电子-声子相互作用

1、1、互作用过程能带论只计及晶格周期场对电子的作用（即原子或离子位置固定的情形）考虑晶格振动时，原子（离子）偏离平衡位置，弓I起势能的改变。能带 电子将受到晶格位移所产生附加势场的作用，这就是电子和晶格振动的 相互作用。电子与声子相互作用。在能带极值附近，电子的能量：h2k2珂=£> +2m其中立为带边能量，可理解为呂带电子的势能 为晶格周期势对电子攸作用。由于纵声学模伴随晶体体积和晶格常数的局域变化，因此，E将发生移动轨=（箒刃"（影）（罟）"M）A0）为形变量， q为形变势常数。电子与声子相互作 用的形变势模型在长波近似下(/) = V» w(r

2、)=弓 J# (eq qaqeil,'r - aeiq9r)Hep 二(门屮(厂)(T(r) = J 60如)电子与声子互作用的二次量子化表示为:消灭电子和声子并产生fc + q电子 比电子被消灭釉声子与k-q电子产生g+心声子吸收 k+q当比在费米球外而:-q在费米球内时代表电子代表空穴(a) a£k£k电子-空穴 对复合发射声子(b) aqC：*£k吸收声子 产生电子空穴对图5.2电子-空穴对的产生与复合以上是凤p的一级微扰过程，它用于解释晶体的输运特性。电子声子互作用的高阶微扰过程由上述基本过程组成(b)声子自能修正5.3二级过程(c)电子-声子电子

3、互作用(a)先发射后吸收q声子，物理实质是电子带着晶格畸变运动，对电子自能产 生修正。(b)为电子系统对声子扰动场的屏蔽，将改变离子间的互作用势，从而对声子 频率产生修正。(c) 两个电子通过声子的间接互作用，在一定条件下将成为电子之间的有效吸引势，它是产生超导电性的主要机制。2、电子与声频支声子的相互作用形变势模型是电子与声子互作用的连续模型更严格的推导应当从晶格模型出发；对于简单晶格只有声频支振动。*当离子不动时，电子与离子的互作用为:h討m i三&=饷*实际上离子在不断地振动，互作用为:兀二工W/-/-均)j能带电子与晶格振动的相互作用势为Hep =2v(ry -/-)- V(r

4、y -/) H二 VV(/ /)三jJ其中电子与声子互作用勺勺单体势为：/z(r) = -均Z)若选布洛赫函数屮2）= uk （门严，uk（r+l） = uk（r）作为电子系统二次量子化态向量的基函数，则田（厂）=Z C伙（厂），费（厂）=Z C：屮:（r）kkq和q为能带电子的产生及消尺算符，满足费米子的反对易关系。从单体势容易求出用电子算符表示的电子声子互作用Hep = J屮+（厂）/i（门屮（欣/厂=QI A（r） I k > C；q迄EVV(r-/)l>C.CAxe < k' VV(r-/) I k >其屮，TV为元胞数，M为原了质量，s代表格波的偏振指

5、标。棵工严。-kW =§5+心、1/2NhIMcd vqs丿+一 qs（%p）恃弓严宀<,IVV（r-/）l>=匕加：3 绰（加对离子势作傅里叶展开V（厂）=工岭尹H严-另为乞kk q、s p匕v罔少応>（% +心）c；q得到晶格模型中电子与声子互作用的哈密顿、1/2k q、sN方 干丿岭+K”(q+Kjx(dqs+Q,+-qs)Ck+q+K”为简单起见，用平面波代替布洛赫函数，取（r） = （Qf1/2其中利用了p = k'-k = q + Kn剩下的问题是如何选取倒格矢心。当采用简约区方案时，©的选取应保证散射 后的电子态'=k + q

6、+Kn也在第一布里渊区内。现在分两种情况讨论：(1)公+ q在第一布里渊区取=0,这时k + q,总波矢守恒，称为正播交射过程或简称V过程其中Q三-iVq(S在长波近似下，有打平行或垂直于波術的解， 分别代熬A与TA声子。显然，只有LA声子的贡献:H°p-为 Dq (dq + dq)Ck+qCk , k、q*对于金属，釆用集体坐标表示。设金属为单价，电子与离子间互作用取库仑势陷=工MQPwq其中"bq2(2) a + g超出第一布里渊区取Kf 0,所取/： + q + K回到第一布里渊区，选寸 Kfl工0, 这时LA与丁聒子都对互作用有贡献图5.4 U过程由于从k到If为大

