第3章水动力学基础

1、第第 3 章章 水动力学基础水动力学基础（ Basic Hydrodynamics) 水动力学是以动力学的理论和方法研究液体的机械水动力学是以动力学的理论和方法研究液体的机械运运动规律。动规律。3.1 液体运动的描述方法液体运动的描述方法与固体不同，由于液体质点间存在着相对运动，如何与固体不同，由于液体质点间存在着相对运动，如何用数学物理方法来描述液体的运动是从理论上研究液体运用数学物理方法来描述液体的运动是从理论上研究液体运动的首要问题。通常有拉格朗日法和欧拉法两种方式。动的首要问题。通常有拉格朗日法和欧拉法两种方式。3.1.1 拉格朗日法（拉格朗日法（J.Lagrange）拉格朗日法拉格朗

2、日法把液体的运动看成是无数质点运动的总把液体的运动看成是无数质点运动的总和，以个别质点作为研究对象加以描述，再将各质点的运和，以个别质点作为研究对象加以描述，再将各质点的运动汇总起来，就得到整个流动的运动规律。动汇总起来，就得到整个流动的运动规律。又称为质点系法。又称为质点系法。xzyO M （a，b，c）（t0）（x，y，z）t( , , , )( , , , )( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t若给定若给定a a，b b，c c，即为某一质点的，即为某一质点的运动轨迹线方程。运动轨迹线方程。( , , , )( , , , )( , , , )x

3、yzxx a b c tuttyy a b c tuttzz a b c tutt液体质点在任意时刻的速度。液体质点在任意时刻的速度。返回拉格朗日法是固体力学常用的方法，此法中运动轨迹、拉格朗日法是固体力学常用的方法，此法中运动轨迹、速度、加速度之间的关系可表示为：速度、加速度之间的关系可表示为：txuxtyuytzuz22xxtxtua22yytytua22zztztua由于液体的运动轨迹比较复杂，此法描述比较困难，因由于液体的运动轨迹比较复杂，此法描述比较困难，因此故除个别流动（波浪运动）外，一般不采用。此故除个别流动（波浪运动）外，一般不采用。3.1.2 欧拉（欧拉（Euler）法）法欧

4、拉法欧拉法以充满液体的空间，即流场为对象，观察不同以充满液体的空间，即流场为对象，观察不同时刻流场中各空间点上液体质点的运动参数（流速等），将时刻流场中各空间点上液体质点的运动参数（流速等），将其汇总起来，就形成了对整个流场的描述。其汇总起来，就形成了对整个流场的描述。又称为流场法又称为流场法xzyO M （x，y，z）t时刻( , , , )( , , , )( , , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t若x，y，z为常数，t为变数，若t 为常数， x，y，z为变数，( , , , )( , , , )( , , , )xxyyzzdux y z tad

5、tdux y z tadtdux y z tadt质点通过流场中任意点的加速度返回欧拉法的运动参数例如：欧拉法的运动参数例如：tzyxuu,xxtzyxuu,yytzyxuu,zztzyxpp,tzyx,式中式中x，y，z 为流场中的空间坐标，为流场中的空间坐标，t 为时间。为时间。于同一质点来说，又是时间的函数。因此加速度需采用复合于同一质点来说，又是时间的函数。因此加速度需采用复合函数求导数的方法求出，即函数求导数的方法求出，即由于由于 x，y，z 为液体质点在为液体质点在 t 时刻的运动坐标，故对时刻的运动坐标，故对ytzzutyyutxxututuaddddddddxxxxxxzuuy

6、uuxuutuxzxyxxx同理同理上式为欧拉法描述液体运动中质点加速度的表达式，其中上式为欧拉法描述液体运动中质点加速度的表达式，其中为某空间点速度随时间的变化率，称为为某空间点速度随时间的变化率，称为时变加速度或当地加速度；其他各项则是该空间点速度由时变加速度或当地加速度；其他各项则是该空间点速度由空间点位置变化所引起的加速度，称为位变加速度或迁移空间点位置变化所引起的加速度，称为位变加速度或迁移zuuyuuxuutuaxzxyxxxxzuuyuuxuutuayzyyyxyyzuuyuuxuutuazzzyzxzz,xtu,ytutuz加速度加速度。例如，水箱里的水经水管流出例如，水箱里的

7、水经水管流出水箱水位下降，两水箱水管中均有时变加速度；水箱水位下降，两水箱水管中均有时变加速度；水箱水位恒定不变，水箱水位恒定不变，两水箱水管中均两水箱水管中均无时变加速度；无时变加速度；前面水箱水管管径不变，前面水箱水管管径不变，A、B两点速度相同，无位变加速度；两点速度相同，无位变加速度；ABAB后面水箱水管管径变化，后面水箱水管管径变化，A、B两点速度不同，有位变加速度。两点速度不同，有位变加速度。3.2 欧拉法的基本概念欧拉法的基本概念 （ 1）恒定流和非恒定流（）恒定流和非恒定流（steady and unsteady flows） 恒定流恒定流流场中各空间点的运动要素（流速等）均不

