1738年推出） 伯努利方程是流体动力学的基本定律，它说明了理伯努利方程是流体动力学的基本定律，它说明了理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某点的压强想流体在管道中作稳定流动时，流体中某点的压强p p、流速流速v v和高度和高度h h三个量之间的关系为三个量之间的关系

23、为式中式中 是流体的密度，是流体的密度，g g是重力加速度。是重力加速度。试用功能原理导出伯努利方程。试用功能原理导出伯努利方程。21pvgh2 常 量bv1aap1s1bv2p2s21、研究对象：取一段细流管，研究经过、研究对象：取一段细流管，研究经过 时间流体微团时间流体微团自自ab运动到运动到ab过程中功的变化过程中功的变化2、受力分析：管壁，前面流体，后面流体、受力分析：管壁，前面流体，后面流体3、应用功能原理、应用功能原理：先求外力做功先求外力做功:dtvsp-dtvspAAA22211121外再求流体微团的能量变化再求流体微团的能量变化由连续性原理，有由连续性原理，有Vdtvsdt

24、vs2211故故Vp-pA21外)ghv()ghv(V)mghmv()mghmv(EE1212212221221212121212taabbbaaabbbaE-E)E(E- )E(E)21()21()(12122212ghvghvVVpp222121122121ghvpghvp从功能原理得从功能原理得整理后得整理后得公式含义分析：表明在惯性系中，理想流体在重力作公式含义分析：表明在惯性系中，理想流体在重力作用下作定常流动时，同一流管中任意一点处，流体每用下作定常流动时，同一流管中任意一点处，流体每单位体积的动能和势能以及该处压强之和是个常量。单位体积的动能和势能以及该处压强之和是个常量。常量g

25、hvp221伯努利方程伯努利方程对作稳定流动的理想流体，用这个方程对确定流体对作稳定流动的理想流体，用这个方程对确定流体内部压力和流速有很大的实际意义，在水利、造船、内部压力和流速有很大的实际意义，在水利、造船、航空等工程部门有广泛的应用。航空等工程部门有广泛的应用。伯努利方程首次以动能与压强、势能相互转换的形式确定了流体伯努利方程首次以动能与压强、势能相互转换的形式确定了流体运动中速度与压强之间的关系，揭示了流体运动中的一条普遍规运动中速度与压强之间的关系，揭示了流体运动中的一条普遍规律，在流体动力学理论上具有重要意义律，在流体动力学理论上具有重要意义（单位体积的）动能（单位体积的）动能+位

26、能位能+压能压能=常数（沿流线）常数（沿流线）应用条件：定常流动；理想流体应用条件：定常流动；理想流体伯努利方程伯努利方程1.3.4伯努利方程的应用伯努利方程的应用 1、空吸作用、空吸作用 水流抽气机水流抽气机2、汾丘里管、汾丘里管3、皮托管、皮托管4. 射流速率射流速率1、空吸作用空吸作用常量Sv原理：原理：SB VB PB 当当PB P0 时，产生空吸现象时，产生空吸现象（喷雾器）。（喷雾器）。AB212Pv 常量 2、汾丘里管、汾丘里管 (Venturi tube) 流速与流量的测量流速与流量的测量12122222212121211221212122222121222=;=22PPg h

27、vSSSSSSPPg h Qv Sv SPPg hQS SS SSSSS2221212121PvPv流速流速流量流量原理原理：1 122=S vS v常量3、皮托管、皮托管（Pitot tube)原理：原理： 2122AABBAAvPPPPghvgh 4.射流速度 一大容器中一大容器中 盛有水，其盛有水，其 侧壁下方开侧壁下方开 有小孔，求：有小孔，求： 水从小孔中水从小孔中 流出的速度流出的速度。取a、b截面处列伯努利方程bbbaaaPghPgh222121由连续原理由连续原理 Sava=Sbvb ， 因因SaSb， va0 又Pa=Pb=P0，且hb=0 ha=hbaaaSvvS221bg

28、hghvb2上式表明小孔流速与自由落体的速度具有同上式表明小孔流速与自由落体的速度具有同样的表达形式，称为样的表达形式，称为托里拆利托里拆利定理定理(Torricellis theorem)1.4 液体的黏滞性质液体的黏滞性质一、牛顿黏滞定律一、牛顿黏滞定律1、黏滞力：存在于液体内部，阻碍、黏滞力：存在于液体内部，阻碍相互接触的液层发生相对运动的力。相互接触的液层发生相对运动的力。中央快，两边慢中央快，两边慢上边快，下边慢上边快，下边慢2、牛顿黏滞定律、牛顿黏滞定律sdydvf黏滞系数黏滞系数大小的影响因素大小的影响因素：切应力切应力、速率变化率、速率变化率非牛顿型液体非牛顿型液体温度、液体成

29、分牛顿型液体温度、液体成分牛顿型液体(牛顿黏滞定律能适用的液体牛顿黏滞定律能适用的液体)yYv1v2ydvdyvy0lim1 .速度梯度速度梯度2.粘滞定律：粘滞定律：粘滞力粘滞力f单位单位:SI制制:帕帕.秒秒saPCGS制制 :泊泊p1p=0.1saP液体t/C/(Pa.s)气体t/C/(Pa.s)水20空气20水银20水蒸汽100酒精20二氧化碳20轻机油15氢20重机油15氦20一些液体和气体的粘度一些液体和气体的粘度31001. 131055. 131020. 13103 .11310666101 .186107 .126107 .146109 . 86106 .19二、泊肃叶公式：

30、具有粘性的液二、泊肃叶公式：具有粘性的液体在圆形管道中的性质体在圆形管道中的性质Rr+drrp1p2ff+dfvl1、泊肃叶速度方程、泊肃叶速度方程：2221r-Rl4p-pvRr+drr2、泊肃叶（体积）流量公式、泊肃叶（体积）流量公式421vRl8p-pq讨论：讨论：1、最大流速：最大流速：当当 时时, , 得得0r 221mRl4p-pv2、平均流速、平均流速：m221vv21Rl8p-pSqv3、毛细管法测液体黏滞系数、毛细管法测液体黏滞系数421VRl8p-pQ由由ghp-p21可得可得QvlRgh841.5 物体在黏滞液体中的运动物体在黏滞液体中的运动一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式 （小球在液体中受到的粘滞力）（小球在液体中受到的粘滞力）rv6f1、沉降法求液体黏滞系数、沉降法求液体黏滞系数2. 离心分离技术离心分离技