7、角度散射，显然散射前后电子速度发生了大角度偏转, 故常称Kn主0的过程为U过程或倒逆过程U过程主要在高温大q时存在，对金属的高温特性有重要影响电子声子互作用过程的守恒定律动量：力心二力（P + q+K”）总动量相塗r,这是由晶格结构的周期生和不连续性造成廉*散射前后能量守恒电声子作用的实（可观察的）过程和虚（不观察的）过程对于实过程：电声子散射两次平均时间间隔:T » 9AEAE =1 sk - £k+q I3*声子的自能修正电子系统对声子扰动场的屏蔽，将改变离子 间的互作用势，从而对声子频率产生修正。考虑单价金属，设N个离子组成的简单晶格浸没在均匀电子气体中与电子集体振荡

8、相似，未微扰的LA声子频率在长波范围内为这里取单体积，。为正点阵元胞体 积。LA声子的哈密顿：(b)声子自能修正这里巴产a集体坐标表示的电子与声子互作用为（N 4/Hep = YMA其中厉匕Q）q7丄丿q金属的总哈密顿量H = Hp + Hep + He + Hee日。为自由电子近似的哈掘页量 刃遼为电子之间的库仑互作用。一根据海森伯方程：h谕P_q=P_q，H 和对易式坊,0 J %I可导出运动方程Qq+ 乞Qq =-M _qPq如果能确定与0之间的关系，则声子步鱷的修正就可以求出 晶格振动必然产生离子密度的起伏，可用离子密度的傅里叶分量表示。 这个起伏的效果相当于对电子气体加上一外扰动场，

9、引起电子气体的响应运动。（1）离子密度起馆晶格振动位移将产生极化P（厂）=Neur 其中以厂）=（NM严*2严q由极化可得到离子密度P'（尸）=當丄普）"2工（夠 q）Qqeiq'r 傅里叶展开 J丿P' （r） = IP 严q其中离子密度的傅里叫分量为p；=T（上严（勺叩）0（2） Pq与dq的关系由于离子运动比电子运动慢得多，因此,离子运动产生的Al当作“静态试令D（门=D（q）dq砂）=字时由以上方程可得到探电荷”，可用线性响应理论处理: £） = 4恋”（厂） £* 二 4恋/（厂）一 p （r）P （门为电子气体的密度C4p： =

10、 iq D(q)=沁q E(q)=wAt心（厂卩（）于是得到几=一这样可得运动方程的右边为MqPq =4泌2 . (q g)2 . _ g=Q2 1 _ £M q1 g(q)q w(q)计及电子的屏蔽后，LA声子的运动方程为由此得LA声子的频率为如果取托马斯-费米介电函数式Q2吩1+孑,67rNe2则在长波范围内Q2妨叫+才最后得到LA声子的色散关系叫=clQ_(1 m Y/2CL=hM)VF其中 =hkF/m为费米速度。这就是著名的玻母-司台夫(Bohm-Staver)声速公式4、电子与光频声子的相互作用离子晶体中的光频支纵振动会产生极化电场它将对离子晶体中的传导电子产生强烈的耦合

11、作用。耦合作用比LA声子对传导电子的作用强得多。因此，主要是LO声子与传导电子的相互作用对离子晶体中的载流子特性产生影响。在长波近似下，LO声子的位移场可写为:w+(r)-w_(r) = -!这里M为折合质量，这里还忽略了3对4的依赖关系。光频支纵振动位移所产生的电场E（门二-1 + 4兀了“设晶体的体积V=2V/2=1,那么+ (r)-w_(r)W(r) = pl/2 (w+ - w_) = JNM LO声子的极化电场可写为E（门二-4ttFeq（aqeig9r + aqq利用厶S7系得：F二処 8乃- )、1/21 1) % $0丿若设电场的势处）=工包尹茗如）q则由EA）二-吶）二-送q

12、W（p；n 与前面方程对照可知:q（Pq = -i 罟（勺 q）aq0； = i 乎（勺 q）a；电场的势为:e a0（厂）=4亦工 一 q q吨址）代表处电子受LO声子作用的势能，即电子与LO声子的相互作用=i4处F（ciqC：Ck"S；,（r）绰（厂）drk,kq qQ：C；cJ eikqk>rukr）uk （r）dr）当（!）取自由电子近似时，对于N过程e qg =航鸽話g+e gQ） f电子与LO声子的相互作用电子自能修正计算当电子在离子晶体中运动时，将使周围的正、负离子产生相对位移，形成介质的局域极化，激发LO声子。电子带着晶格极化运动，必将改变电子的基态能量和有效质