8、流场中各空间点的运动要素（流速等）均不随时间变化的流动，反之为非恒定流。对于恒定流随时间变化的流动，反之为非恒定流。对于恒定流zyxuu,xxzyxuu,yyzyxuu,zzzyxpp,zyx,恒定流时，时变加速度为零。恒定流时，时变加速度为零。前面的例子中，水箱水位不变为恒定流。前面的例子中，水箱水位不变为恒定流。 （ ）一元、二元和三元流动）一元、二元和三元流动 （one / two / three dimensional flows） 流动参数（如流速）是三个空间坐标的函数，流动是流动参数（如流速）是三个空间坐标的函数，流动是三元的。其他依此类推。三元的。其他依此类推。 .下面的流动中哪

9、个是恒定非均匀流？（ ） A.湖中绕等速行驶的船只的水流 B.水位不平稳时绕过桥墩的水流 C.水箱水位下降过程中流经长直管道的水流 D.水箱水位稳定时流经渐扩管的水流 （3）流线）流线 为形象地描述流动，特引入流线的概念。为形象地描述流动，特引入流线的概念。 流线（流线（stream line）流场中的空间曲线，在同一瞬时流场中的空间曲线，在同一瞬时线上各点的速度矢量与之相切。线上各点的速度矢量与之相切。两流线不能相交或为折线，而是光滑曲线或两流线不能相交或为折线，而是光滑曲线或直线。直线。u1u2u3 某时段内，液体质点经过的轨迹称迹线（某时段内，液体质点经过的轨迹称迹线（path line

10、）。）。 迹线与流线是完全不同的两个概念。恒定流时，流线迹线与流线是完全不同的两个概念。恒定流时，流线与迹线重合。与迹线重合。 流线的基本特性：1.恒定流时，流线的形状与位置不随时间而改变，流线与迹线重合。2.非恒定流时，流线的形状与位置随时间而改变，即流线一般只有瞬时意义，迹线与流线一般不重合。3.流线不能相交或转折。 （4）均匀流和非均匀流）均匀流和非均匀流（uniform and nonuniform flows） 流线为平行直线的流动为均匀流，否则为非均匀流。流线为平行直线的流动为均匀流，否则为非均匀流。 按流线是否为彼此按流线是否为彼此平行平行的的直线直线均匀流均匀流渐变流渐变流急变

11、流急变流非均匀流非均匀流前面例子中，等直径管内的流动为均匀流动，变直前面例子中，等直径管内的流动为均匀流动，变直径管内的流动为非均匀流。径管内的流动为非均匀流。流线图流线图均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流非均匀流渐变流急变流急变流急变流返回返回返回均匀流、渐变流过水断面的重要特性均匀流、渐变流过水断面的重要特性均匀流是流线为彼此平行的直线，应具有以下特性：均匀流是流线为彼此平行的直线，应具有以下特性：返回过水断面为平面，且过水断面的形状和尺寸沿程不变；过水断面为平面，且过水断面的形状和尺寸沿程不变；同一流线上不同点的流速应相等，从而各过水断面上同一流线上不同点的流速应相等，从而

12、各过水断面上的流速分布相同，断面平均流速相等；的流速分布相同，断面平均流速相等；均匀流（包括渐变流）过水断面上的动水压强分布规律均匀流（包括渐变流）过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布规律相同，即在与静水压强分布规律相同，即在同一过水断面上各点的同一过水断面上各点的测压管水头为一常数；测压管水头为一常数；推论推论：均匀流过水断面上动水总压力的计算方法与静水总均匀流过水断面上动水总压力的计算方法与静水总压力的计算方法相同。压力的计算方法相同。 （5）元流与总流）元流与总流 流场中取一非流线的封闭曲线，通过曲线上各点的流流场中取一非流线的封闭曲线，通过曲线上各点的流线所构成的管状表面称为流管

13、。线所构成的管状表面称为流管。 由于流线不能相交，所以由于流线不能相交，所以液体不能从流管的侧壁流入或液体不能从流管的侧壁流入或流出。恒定流时，流管形状保流出。恒定流时，流管形状保持不变。持不变。 与流管上所有流线都正交的横断面称为过水断面（与流管上所有流线都正交的横断面称为过水断面（cross section）。流线相互平行时，过水断面为平面，否则为曲）。流线相互平行时，过水断面为平面，否则为曲面。面。 过水断面为无限小时，流管及其内部的液体称为元流过水断面为无限小时，流管及其内部的液体称为元流（elementary flow ）。元流的几何特征与流线相同。）。元流的几何特征与流线相同。 过

14、水断面为有限大小时，流管及其内部的液体称为总过水断面为有限大小时，流管及其内部的液体称为总流（流（total flow）。总流是由无数元流组成。）。总流是由无数元流组成。 （6）流量与断面平均流速）流量与断面平均流速 单位时间内通过过水断面液体的体积，称为体积流单位时间内通过过水断面液体的体积，称为体积流量，简称流量（量，简称流量（flow rate/discharge） ，单位为立方米每，单位为立方米每秒（秒（m3/s）。）。 若以若以dA表示元流过水断面面积，表示元流过水断面面积，u 表示该断面流速，表示该断面流速，则总流流量为则总流流量为除体积流量外，还可有质量流量及重量流量等。除体积流

15、量外，还可有质量流量及重量流量等。AAuQd总流过水断面上各点的速度总流过水断面上各点的速度 u 一般是不相等的一般是不相等的。 以管流为例，管壁处流速最小（为以管流为例，管壁处流速最小（为0），管轴处最大。），管轴处最大。 为便于计算，设想过水断面上流速均匀分布，即各点为便于计算，设想过水断面上流速均匀分布，即各点流速相同，通过的流量与实际相同，于是定义流速相同，通过的流量与实际相同，于是定义v 为该断面为该断面的断面平均流速（的断面平均流速（mean velocity） ，表示为，表示为或或AAuQvAdAQvuv3.3 连续性方程（连续性方程（continuity equation） 流

