矩阵分析考试重点

1、第一章第一章 线性空间和线性变换线性空间和线性变换主要掌握以下内容：主要掌握以下内容：1、能给出常见线性空间的基；、能给出常见线性空间的基； 会求一个向量在给定基下的坐标；会求一个向量在给定基下的坐标； 会求两组基的过渡矩阵会求两组基的过渡矩阵R3R(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)例例 1 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 的一组基的一组基10010000,00001001 R2 2R例例 2 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中的一组基中的一组基21, ,nx xx例例 3 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中的一组基中的一组基R nR x1212,nnP 习

2、题习题1-5 121212,|V VVVVa aVaV设是线性空间 的两个子空间，=且交空间12121122|VVaaaaVaV且和子空间和子空间2、会求两个子空间的交空间、和空间的基与维数、会求两个子空间的交空间、和空间的基与维数定理定理：设112,sVspan a aa,212kVspan , ,121212,skVVspan a aa ,则：习题习题1-7 2l1l2l3、能给出线性映射（线性变换）在给定基下的矩、能给出线性映射（线性变换）在给定基下的矩 阵表示阵表示; 会求线性映射的值域空间及核空间的基与维数会求线性映射的值域空间及核空间的基与维数1212()(,)Anmaaa ， ，

3、 ，12121212,nma aaVVVV A设 ,， ，分别是 ，的为 在相应基基，是的线性映下的矩阵射，表示,则112( )( (), (), ()( )(nRspanaaadimNdimRdimV定理：（1）（2）121( )= (|RVVV 定义：) （ ）( )dimR 的值域，称为 的秩11( )|0NV (0) （ ） dim( )N 的核，称为 的零度122,dimVVnVm1设 ：的线性映射，dimV121212,nma aaV V 与分别为的基，1nm n在这对基下的矩阵为A=( , ,),则1212( ),mmnRspan 1（）（）12 |0,R ( )nnx AAxx

4、xxxN1212(,)(nnxNxxx4、会计算线性变换的特征值与特征向量、会计算线性变换的特征值与特征向量fA设线性变换 的矩阵表示为 ，则 是是 的特征值的特征值 是是 的特征值的特征值 0f0A12120 (,),nnxxfx 是的属于的特征向量120 nxxAx是的属于的特征向量第二章第二章 矩阵与矩阵的矩阵与矩阵的Jordan标准形标准形 主要掌握以下内容：主要掌握以下内容：1、会求、会求 矩阵的矩阵的Smith标准形：标准形：（1）初等变换法）初等变换法 （2）行列式因子法）行列式因子法 （3）初等因子法）初等因子法2、会求、会求 矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子矩阵的行列式因

5、子、不变因子、初等因子3、会求数字矩阵、会求数字矩阵A的的Jordan标准形标准形J及其变换矩阵及其变换矩阵P：（1）初等变换法）初等变换法 （2）矩阵秩的方法）矩阵秩的方法4、掌握证明两个矩阵相似的方法：、掌握证明两个矩阵相似的方法：（1）有相同的）有相同的行列式因子（行列式因子（2）有相同的不变因子（）有相同的不变因子（3）有相同的初等因子有相同的初等因子5、会用、会用Jordan标准形求矩阵的幂标准形求矩阵的幂2-2设，证明：阶矩阵与相似。11aaAanaaBa0证明：计算A的行列式因子。显然下面看阶行列式因子。有一个阶子式要注意，即( )()nnDa1n 1n 111( 1)1naa

6、容易计算出从而121121( )( )( )1( )1,( )1,( )1,( )()nnnnDDDdddda1( )1nD同理可计算出B的行列式因子及不变因子也是121121( )( )( )1( )1,( )1,( )1,( )()nnnnDDDdddda所以A与B相似。2-3设证明阶矩阵与不相似。n11aaAa11aaBa011det(-)() ,( )() ,det(-)()( 1)()( 1)()( )(),nnnnnnnnnAIAaDaBI BaaDaABnAB 证明：对矩阵 而言，因故对矩阵 而言,因故所以 与 的第 阶行列式因子不相同，从而 与 不相似。正整数使得，证明：与对角

7、矩阵相似且主对角线上的元素均为次单位根。证明：设的Jordan标准形为nnAInAA1211,1iiitiJJJJJ 2-5设为数域上的阶方阵且存在AFn即有可逆矩阵使得由于，所以有从而有Q1Q AQJnAI111()nnnJQ AQQ A QQ IQIninniikniJI因此，只有当为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立，这样有，这表明为对角矩阵，所以与对角矩阵相似。iJ1niJA282-6设为数域上的阶方阵且满足，证明：与对角矩阵相似。AFn2AAA1100J即有可逆矩阵使得由于，所以有Q1Q AQJ2AA212121()JQ AQQ A QQ AQJ证明：设的Jordan标准形为A1211,