13、量。(电子+极化)的实体称为极化T(Polaron)极化子是电子与LO声子相耦合系统的准粒子。当极化的范围比晶格常数大很多时称为大极化子，反之为小极化 大极化子的H.Frohlich微扰处理方法设导带底lk状态上有一个电子，其能量为h2k22m<ticoL称为慢电子，m为能带电子的有效质量。当T=0K时声子处于真空态10,故不计互作用时系统的状态为火0二伙10二1£口丨0“q设电子与声子的相互作用比较弱，贝!）可用微扰论计算比p对电子状态和能量的修正_纟；1“ I H（）n I a；0“ >I £；0严1 k；0 > +y士亠-1 k - q； >q

14、Sk 8k-qCOL代表准至Hep 一阶的波函数。这里只考虑到初态为真空态。准至二阶的电子能量为考虑到被积函数随彳增大快速下降，积分的上限可取q=8其中'2mo)L)1/2ri1 h )J £qc$0 丿e2a-2ha)L是量纲为1的耦合常数而有效质量则相应电子与LO声子相互作用使导带的带边能量降低 曲仇,加*称为极化子的有效质量 乙为极化子的能量。在电子周围所激发的平均声子数为:ryN声 二 鸟;01工町陶1£0二厅不是实的声子，不可能被测得。微扰处理方法只适应于ocvl的情况o电子自能修正5、有效电子-电子相互作用多电子系统与声子互作用情况一个电子发射的虚声子可

15、能被另一个电子所吸收，从而产生电子与电子之间的 有效相互作用。f 也就是一个电子发射虚声子，即在这个电子周围产生了晶格形变或极化, 当另一个电子也走近形变区，它将受吸引或排斥，但这不是电子间的直 接库仑作用，而是一项全新的通过晶格振动传递的有效作用。我们讨论单价金属中电子与LA声子的互作用Hep = YSDfqC爲。C迪+DC：十CJ'Nti2MconDq=_i、1/2匕（勺勺=J宀二 %,I Dq l2=l D_q I21.电子电子有效作用的微扰估计H.Frohlich首先利用二级波恩 散射矩阵对电子间交换LA声子 的有效互作用进行了微扰估计, 他按照下列图形所表示的两种 虚声子过程

16、（或中间过程）写 出电子通过交换声子的互作用 矩阵元为< fHepmxmHep I i >EEmV勺c爲。I g X f I 町I i >6-一-<7 方07<门久£叫 >< 加21 d；C爲qCr丨i >6一6+/一 tlS-q其中初态和终态分别为：I ' >I屮畑，,阳,，域g。，色+gQ，0 >I f >I ，（你旷1），（孜匕'-1），（兔，一+ 1），（"&+g,<7 + 1）,D > 为声子真空态，而两蚀间态I >二1 丿，（域b 1），（-°,

17、b + 1），飒+gQ?I m2 >二1， 1），力2,，®-gb，（®+2 + 1消去上式中的声子算符，用有效互作用矩阵元>.1 , ><fHeffi>DqVq< f I Ck+qoCqQGpCko '2脑q（务 一6+）（力0/）2H.Frdhlich作了大胆的猜测，他认为电子与电子的有效互作用哈密顿量可表示为 2IQF人叫、_ _ q ° * - q厂 + 厂 + 厂瑞（6-%）2-（傀尸 WCTQ'比八良 qo'Ck9'C阳/ kk,q2IQF gVkq （66+） （力0）其中是正是负直

18、接决定非直接互作用是吸引还是排斥势_当6-务+<叫时*4<0在费米面附近力0/宽度范围内电子间的有效互作用势为吸引互作用。当H頤超过屏蔽库仑势时,金属中费米面附近的一对电子具有净吸引作 用，形成电子对的束缚态，这就是Cooper对的来源。这是超导电性产生的基本原因2正则变换方法中岛（SNakajima）变换即电子间有效互作用的严格推导电子-声子系统的总哈密顿H 二 H° + HH（）二g代Qq +E防qk、Q0 =比产工（D/£爲/防戒WCJk、q O对本征值为E的多体系统，Hf=E屮，作正则变换屮=比”二砂为变换后的哈密顿。利用量子力学公式，可将变换后的I写为:HT + HSH 和,S,S+.= H0 + (H1+H0,5) + |(H1+H0,S),S + |H1,S + .*假定Hi是一阶项，可选择S使a+H°,S =