第一章_近世代数基本概念

1、近世代数基础近世代数基础(Abstract Algebra) 近世代数以群、环、域等代数系统近世代数以群、环、域等代数系统为其基本内容。它对高等代数中出现的为其基本内容。它对高等代数中出现的数域、多项式、矩阵、线性空间等概念数域、多项式、矩阵、线性空间等概念进一步概括，具有抽象的特点，适宜于进一步概括，具有抽象的特点，适宜于培养学生抽象思维和逻辑推理的能力。培养学生抽象思维和逻辑推理的能力。它不仅是将来学习代数的一个入门，而它不仅是将来学习代数的一个入门，而且与其它学科，如几何、拓扑、泛函和且与其它学科，如几何、拓扑、泛函和有限数学等有密切联系有限数学等有密切联系. .第一章 基本概念 近世代

2、数的主要内容是研究所谓近世代数的主要内容是研究所谓代数系统代数系统,即带有运算的集合。近世代即带有运算的集合。近世代数在数学的其他分支和自然科学的许数在数学的其他分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用。近半个世多部门里都有重要的应用。近半个世纪以来，它的一些成果更被直接应用纪以来，它的一些成果更被直接应用于某些新兴的技术。于某些新兴的技术。 在这一章里，我们先把常要用到在这一章里，我们先把常要用到的基本概念介绍一下。为了完整起见的基本概念介绍一下。为了完整起见,有些不得不有所重复。有些不得不有所重复。 n1.集合n2.映射n3.代数运算n4.结合律n5.交换律n6.分配律n7.一一映射、变换

3、n8.同态n9.同构、自同构n10.等价关系与集合的分类第一章 基本概念1.集合集合:若干个固定事物的全体.它用大写字母 A,B,C, 来表示。元素:组成一个集合的事物.它用小写字母 a,b,c, 来表示。如A=a,b,c, 集合与元素的关系：若a是A的一个元素，则说a属于A，或说包含a，记为 ;若a不属于A,或说A不包含a,记为 . 空集合:一个没有元素的集合.子集:若集合B的每一个元素都属于集合A,则说B是A的子集.记为 ;否则,B不是A的子集.aAaABABA空集合是任何集合的子集.真子集:若B是A的子集,且至少有一个A的元素不属于B,则说B是A的真子集;否则,B不是A的真子集.集合相等

4、: ,A BAB BA 若 ,则说a 是A和B共同元:,aAa BA和B的交集:,A Baa Aa B1.集合并集ABa aA或aB集合的积1212(,)nniiAAAa aaaA例1 , 则 , 则 空集合.1,2,3,2,5,6AB1,2,3,4,5,6AB2AB A B1.集合2.映射映射:12121212121212(,)(),(,);(,)(,)(,)nniinnnnna aaAAA aAAAADa aaa aada aada aa如果通过一个法则唯一的dD,则 叫做到 的一个映射;d叫做在 之下的象叫做 在 下的一个逆象.用符号表示: 例1 1222212121212(,)(,)n

5、nnnnAAADRaaaaaaaaaAAAD: 是 一 个到的 映 射 .例2 A=东,南, B=南, D=高,低. : ()()AB西 ,南高 =西 ,南不 是 一 个到 D的 映 射 .例3 A=D=R.2:,11,1aaabbAD若不 是 一 个到的 映 射 .2.映射映射定义要注意以下几点:1.集合 可以相同;2. 的次序不能掉换;3. 映射一定要替每一个元规定一个象;4. 一个元只能有惟一的象;5. 所有的象都必须是D的元. 12,nA AAD12,nAAA相同映射:1212121211221212(,)(),(,)(,),nnniinnAAADaaaAAAaAaaaaaa和都 是到