8、1iiitiJJJJJ 从而即2,1,2, .iiJJit2222112112iiiiiiiii 因此，只有当为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且，所以有这说明为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为1或0，适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵iJ2ii1,0iiJ1100此矩阵仍然与相似。A作业2-9试写出Jordan标准形均为的两个矩阵。1212解答：2212,1,2122abc 这里为任意的非零数。, ,a b c第三章第三章 内积空间，正规矩阵与内积空间，正规矩阵与Hermite矩阵矩阵主要掌握以下内容：主要掌握以下内容：1、会用欧氏空间、酉空间的定义去证明；、会用欧氏空间、酉空间的

9、定义去证明；2、掌握内积、长度、夹角、正交的定义及性质；、掌握内积、长度、夹角、正交的定义及性质；3、掌握标准正交基的定义及、掌握标准正交基的定义及Schmidt正交化方法；正交化方法；4、掌握以下矩阵的定义、性质、掌握以下矩阵的定义、性质、结构定理结构定理： 酉矩阵、实正交矩阵、酉矩阵、实正交矩阵、Hermite与反与反Hermite矩矩 阵、实对称与反对称矩阵正规矩阵、正定与半阵、实对称与反对称矩阵正规矩阵、正定与半 正定矩阵正定矩阵5、掌握以下线性变换的定义、性质及与相应矩阵、掌握以下线性变换的定义、性质及与相应矩阵 的关系：的关系： 酉变换、正交变换、酉变换、正交变换、Hermite变

10、换、对称与反对变换、对称与反对 称变换、正规变换、正定二次齐次称变换、正规变换、正定二次齐次 3-17 设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 是一是一个反个反H-阵阵, 证明证明: 与与 的特征值实的特征值实部为零部为零. 证明证明: 设设 为矩阵的任意一个特征值为矩阵的任意一个特征值, 那那么有么有 . 由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵, 所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵 使得使得将其代入上面的特征多项式有将其代入上面的特征多项式有ABABBA0IABAQHAQ Q1110()()()HHHHHHHHHHIABIQ QBQQQ QBQQQIQBQQIQBQ这说明这说明 也是矩阵也是

11、矩阵 的特征值的特征值. 另一方另一方面注意矩阵面注意矩阵 为为H-反阵反阵, 从而从而 实部实部为零为零.同样可以证明另一问同样可以证明另一问. HQBQHQBQ习题习题3-19 设设 是一个半正定的是一个半正定的H-阵且阵且 证明证明: 证明证明: 设设 为为 的全部特征值的全部特征值,由由于于 是半正定的是半正定的, 所以所有的所以所有的 .而且由于而且由于 ，一定存在某个特征值大于，一定存在某个特征值大于0，于是有，于是有 A0A 1AI12,n AA0i12(1)(1)(1)1nAI0A 习题习题3-20 设设 是一个半正定的是一个半正定的H-阵且阵且 是一个正定的是一个正定的H-阵

12、阵, 证明证明: 证明证明: 由于由于 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 所以存在所以存在可逆矩阵可逆矩阵 使得使得这样有这样有0A BABBAQBHBQ Q1111()()HHHHABAQ QQQAQI QB QAQI注意矩阵注意矩阵仍然是一个半正定的仍然是一个半正定的H-阵阵, 有上面的例题可有上面的例题可知知从而从而11()HQAQ11()1HIQAQ11()HABB QAQIB 3-21 设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 且又是酉矩且又是酉矩阵阵, 则则证明证明: 由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵, 所以必存在所以必存在AAIA酉矩阵酉矩阵 使得使得12,0HinAUU

13、Rn nUU由于由于 又是酉矩阵又是酉矩阵, 所以所以A1i这样必有这样必有 , 从而从而1iAI 3-22 证明：证明： （1） 半正定半正定H-矩阵之和仍然是半正定矩阵之和仍然是半正定的的; （2） 半正定半正定H-矩阵与正定矩阵与正定H-阵之和是阵之和是正定的正定的; 证明证明：设：设 都是半正定都是半正定H-阵，那么阵，那么二者之和二者之和 仍然是一个仍然是一个H-阵，其对应阵，其对应的的Hermite二次型为二次型为 其中其中,ABAB12()(),(,)HTnf XXAB XXx xx由于由于 都是半正定都是半正定H-矩阵，所以对于矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数任意一组不全为零的复数我们有我们有这说明这说明 为一个半正定为一个半正定H-阵。阵。 类似地，可以证明另外一问。类似地，可以证明另外一问。,AB12,nx xx()()0HHHf XXAB XXAXX BXAB习题习题3-23 设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 是一是一个反个反H-阵阵, 证明证明: 是可逆矩阵是可逆矩阵.证明证明: 由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵, 所以存在可所以存在可逆矩阵逆矩阵 使得使得这表明这表明 是可逆的是可逆的. 于是于是另一方面注意矩阵另一方面注意矩阵 仍然为正定仍然为正定H-阵阵, 而而矩阵矩阵 为为H-反阵反阵, 由上面的例题结论可知由上面的