16、场中取一段总流，两端过水断面面积分别为流场中取一段总流，两端过水断面面积分别为A1和和A2。 总流中任取一元流，两端过水断面面积分别为总流中任取一元流，两端过水断面面积分别为 dA1 和和dA2，流速分别为，流速分别为 u1 和和 u2 。考虑到考虑到：形状不变；形状不变； （2）连续介质，元流内部无间隙；）连续介质，元流内部无间隙；（1）恒定流时，元流）恒定流时，元流A1 A2 u1 u2 dA1 dA2 （3 3）流线性质，流管侧壁无液体流入流出）流线性质，流管侧壁无液体流入流出。根据质量守恒定律，单位时间内从根据质量守恒定律，单位时间内从dA1流入液体的质量流入液体的质量等于从等于从dA

17、2 流出液体的质量，即流出液体的质量，即222111AuAudd上式是在总流沿程无分流或合流条件下得出的，若总流上式是在总流沿程无分流或合流条件下得出的，若总流沿程流量有变化，则所有流量变化可表示为沿程流量有变化，则所有流量变化可表示为 QAuAuddd2211对于不可压缩液体，有对于不可压缩液体，有对总流过水断面积分，得对总流过水断面积分，得或或于是于是21或或连续性方程是质量守恒定律的水力学表达式。连续性方程是质量守恒定律的水力学表达式。QAuAu2211dd21QQ 2211AAvv流出流入QQ3-3 3-3 恒定一元流的连续性方程式恒定一元流的连续性方程式返回在恒定总流中，取一微小流束

18、，在恒定总流中，取一微小流束，依质量守恒定律：依质量守恒定律：u1u2dA1dA21 11222u dAdtu dA dt设设 ，则，则121122u dAu dA即有：即有：12dQdQ微小流束的连续性方程微小流束的连续性方程12QQ积分得：积分得：也可表达为：也可表达为：1122V AV A恒定总流的连续性方程恒定总流的连续性方程适用条件：适用条件：恒定、不可压缩的总流且没有支汇流。恒定、不可压缩的总流且没有支汇流。 若有支流：若有支流：Q1Q2Q3123QQQQ1Q2Q3132QQQ3.5 伯努利方程伯努利方程x理想液体内取边长分别为理想液体内取边长分别为dx,dy,dz的微元六面体，的

19、微元六面体，pMzbdxbaazyxdydzOcddcpN 受力和运动情况。受力和运动情况。中心点中心点O(x,y,z)压强压强p(x,y,z)、流速、流速u(x,y,z)。根据牛顿第二定律，以根据牛顿第二定律，以x方向为例，分析微元六面体的方向为例，分析微元六面体的3.5.1 理想液体运动微分方程理想液体运动微分方程表面力：理想液体内，不存在切应力，只有压强。故除表面力：理想液体内，不存在切应力，只有压强。故除abcd 与与abcd两面外，其余面上作用的压力在两面外，其余面上作用的压力在x 轴上投轴上投 影均为影均为0。此两面中心点压强可用。此两面中心点压强可用Taylor级数展开：级数展开

20、：两个面上的总压力则为：两个面上的总压力则为：质量力：质量力：x方向单位质量力与六面体总质量的乘积，即方向单位质量力与六面体总质量的乘积，即xxpppd21Mxxpppd21NzyxxppFddd21PMzyxxppFddd21PNzyxXFdddbx根据牛顿第二定律，根据牛顿第二定律，x方向：方向：化简后得化简后得:上式即液体运动微分方程，由欧拉（上式即液体运动微分方程，由欧拉（Euler)于于1755导出导出，tuzyxzyxXzyxxppzyxxppddddddddddd21ddd21xtuxpXdd1x同理得同理得:tuypYdd1ytuzpZdd1z又称欧拉运动微分方程。又称欧拉运动

21、微分方程。 3.5.2 理想液体运动微分方程的伯努利积分理想液体运动微分方程的伯努利积分 将欧拉运动微分方程各式分别乘以流线上微元线段的将欧拉运动微分方程各式分别乘以流线上微元线段的投影投影 dx、dy 和和 dz，然后相加，然后相加引入限定条件引入限定条件：zzpyypxxpzZyYxXddd1dddztuytuxtudddddddddzyx（1）作用在液体上的质量力只有重力，即）作用在液体上的质量力只有重力，即X = Y= 0，Z =g于是于是 Xdx + Ydy + Zdz = gdz （2）不可压缩液体做恒定流动时）不可压缩液体做恒定流动时 = const，p = p ( x, y,

22、z )于是于是ppzzpyypxxpdd1ddd1zzyyxxzyxdddddddddddduuuuuuztuytuxtu（3）恒定流动时，流线与迹线重合）恒定流动时，流线与迹线重合dx = uxdt，dy = uydt，dz = uzdt 于是于是2d2d22z2y2xuuuu将限定条件代回原方程将限定条件代回原方程积分积分该式由瑞士物理学家伯努利于该式由瑞士物理学家伯努利于17381738年推出，称伯努利方程。年推出，称伯努利方程。 2ddd2upzgconst22gupgzgugpzgugpz2222222111const22gugpz或或伯努利伯努利 Daniel Bernoulli