6、的 映 射 .有则 说和是 相 同 的 两 个 映 射 .2.映射3.代数运算一个AB到D的映射叫做一个AB到D的代数运算.代数运算是一种特殊的映射,用表示.:(,)(,)(,):(,)a bda ba baba bdab可 写 成例1.A=所有整数 , B=所有不等于整数, D=所有有理数:(,)aababbABD是一 个到的 代 数 运 算 ,也 就 是 一 个 普 通 的 除 法 .注意:当A=B的时候,AB=BA,但不是,aA bB有ab=ba在A和B都是有限集的时候,一个AB到D的代数运算常用一个表来表示.例 1, 2 ,1, 2 ,:(1,1), ( 2 , 2 )(1, 2 ),

7、 ( 2 ,1)ABDa baaab用 运 算 表 来 表 示 是1 212a ab aAAA若是 一 个到的 代 数 运 算 ,则 说 集 合 A 对 于是 闭 的 ,也 说是 A 的 代 数 运 算 或 二 元 运 算 .3.代数运算4.结合律一个集合A的代数运算 适合结合律,假如, ,a b cA都有()()a bcab c如果对于A的n(n2)个固定的元 所有的 都相等,我们把这个惟一的结果用 12.naaa 来表示12()naaa12,naaa5.交换律一个AA到D的代数运算 适合交换律,如果,a bA都有ab=b a.如果集合A的代数运算同时适合结合律与交换律, 则在 里,元的次序

8、可以交换.12naaa 是一个BA到A的代数运算, 是一个A的代数运算.若 , 对于B的任何b,A的任何 ,都有 则说 , 适合第一分配律.类似地可定义第二分配律.如果 适合结合律, , 适合第一分配律,则6.分配律1212()()()baababa1211,()()()nnnbBa aaAbaababa 都有12,a a7.一一映射、变换映射则:,AAaAaAa 使得 (a)=AA叫 做 一 个到的 满 射 .一个A到 有 叫做一个单射, 如果A的 映 射:aa,abab一个既是满射又是单射的映射叫做一一映射.一个一一映射有一个也是一一映射的逆映射.一个A到A的映射叫做A的一个变换.相应地,

9、 有满射变换、单射变换和一一变换的概念。如果对于代数运算 有一个A到 的满射的同态映射存在,则说这个映射是一个同态满射,并说,A与 同态. 8.同态和:,.AAAAa bAaa bbababAA和分别是 和 的代数运算如果只要就有则说 是 到 的同态映射AA如果对于代数 , A和 同态,则 若 适合结合律, 也适合结合律, 若 适合交换律, 也适合交换律和A设,AAAA和分别是 和 的代数运算是 到 的满射 且对于和和同态 则若适合第一 二分配律也适合第一 二分配律.8.同态9.同构、自同构,.AAAAa bAaa bba babAAAAAA是 与 间的一一映射和分别是 和的代数运算 如果只要

10、就有则说 是 与 间的同构映射并说 与 同构,记为若两个集合同构，抽象地来看，没有本质的区别，只是命名上的不同。若一集合有一个只与这个集合的代数运算有关的性质，则另一个集合有一个完全类似的性质。对于与来说的一个A与A间的同构映射叫做一个对于的A的自同构。例 A=1，2，3.代数运算由下表给定:1 2 31233 3 33 3 33 3 3则:12, 21, 33是一个对于的A的自同构.9.同构、自同构10.等价关系与集合的分类一个AA到D=对,错的映射R叫做A的元间的一个关系.若R(a,b)=对,则a与b符合关系R,记为aRb.若R(a,b)=错,则a与b不符合关系R.集合A的元间的一个关系R满足:.反射律:.对称律:.推移律:则称R是一个等价关系,记为.若a b,则说a与b等价.,.aA aRa aRbbRa,aRb aRcaRc若把一集合A分成若干个叫做类的子集,使得A的每一个元属于且只属于一个类,则这些类的全体叫做A的一个分类.集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系,反之也成立.一个集合的一个类中的任何一个元叫做这个类的一个代表.刚好由每一类的一个代表作成的集合叫做一个全体代表团.10