力学竞赛试题及答案

1、力学竞赛试题及答案一、四叶玫瑰线解： （1）对于四叶玫瑰曲线2cosa，在直角坐标系中可写成（图3-1）sincosyx将2cosa代入上式，得sin2coscos2cosayax（1）利用三角函数的积化和差公式)cos()cos(21coscos)sin()sin(21sincos可得)sin3(sin2)cos3(cos2ayax（2）xyo,oo1exyerr图 3-1 图 3-2 （2）现设计一行星齿轮机构来画此曲线。如图3-2 所示的行星齿轮机构，小齿轮1o在固定内齿轮o内作纯滚动，其中内齿轮的半径为r，小齿轮的半径为r，画笔所在e点离小齿轮圆心1o的距离为e。随系杆1oo的转动，其

2、e点的轨迹为sinsin)(coscos)(erryerrxee利用小齿轮的纯滚动条件)(rr，有rrr，代入上式可得)sin(sin)()cos(cos)(rrrerryrrrerrxee作变换，令3，上式可改写为)3sin(3sin)()3cos(3cos)(rrrerryrrrerrxee（3）对照式（ 2）和式（ 3）中的系数，有2ae，2arr，13rrr联解之，得ar2，ar23，2ae（4）做一个如图3-2 所示的行星齿轮绘图机构，取式（4）中的参数，即可画出2cosa的四叶玫瑰曲线。二手指转笔在你思考问题时有用手指转笔的习惯吗？请你用下述刚体简化模型，进行分析计算：（1）本问题

3、与力学中的什么内容有关系？（2）求出笔绕手指无滑动转一周中，手指作用于笔的正压力和摩擦力的大小；（3）给出笔与手指间的摩擦因数随 ac 长度 x 变化应满足的条件。手指转笔的刚体简化模型：如题 4 图所示， 设手指为半径为r的圆柱， 笔为一回转半径为的细直杆（对质心c 转动惯量为2m） 。设手指保持不动，开始时笔在距质心c 距离为的 a 处与手指相切，初角速度为o，设r，且杆始终在垂直于手指的同一平面内转动，忽略重力的影响。acrox0解： （1）关键词：平面运动学分析，刚体平面运动微分方程，机械能守恒。（2）设某瞬时杆与圆柱相切于点a（圆柱上的点） ，此时杆绕a旋转的角速度为，质心 c 与

4、a 距离为 x。杆对 a 的转动惯量为)(22xmja，依题意， a 为杆此刻的速度瞬心 ，由机械能守恒可得2o2221mja故222o222x（1）设杆受压力nf和摩擦力f，如图 4-1（a）所示，nca，ca分别为质心加速度的径向和切向分量，为杆转动的角加速度。affncncacaacncacaanaacancaanaax（a）（b）图 4-1 a和a两点瞬时重合，a相对于a的加速度与a相对于a的加速度等值反向，而2raaa（纯滚动接触点的加速度），由a指向o。故有2raaa， 由o指向a，且a点的加速度无切向分量，而由基点法可知cancaacnccaaaaaa（2）方向如图4-1b 所示

5、，其中2raanaa，xaca。代入式（ 2）后，投影得xrac2，xanc2（3）根据刚体平面运动微分方程，可列出xfmfmamafmamannccynccx2（4）联立求解式（ 3）和式（ 4） ，可得222o222xmxmf（5）0)(22222o4xrmmafcn（6）（3） 、分析摩擦因数应满足的条件：若使杆始终不与圆柱脱离，则摩擦因数应满足)()(222xrxxffn（7）因rx，对2,0，有,0 x， （r） 。则rx2)()(max故r2三、小虫在转盘上爬行一光滑水平面上的圆盘，中心o 用无摩擦轴固定，圆盘对此转轴的转动惯量为oj。在圆盘上 p 点有一个质量为m 的小虫，处于静

6、止状态，如题5（a）图所示。小虫在转盘上爬行将引起转盘的转动。请你分析计算。（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2） 在1t时刻小虫开始爬行，当我们在转盘中看到小虫的轨迹如题5 图 （b） 所示时（假设小虫相对转盘逆时针运动），试求出转盘转过的角度。（3）若我们在转盘中看到小虫的轨迹如题3 图（c）所示的圆弧时，试求出转盘转过的角度，并求出当小虫沿圆弧爬行一周时，转盘转过的角度。pmoxypoxyqpoxyq（a）（b）（ c）题 3 图解： (1) 关键词：点的合成运动，动量矩守恒。（2） 取小虫为动点，定参考系xyzo，动参考系zyxo固连在转盘上，与转盘一起转动。根据题中提供的条件，

7、转盘和小虫的重力平行于转轴，系统对转轴o 的动量矩守恒。设在1t时刻，v为小虫相对于定参考系的速度（即绝对速度），rv为小虫相对于转盘参考系的速度，转盘的角速度为，r 为小虫相对于定参考系的位矢，r为小虫相对于动参考系的位矢，牵连速度rve。如图 3、图 4 所示。根据点的速度合成公式，有ervvvrvr（1）由于系统对转轴的动量矩守恒，有0ovrmj（2）在此问题中，rr，可以得到0)(orvrmjr进一步有02orvrrmjm（3）设r与rv的夹角为，则上式可以化为0sin2orvrrmjm（4）所以，转盘转过的角位移为21212sinttrttdtrmivrmdt（5）将式中的dtvr用