23、1700年生于荷兰的格罗宁根，年生于荷兰的格罗宁根，5岁岁同家人回迁瑞士的巴塞尔。同家人回迁瑞士的巴塞尔。 1782年，年，逝世于瑞士的巴塞尔，享年逝世于瑞士的巴塞尔，享年82岁。曾在岁。曾在巴塞尔等多所大学学习。巴塞尔等多所大学学习。1716年获艺术年获艺术硕士学位；硕士学位；1721年又获医学博士学位。年又获医学博士学位。25岁为圣彼得堡科学院的数学院士。岁为圣彼得堡科学院的数学院士。8年后回到瑞士的巴塞尔，先后任解剖年后回到瑞士的巴塞尔，先后任解剖学、植物学教授和物理学教授。学、植物学教授和物理学教授。 1738年出版了年出版了流体动力学流体动力学一书，给出了流体动力学的基本一书，给出了

24、流体动力学的基本方程，后人称之为方程，后人称之为“伯努利方程伯努利方程” 。 他还提出把气压看成气体分子对容器壁表面撞击而生的效应。他还提出把气压看成气体分子对容器壁表面撞击而生的效应。 1728年起，他和欧拉还共同研究柔韧而有弹性的链和梁的力学年起，他和欧拉还共同研究柔韧而有弹性的链和梁的力学问题，还研究了弦和空气柱的振动。问题，还研究了弦和空气柱的振动。 伯努利的贡献还涉及到医学、力学、数学等各个方面。伯努利的贡献还涉及到医学、力学、数学等各个方面。3.5.3 伯努利方程的意义伯努利方程的意义沿元流机械能守恒，故又称能量方程。沿元流机械能守恒，故又称能量方程。mgmgzz mgmghhgp

25、gugpz22单位重量液体所具有的位置势能，或位能；单位重量液体所具有的位置势能，或位能；单位重量液体所具有的压强势能，或压能；单位重量液体所具有的压强势能，或压能；gpz单位重量液体所具有的总势能；单位重量液体所具有的总势能；mgmugu22212单位重量液体所具有的动能；单位重量液体所具有的动能；单位重量液体所具有的机械能；单位重量液体所具有的机械能；cgugpz22某点到基准面的位置高度，或位置水头；某点到基准面的位置高度，或位置水头；该点的测压管高度，或压强水头；该点的测压管高度，或压强水头；该点测压管液面的总高度，或测压管水头；该点测压管液面的总高度，或测压管水头；该点的流速高度，或

26、流速水头；该点的流速高度，或流速水头；该点的总水头；该点的总水头；沿元流各点总水头相等，总水头线水平。沿元流各点总水头相等，总水头线水平。方程式的物理意义方程式的物理意义2211221222pupuZZgggg001Z2Z12位置水头位置水头压强水头压强水头流速水头流速水头测压管水头测压管水头总水头总水头单位位能单位位能单位压能单位压能单位动能单位动能单位势能单位势能单位总机械能单位总机械能表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束内不同过水断表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束内不同过水断面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等

27、（守恒）。返回毕托管（毕托管（Pitot tube）与流速水头）与流速水头 1730年法国工程师毕托用一根前端弯成直角的玻璃管年法国工程师毕托用一根前端弯成直角的玻璃管测量塞纳河水的流速。测量塞纳河水的流速。h由此可见，测速管（毕托管）与测压管之差即流速水头。由此可见，测速管（毕托管）与测压管之差即流速水头。 弯管前端迎向来流，水弯管前端迎向来流，水HA B深深H，入口前取，入口前取A点，入口点，入口后取后取B点，水流进入弯管后点，水流进入弯管后由于由于A、B两点距离很近，两点距离很近，两点的机械能相等，即两点的机械能相等，即gpgugpB2AA2或或hgpgpguAB2A2上升至上升至 h

28、。 3.5.4 实际液体元流伯努利方程实际液体元流伯努利方程 实际液体具有黏滞性，流动阻力消耗机械能。单位重实际液体具有黏滞性，流动阻力消耗机械能。单位重量流体所具有的机械能沿程减少，总水头线沿程下降。设量流体所具有的机械能沿程减少，总水头线沿程下降。设hl 为单位重量液体由过水断面为单位重量液体由过水断面1-1运动至运动至2-2的机械能损失，的机械能损失，或元流的水头损失，实际液体元流伯努利方程可为或元流的水头损失，实际液体元流伯努利方程可为2222222111lhgugpzgugpz1zgp1gu2212zgp2gu222lh二、实际液体恒定流微小流束的能量方程式二、实际液体恒定流微小流束

29、的能量方程式2211221222pupuZZggggwhwh单位重量液体从断面单位重量液体从断面1-11-1流至断面流至断面2-22-2所损失所损失的能量，称为水头损失。的能量，称为水头损失。001Z2Z12wh返回3.5.5实际液体恒定总流的能量方程式实际液体恒定总流的能量方程式 将构成总流的所有微小流束的能量方程式叠加起来，将构成总流的所有微小流束的能量方程式叠加起来，即为总流的能量方程式。即为总流的能量方程式。22112212()()22wQQpupuZgdQZhgdQgggg22112212()()22wQQQQQpupuZgdQgdQZgdQgdQhgdQgggg()QpZgdQg均

30、匀流或渐变流过水断面上()pZCg()QpZg dQg()pZgQg22QugdQgdQudA32Agu dAg33Au dAV A动能修正系数,1.051.132gV Ag22VgQgwQhgdQ取平均的hwwQhgdQwhgQ11()pZgQg2112VgQg22()pZgQg2222VgQgwhgQVu，2211 12221222wpVpVZZhgggg前进654321123456能量方程的图能量方程的图示法示法水头线水头线从能量方程中可以看出各项代表的是单位重量液体所具有的各种单位能量,都是长度的单位,所以用几何线段来表示其大小1z2z3z4z5z6zrp6rp5rp4rp3rp2rp

31、1ga2212ga2222ga2232ga2242ga2262ga2252水头线测压管pJ121wh31wh41wh51wh61wh总水头线1J0022VpHZgg2211 12221222wpVpVZZhgggg12wHHh一、实际液体恒定总流的能量方程的图示一、实际液体恒定总流的能量方程的图示221112221222wpVpVZZhgggg2001Z2Z1wh12 实际液体恒定总流的能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头实际液体恒定总流的能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。 1

32、2wHHh12wEEh总水头线测压管水头线22Vg 实际液体总流的总水头线必定是一条实际液体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是下降的线也可能是上升的线甚至可能是一下降的线也可能是上升的线甚至可能是一条水平线。条水平线。水力坡度水力坡度J J单位长度流程上的水头损失，单位长度流程上的水头损失，12whHHJLL前进方程式的物理意义：二、应用能量方程式的条件：二、应用能量方程式的条件：221112221222wpVpVZZhgggg（1）水流必需是恒定流；（2）作用于液体上的质量力只有重力；（3）在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变

33、流的条件，但所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流；（4）在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加入或分出。若有分支，则应对第一支水流建立能量方程式，例如图示有支流的情况下,能量方程为：（5）流程中途没有能量H输入或输出。若有，则能量方程式应为：Q1Q2Q311223322333111131 322wpVpVZZhgggg22333222232 322wpVpVZZhgggg221112221222twpVpVZHZhgggg返回21222222111122lhggpzggpzvv方程可为方程可为（4） 有分流或合流的伯努利方程有分流或合流的伯努利方程 总流伯努利方程是在无分流或

34、合流前提下导出的。在下述总流伯努利方程是在无分流或合流前提下导出的。在下述两种情况下，总流伯努利方程还可用于有分流或合流的流动：两种情况下，总流伯努利方程还可用于有分流或合流的流动：对称分流（合流）或过水断面流速均匀分布的分流（合流）。对称分流（合流）或过水断面流速均匀分布的分流（合流）。11112233或者或者31233332111122lhggpzggpzvv式中式中 +Hm单位重量流体获得的机械能，如水泵的扬程；单位重量流体获得的机械能，如水泵的扬程；lhggpzHggpz2222222m21111vv（5） 有能量输入或输出的伯努利方程有能量输入或输出的伯努利方程 总流伯努利方程是在无

35、能量输入或输出的前提下导出总流伯努利方程是在无能量输入或输出的前提下导出的，若有能量输入或输出，方程需作修改，即的，若有能量输入或输出，方程需作修改，即 -Hm单位重量流体失去的机械能，如水轮机的水头。单位重量流体失去的机械能，如水轮机的水头。11221122水泵水泵水轮机水轮机2211 12221222wpVpVZZhgggg应用能量方程式的注意点：应用能量方程式的注意点：（1 1）分析流动；）分析流动；（3 3）选取两过水断面；）选取两过水断面； 所选断面上水流应符合渐变流的条件，但所选断面上水流应符合渐变流的条件，但两个断面之间，水流可以不是渐变流。两个断面之间，水流可以不是渐变流。（4

36、 4）选取计算代表点；）选取计算代表点；（5 5）断面动水压强的计算；）断面动水压强的计算；（6 6）建立能量方程求解）建立能量方程求解 动能修正系数一般取动能修正系数一般取值为值为1.01.0。前进三、能量方程式的应用三、能量方程式的应用返回（2 2）选择基准面；）选择基准面； 例例1.1.如图所示，一等直径的输如图所示，一等直径的输水管，管径为水管，管径为d=100mmd=100mm，水箱水位，水箱水位恒定，水箱水面至管道出口形心点恒定，水箱水面至管道出口形心点的高度为的高度为H=2mH=2m，若不计水流运动的，若不计水流运动的水头损失，求管道中的输水流量。水头损失，求管道中的输水流量。H

37、分析：分析：Q=VAQ=VA；A=dA=d2 2/4/4所以需要用能量方程式求出所以需要用能量方程式求出V V；221100解：对解：对1-11-1、2-22-2断面列能量方程式：断面列能量方程式：22122000022VVgg其中：其中：2102Vg所以有：所以有：2222Vg可解得：可解得：246.26/Vgms则：则：22323.140.16.260.049/44dQVms答：该输水管中的输水流量为答：该输水管中的输水流量为0.049m0.049m3 3/s/s。前进【例【例 2】用直径】用直径 D = 100mm 的水管自开口水箱引水。水箱的水管自开口水箱引水。水箱水面与管道出口断面中