8、小虫在动参考系中爬行的路程ds表示，可得转盘转过的角位移为212sinttdsrmirm（6）若用极坐标描述（如图5） ，有)(rr10（7）则式（ 6）可表示为21)()(2o2ttdrmjrm（ 8）从以上可知，转盘转过的角位移由小虫在动参考系中的轨迹决定。（3） 当小虫爬行的轨迹为圆弧时，如图6 所示，有orr0代入式（ 8） ，得2oo2omrjmr（9）当小虫沿圆弧爬行一周时，将2代入上式，可得转盘转过的角度为2oo2o2mrjmr（ 10）四、四两拔千斤五、自动向上滚的论子（南京工程学院）（1） 本问题与力学中的什么内容有关系？关键词：重力作功。（2） 试用力学原理简单解析一下轮子

9、往上滚动的原因。轮子能往上滚动是因为重力作功。由于轨道与轮子的形状比较特殊，虽然在轨道上看， 轮子是往上滚动，但是轮子的重心在轨道低处时要比轮子在轨道高处时高。重力作功，所以轮子能往上滚动。（3） 求出直轨道和轮子的尺寸以及夹角的关系。设有效轨道的最低端为a，最高端为 b，两端的水平距离为 l ，如图（ 3） ，在 a、b处轨道高度分别为ah、bh，而a、b分别为轮子在轨道a、b处与两侧轨道接触点之间的距离。只要轮子在 a处的重心位置比在b处高，轮子就可以沿着这条轨道往上滚动。由图（ 1）、（2）、（ 3）的几何关系可得，轮子在 a处其重心到轨道底部距离为tgahha)2(00轮子在 b处其重

10、心到轨道底部距离为tgbhhb)2(00由图（ 3）可知022sinhbatgtg轮子将会向上滚动。六、难中的奖（南京工程学院）由图中几何关系得261231181218sin21tg因冲击力的方向沿球与易拉罐的接触点与球心的连线方向，篮球只能冲击易拉罐前端的顶点才有可能击翻易拉罐。如果球心与接触点连线与水平方向夹角为，则必须有21，冲击力才能产生使易拉罐绕另一侧底边转动的力矩。若2，则冲击力对另一侧底边的力矩的方向均与易拉罐重力相同，无论冲击力有多大都不能击翻易拉罐。为能击翻易拉罐，篮球的最低点距离地面最大为cm1 .1065218sin1818(122在距离三米以外击中易拉罐这么小的范围非常

11、困难。如果角度不对， 力量再大也不能击翻易拉罐。所以很难中这个奖。（2） 假设掷出的篮球都能碰到易拉罐，中奖的几率有多大？粗略地计算，篮球能击翻易拉罐其最低点离地面最大为10.1cm，而篮球能碰到易拉罐其最低点离地面最大为36cm ，假设只有正碰时才能击翻易拉罐，则每次机会都要击翻地面上的一个易拉罐。于是中奖的几率为%2. 2022. 0361.10361.10361.10可见中奖的几率非常低。（3） 为了中奖应采取什么措施？只要击翻了地面上的三个易拉罐，垒在其上的另外三个也将翻倒。 故每次机会都应瞄准地面上的易拉罐，投掷的角度不能太大，这样才能提高中奖的可能性。八、四人追车平直轨道上有一节质

12、量m=20m 的车厢，速度为 v0，车厢与铁轨间摩擦可以忽略。有 4 个人列队前行，前两个人质量同为m，第 3 个人质量为 m3，第 4 个人质量为 m4。当前两个人发现车厢后， 以速度 2v0追上车厢并且登上去坐下。 第 3 个人发现较晚，但是也以2.2 v0的速度追上登上去坐下。第4 个人发现最晚，但最后还是以 1.15 v0速度追上去刚好登上了车厢。根据以上条件，回答下下列问题：（1） 本问题与力学中的什么内容有关系？（2） m3，m4与 m 有没有关系？如果有关系，请找出它们与m 的关系。（3） 如果其它条件不变，第4 个人的质量 m4增加，登上车厢后坐下，对车厢的速度影响有多大？答案

13、：（1）动量守衡。（2）假设第 3 个人登上去坐下后，车厢的速度为u，根据动量守衡：030032 .24)2(vmmvmvummm得3030222.224mmvmmvu又015.1vu由上面两式得：mm24.13m4与 m 没有关系。（3）假设第 4 个人登上去坐下后，车厢的速度仍然为015.1vv，所以如果其他条件不变他的质量对速度没有变化。v0m m m m3m4 九、魔术表演利用一无底的薄壁圆桶（设半径r） ，再找两个乒乓球，如果满足2r2rr就可以进行魔术表演了： 把两乒乓球如图所示放在圆桶内，那么有时候圆桶会翻倒，有时候不会翻倒。问：1、为什么要满足 2r2rr 2、假设圆桶重 q，

14、球重 p，圆桶不翻倒需要满足什么条件？3、要使得圆桶有时候翻倒，有时候不翻倒，这里面有什么“ 机关” ？解答：1、2r2r，保证球可以放入桶内。2rr，保证两球重心不在一水平线，从而产生翻倒力矩。2、qpnancnbp整体受力如图，在临界翻倒的情况下，应有na=0，对 b 取矩，有qr+p（2r-r）+pr=nc(2r-r)取两球为研究对象，可得nc=2p 联立求解，可得：p=qr/2（r-r）故要使得圆桶不翻倒，必须满足p r/2 （r-r） ,空心乒乓球的重量p1 r/2 （r-r） 。十、绊马索古代战争中， 绊马索常用于拦截敌方的骑兵队伍。下图为一隐蔽在树林中的绳索，两端系于树根部。 当敌方的骑兵向绊马索的中部冲杀过来时，坐骑可能会被绊倒。若设绳索的弹性模量为e ，强度极限为b，系于两树之间的长度为l ，横截面积为 a。试问：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）绳子中部的变形量与冲击力 f 的关系？（3）若绳索的初始张力为0f，坐骑与士兵的总质量为m。