38、心的高差水面与管道出口断面中心的高差 H = 4m 且保持恒定，水头且保持恒定，水头损失损失 hl = 3m。求管道流量。求管道流量 Q 。【解】由总流伯努利方程【解】由总流伯努利方程1.选取基准面选取基准面 0-0；lhggpzggpz222222221111vvz1= H，z2= 0；p1= 0，p2= 0；v1= 0，v2 待求；令待求；令=1。于是于是HD002.选取计算断面选取计算断面 1-1 和和 2-2；1122lhgH222vs /m43. 422lhHgvs /m035. 0322AQv【例【例 3】离心泵由水池抽水。已知泵的安装高度为】离心泵由水池抽水。已知泵的安装高度为

39、Hs =5m，泵的抽水量泵的抽水量 Q = 5.56 L/s，泵的吸水管直径，泵的吸水管直径 D =100mm，吸水，吸水管的水头损失管的水头损失 hl = 0.25mH2O。试求水泵进口处的真空度。试求水泵进口处的真空度。DH【解】由伯努利方程【解】由伯努利方程1.取基准面取基准面0-0；002.取计算断面取计算断面1-1，2-2；z1 = 0，z2 = Hs；p1= pa，p2待求。待求。v1 = 0，v2 可求；令可求；令=1。lhggpHgp2222sav其中其中s/m708. 02AQvm28. 5222s2avlhgHgppgpvPa5174028. 5vgp1122【例【例 4】

40、文丘里（】文丘里（Venturi) 流量计。已知进口直径流量计。已知进口直径 D1 =100mm，喉管直径喉管直径 D2 = 50mm，测压管水头差，测压管水头差 h = 0.6m（或水银差压计（或水银差压计液面差液面差 hm= 4.76cm），流量系数），流量系数=0.98，试求输水流量。，试求输水流量。【解】由伯努利方程【解】由伯努利方程1.取基准面取基准面0-0；002.取计算断面取计算断面1-1，2-2；1122hhm水头损失忽略不计，则水头损失忽略不计，则ggpzggpz2222222111vv列伯努利方程列伯努利方程令令= 1。z1z2再将连续性方程再将连续性方程2211AAvv于

41、是，流量为于是，流量为与上式联立求得与上式联立求得gpzgpzgDD22114211211v令仪器常数为令仪器常数为 KgDDDK214142121s/L38. 62211hKgpzgpzKQ或或s/L38. 66 .12mhKQ习题： 流量一定,管径沿程缩小时,测压管水头线（ ） A可能沿程上升也可能沿程下降 B.总是与水头线平行 C只能沿程下降 D不可能低于管轴线 流量一定,管径沿程增大时,测压管水头线（ ）A可能沿程上升也可能沿程下降 B.总是与水头线平行 C. 只能沿程上升 D.不可能低于管轴线总流内任取元流，过总流内任取元流，过t2 1 11dtt 222 121 2 1dKKKKK

42、KK恒定流动，恒定流动，dt 前后元流重叠部分动量相同，故前后元流重叠部分动量相同，故 3.6 动量方程动量方程 动量方程是质点系动量定理的水力学表达式。动量方程是质点系动量定理的水力学表达式。 设恒定总流，过水断面设恒定总流，过水断面1-1、2-2面积分别为面积分别为A1和和A2，与，与总流侧面所围空间称为控制体。经总流侧面所围空间称为控制体。经 dt 时间，控制体内液体时间，控制体内液体由由1-2运动到运动到1-2。水断面面积水断面面积dA1和和dA2，流，流速分别为速分别为 u1 和和 u2 。经。经 dt时间，元流的动量增量为：时间，元流的动量增量为：11221122dA1dA2u1u

43、211112222 11 22ddddduAtuuAtuKKK取过水断面为渐变流断面，各点的流速接近平行并令取过水断面为渐变流断面，各点的流速接近平行并令iuu 动量定理动量定理则有则有对于不可压缩液体，密度等于常数。若以断面平均流速对于不可压缩液体，密度等于常数。若以断面平均流速 v 代代iuAtuiuAtuK12A1111A2222ddddd1122dddvvtQKtF若总流两断面间有分流或合流，总流动量方程可为若总流两断面间有分流或合流，总流动量方程可为替真实流速替真实流速 u ，需引入动量修正系数，需引入动量修正系数。于是根据质点系。于是根据质点系1122vvQF得恒定总流动量方程得恒

44、定总流动量方程流入流出vvQQF3.5 实际液体恒定总流的动量方程式实际液体恒定总流的动量方程式11221122t时刻t+t时刻依动量定律依动量定律： pFt 即：单位时间内，物体动量即：单位时间内，物体动量的增量等于物体所受的合外力的增量等于物体所受的合外力t t时段内，动量的增量：时段内，动量的增量：121 2ppp 2 21 1ppdA1u1u2dA2u1t11dmu dtdA1111dpu dmuu dtdA21222111AAuu dtdAuu dtdA在均匀流或渐变流过水断面上uV21222211AAu dtdAu dtdA22222111V dtAV dtA 2221112211

45、()dtQ VdtQ VdtQVV 2211()FQVV代入动量定律，整理得：代入动量定律，整理得：即为实际液体恒定总流的动量方程式即为实际液体恒定总流的动量方程式作用于总流流段上所有外力作用于总流流段上所有外力的矢量和的矢量和单位时间内，通过所研究流段单位时间内，通过所研究流段下游断面流出的动量与上游断下游断面流出的动量与上游断面流入的动量之差面流入的动量之差前进动量方程的投影表达式：动量方程的投影表达式：2211()xxxFQVV2211()yyyFQVV2211()zzzFQVV适用条件：适用条件：不可压缩液体、恒定流、过水断面为均匀流或不可压缩液体、恒定流、过水断面为均匀流或渐变流过水

46、断面、无支流的汇入与分出。渐变流过水断面、无支流的汇入与分出。2223331 1 1FQVQVQV 如图所示的一分叉管路，动量如图所示的一分叉管路，动量方程式应为：方程式应为：v3112233Q3Q1Q2v1v2前进应用动量方程式的注意点：应用动量方程式的注意点：取脱离控制体取脱离控制体； 3 3正确分析受力，未知力设定方向；正确分析受力，未知力设定方向； 2 2建立坐标系建立坐标系 右侧为右侧为( (下游断面的动量下游断面的动量)-()-(上游断面的动量上游断面的动量) ) 设设11，11。 前进1122FP1FP2FRFGxzy动量方程式在工程中的应用动量方程式在工程中的应用弯管内水流对管

47、壁的作用力弯管内水流对管壁的作用力水流对建筑物的作用力水流对建筑物的作用力射流对平面壁的冲击力射流对平面壁的冲击力前进返回弯管内水流对管壁的作用力弯管内水流对管壁的作用力管轴水平放置管轴水平放置管轴竖直放置管轴竖直放置1122FP1=p1A1FP2=p2A2FRFGxzyV1V2FRzFRx沿沿x x方向列动量方程为：方向列动量方程为：111 1(0)Rxp AFQV1111RxFp AQV 沿沿z方向列动量方程为：方向列动量方程为：2222(0)GRzp AFFQV2222RzGFp AFQV 沿沿x x方向列动量方程为：方向列动量方程为：111 1(0)Rxp AFQV1111RxFp A

48、QV 沿沿y方向列动量方程为：方向列动量方程为：2222(0)RyFp AQV2222RyFp AQV FP1=p1A1FP2=p2A2FRV1V2FryFRxxy返回 例例1.1.水流通过一水平设置的渐水流通过一水平设置的渐变截面弯管变截面弯管, ,如图所示。已知断面如图所示。已知断面1 - 11 - 1 的 直 径的 直 径 d d1 1= 2 5 0 m m ,= 2 5 0 m m , 流 速流 速v v1 1=2.45m/s,=2.45m/s,相对压强相对压强p p1 1=1.8at,=1.8at,断断面面2-22-2的直径的直径d d2 2=200mm,=200mm,转角转角=60

49、=60度。若不计水流阻力，试求水流对度。若不计水流阻力，试求水流对此弯管的作用力此弯管的作用力R R。解解:(1):(1)求管中流量与流速求管中流量与流速v21122P2P1v1v2RRRxRyxy223113.14 0.252.450.12/44dQVms2211221220.25()()2.453.83/0.2Advvvm sAd(2)(2)求求2-22-2断面中心处动水压强断面中心处动水压强p p2 2不计水头损失，以管轴水平面为基准面，建立不计水头损失，以管轴水平面为基准面，建立1-11-1和和2-22-2断面断面的能量方程的能量方程22112222pvpvrgrg222211222.

50、453.83()9.8(18)172.07222 9.82 9.8pvvprkpargg22222223.14172.070.25.4044Pp ApdkN(3)(3)计算作用于计算作用于1-11-1断面与断面与2-22-2断面上动水总压力断面上动水总压力22111113.141.8 980.258.6544Pp ApdkN(4)(4)对弯头内水流沿对弯头内水流沿x,yx,y方向分别写动量方程式方向分别写动量方程式沿沿x x方向动量方程方向动量方程沿沿y y方向动量方程方向动量方程112221cos(cos)xp Ap AaRQ vav2220sin(sin0)yp AaRQva112221c

51、os(cos)xRp Ap AaQ vav38.65 5.40cos601000 0.12(3.83cos602.45) 106.01xRkN222sinsinyRp AaQva35.40sin1000 0.12 3.83sin60105.07yRakN合力合力R R 与水平方向的夹角为：与水平方向的夹角为：故水流对弯管的作用力故水流对弯管的作用力R R的大小为的大小为7.86kN7.86kN，方向与，方向与R R 相反。相反。管壁对水流的总作用力管壁对水流的总作用力5.0740.156.01yxRarctgarctgR2222()()6.015.077.86xyRRRkN水流对建筑物的作用力

52、水流对建筑物的作用力FP1122xFP1=gbh12/2FP2= gbh22/2FR沿沿x x方向列动量方程为：方向列动量方程为：12221 1()PPRFFFQVV12221 12212212221221()11()221111()22RPPFFFQVVQQgbhgbhQAAQgbhgbhbhh返回 例例2.2.如图所示为一滚水坝如图所示为一滚水坝, ,上游水位因坝的阻挡而抬高上游水位因坝的阻挡而抬高, ,测测得渐变流过水断面得渐变流过水断面1-11-1处的水深处的水深h h1 1=1.5m,=1.5m,下游下游渐变流过水断面渐变流过水断面2-2-2 2处的水深处的水深h h=0.6m.=0

53、.6m.假设上、下游渠底在同一水平面上，并且假设上、下游渠底在同一水平面上，并且不计水流阻力。试求水流作用在单位宽度坝面上的水平推力不计水流阻力。试求水流作用在单位宽度坝面上的水平推力F F。1122P1P2FFh1h2解解:(1)1-1,2-2:(1)1-1,2-2过水断面的静水压力过水断面的静水压力111119.8 1.5 1.5 111.02522Prh AkN 222119.8 0.6 0.6 11.76422Prh AkN 22121222vvhhgg1122111221.52.50.6AhvvvvvAh12122 ()29.8(1.50.6)1.833/2.515.25g hhvm

54、s212.52.5 1.833 4.583 /vvm s3111 111.833 1.5 12.750/Q v Av hms ( () )流速与流量流速与流量1221()PPFQ vv1221()FPPQ vv311.025 1.764 2.750(4.583 1.833) 101.70FkN( (）建立动量方程）建立动量方程为为所所求求之之力力的的反反作作用用力，力，故故的的大大小小为为1.1.7 70 0k kN,N,方方向向与与水水流流方方向向相相同同射流对平面壁的冲击力射流对平面壁的冲击力FPV000VV1122FRV0VVx沿沿x方向列动量方程为：方向列动量方程为：00(0)RFQV

55、00RFQV 整理得：整理得：前进例：设有一股自喷嘴以速度例：设有一股自喷嘴以速度v v0 0喷射出来的水流，冲击在一喷射出来的水流，冲击在一个与水流方向成个与水流方向成角的固定平面壁上，当水流冲击到平面角的固定平面壁上，当水流冲击到平面壁后，分成两面股水流流出冲击区，若不计重量（流动在壁后，分成两面股水流流出冲击区，若不计重量（流动在一个水平面上），并忽略水流沿平面壁流动时的摩擦阻力，一个水平面上），并忽略水流沿平面壁流动时的摩擦阻力，试推求射流施加于平面壁上的压力试推求射流施加于平面壁上的压力F FP P，并求出，并求出Q Q1 1和和Q Q2 2各为各为多少？多少？FP001122V0V

56、2Q2V1Q1Q001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿沿y方向列动量方程为：方向列动量方程为：0000(sin)sinRFQVQV 前进对对0-0、1-1断面列能量方程为：断面列能量方程为：22010000022VVgg可得：可得：01VV同理有：同理有：02VV依据连续性方程有：依据连续性方程有：12QQQFP001122V0V2Q2V1Q1Q001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿沿x方向列动量方程为：方向列动量方程为：1 12200cosQVQ VQV整理得：整理得：12cosQQQ所以：所以：11 cos2QQ21 cos2QQ返回FP1=p1A1FP2=p2A2FRV1V2

57、FryFRx第三章习 题如图示为嵌入支座内的一段输水管如图示为嵌入支座内的一段输水管（俯视图），其直径由（俯视图），其直径由d d1 1=1.5m=1.5m变变到到d d2 2=1.0m=1.0m。当。当p p1 1=196kPa=196kPa（相对压（相对压强）、流量强）、流量Q=1.8m3/sQ=1.8m3/s时，求支座时，求支座所受的水平力所受的水平力R R。不计水头损失。不计水头损失。解解: :对对1-11-1、2-22-2断面建立总流的能量方程断面建立总流的能量方程221122022pvpavzzrgrg 图示为一平面上的弯管，已知图示为一平面上的弯管，已知管径管径dAdA=250m

58、m=250mm，dB=200mmdB=200mm，A-AA-A断断面相对压强面相对压强pApA=17.66N/cm2=17.66N/cm2，管中，管中流量流量Q Q0.12m3/s0.12m3/s，转角，转角6060，略去水头损失，求弯管所受的作用略去水头损失，求弯管所受的作用力。力。 xy解：选取解：选取A-AA-A断面、断面、B-BB-B断面及侧表面所围的流体为控制体，建断面及侧表面所围的流体为控制体，建立如图坐标系，分析受力情况。立如图坐标系，分析受力情况。 取取11221.01.02cos(cos)ABxBAPPFQvav2sin(sin0)ByBPFQva沿沿x x方向动量方程方向动

59、量方程沿沿y y方向动量方程方向动量方程 （4分） (1)(2)连续性方程：连续性方程：2244 0.122.446/3.14 0.25AAQVm sd2244 0.123.822/3.14 0.2BBQVm sd221222AABBABpvpavzzrgrg取取11221.01.0代入已知数据得：代入已知数据得：p pB B 172287.616N/m2172287.616N/m2 能量方程：能量方程： （6分） （8分） 代入（代入（1 1）（）（2 2）式得：）式得：FxFx=6.02K N=6.02K NFyFy-5.08KN-5.08KN 管壁对水流的总作用力管壁对水流的总作用力22

60、()()7.85xyFFFkN5.0740.156.01yxFarctgarctgF故水流对弯管的作用力故水流对弯管的作用力F F的大小为的大小为7.86kN7.86kN，方向与，方向与F F 相反。相反。28664.444AAAAAPp ApdN25409.834BBBBBPp ApdN （10分） （12分） 图示为一水平放置的分叉管路，干图示为一水平放置的分叉管路，干管 直 径管 直 径 d d1 1= 6 0 0 m m= 6 0 0 m m ， 支 管 直 径， 支 管 直 径d2=400mm，干管流，干管流量量 Q = 0 . 6 mQ = 0 . 6 m3 3/ s/ s ， 压