量子力学_91谐振子的Schrdinger因式分解法

1、第第 9 9 章章v v 力学量本征值力学量本征值 问题的代数解法问题的代数解法 量子体系的能量本征值问题，习惯采用分析解法，即在一定的边条件下，求解坐标表象中的微分方程.这个方法的好处是，常见势场在坐标表象中有简单和直观的表达式.历史上，谐振子和氢原子，很早就用代数方法求出了能量本征值. 下面9.1节给出谐振子能量本征值的一种代数解法，9.2节讲述角动量的代数表示，9.3节讨论两个角动量合成的本征值和本征态为问题.一维谐振子的哈密顿量为一维谐振子的哈密顿量为221122x2Hp在自然单位制下在自然单位制下1为为221122xHp而基本对易式为而基本对易式为,ixp（1）（2）（3）它们的对易

2、式是定义两个算符定义两个算符11i,i22axpaxp1 ,i ,i21 , i i , 21( i) ii ( i)21a axp xpxpp x （4）（5）反变换是反变换是1()2x，aai()2paa(6)利用式（利用式（6 6）和（）和（5 5），可将哈密顿量表示为），可将哈密顿量表示为(7)11()()22Ha aN其中其中+Na aN(8)在任何量子态下在任何量子态下,N+a aaa0(9)所以所以N为正定厄米算符为正定厄米算符.下面证明它的本征值是下面证明它的本征值是整数整数0,1,2,3n ，(11)因此，谐振子的能量本征值是因此，谐振子的能量本征值是n1/2,0,1,2,E

3、nn(10) 证明：设n为N的本征态nn nN利用式（5）和（8），易得, , , , +N aa a aa a aaN aa a aaa aa（12）但, nn N aa因此, nnnnn nnnnN aNaaNNaaNaa（13）由此可得(1)nnnNaaa nN（14）这说明也是的本征态，相应的本征值为(1)n如此类推，逐次用a运算，可得到N的一系列本征态,nnn2aa相应的本征值依次为,1,2,nnn考虑到N0n为正定厄米算子，其本征值必为非负实数.设它的最小本征值为，本征态为0n，则0n0a（15）因此0nnnn n+00000Na a（16）这个态是谐振子的最低能态，记为0利用式（

4、13）的前一式，可证明(1)nnnNaa（17）这说明n+a也是N的本证态，本征值是(1)n联合式（16）与(17)，从基态0出发，逐次用 a运算，可得到N的全部本征态：+20 ,0 ,0 ,.aaN本征值为H本征值为0,1,2,.1/2,3/2,5/2,（18）所以，a称为升算符，而a称为降算符.利用归纳法可以证明，N的归一化本征态可表为10!nnan（20）满足(1/2)nnnHnnn n（19）（21）利用式（19），可以证明11 ,1nnnnn naa（22）再借助于式（6），可求出x和p的矩阵元（加上单位）111111212n nn nn nn nn nn nxnnipnn（23）下

5、面讨论能量本征态在坐标表象中的表示式.先考虑基态0，它满足00a即() 00 xip（24）在坐标表象中基态波函数0( )0 xx满足0d( )0dxxx（25）解出得20( )exp(/ 2)xx添上自然单位，可得到坐标表象中的归一化基态波函数1/420( )exp2xx（26）坐标表象中的激发态波函数可表示为1( )0!nnxx nxna（27）添上长度自然单位1/，升算符为11 dd2xxa所以1/422211 d( )exp/2d!nnxxxxn（28）量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) ) 在在3.3.2节中，讨论了轨道角动量的性质节中，讨论了轨道角

6、动量的性质.在第在第8章中章中讲述了自旋以及自旋与轨道角动量耦合成的总角动量讲述了自旋以及自旋与轨道角动量耦合成的总角动量. 本节将更一般地讨论角动量的本征和本征态问题本节将更一般地讨论角动量的本征和本征态问题.假设算符假设算符,xyzjjj满足下列对易式满足下列对易式： ,i, ,i, ,ixyzyzxzxyjjjjjjjjj（1）则则以,xyzjjj作为三个分量的矢量算符作为三个分量的矢量算符j，称为角动称为角动量算符量算符. 以下根据式（以下根据式（1）和角动量算符的厄米性来求出角）和角动量算符的厄米性来求出角动量的本征值和本征态动量的本征值和本征态.量子力学教程量子力学教程量子力学教程

7、量子力学教程( (第二版第二版) )定义定义2222xyzjjjj（2）容易证明容易证明2 , 0, ,jx y zj（3）角动量的对易关系式还有以下表示，首先定义角动量的对易关系式还有以下表示，首先定义ixyjjj（4）其逆表示式为其逆表示式为1122xyjjj, jjji（5）量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )那么就有那么就有zj , jj（6）2zj , jj jj jj （7）zj , jj j + j j- j 222 j（8）zzjj22j jj（9）由由于于和和对易，可以求它们的共同本征态对易，可以求它们的共同本征态,zmmjmmm 2j（1

8、0）量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )以下分几步进行以下分几步进行.对对易式对对易式,0j 2j取矩阵元取矩阵元0mjjm22jj计算得到计算得到0m jm即矩阵元对于总角动量是对角的即矩阵元对于总角动量是对角的m jmm jm （11）（a）（b）对对易式对对易式z, j jj取矩阵元取矩阵元量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )得到得到zzmjjmmm jjj利用式（利用式（10），计算得到），计算得到(1)mmmmmmjj所以所以1m mmmmm 1jj（12）（c）对对易式对对易式2zj , jj取对角矩阵元取对角

9、矩阵元量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )2zm j jj jmm j m由矩阵元选择规则由矩阵元选择规则（12），只有以下矩阵元有贡献只有以下矩阵元有贡献：11112m jmmjmm jmmjmm得到得到再利用再利用j = j，可知11mjmm jm令令11mmjmm jm（13）可得可得22112m jmm+jmm量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )上式化为上式化为2212mmm此式有解此式有解2C(1)0mm m+由此可见磁量子数有上界由此可见磁量子数有上界m和下界和下界，满足满足m（14）0,0jmjm由此得到由此

10、得到110,10mmmjmmjm量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )所以所以210mCm m计算得到计算得到mm 只相差整数，上界和下界也相差整数只相差整数，上界和下界也相差整数2111 10mCmm 由于相邻由于相邻m22mmmj所以所以1/2,3/2,5/2,()0,1,2,j半奇数（自然数）（15）量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )而而C(1)(1)m m+j j2C(1)(1)(1)()(1)mm m+j jm m+jmjm（16）（d）求）求2()zj，j的本征值的本征值.按式（按式（8），有），有2212zj

11、j jj jj等式两边取平均值等式两边取平均值2212zmmm jmm j jj jmj（17）利用式（利用式（10）和（）和（12），得），得量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )222mm 112m再利用式（再利用式（16），可求出），可求出21(1)()()(1)(1)2mjmjmjmjmj j这样角动量本征态写为这样角动量本征态写为(19)（18）按上面分析按上面分析(1)(1)(1)m mm mj j所以所以,1,1,mj jjj量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )(1),zjmj jjmjjmm jm2j1exp

12、(i ) ()(1)jmjjmjmjm（d）1()(1)1()(1)jmjjmjmjmjmjjmjmjm(21)(22),xyjjj的矩阵元的矩阵元.利用式（利用式（11）、（）、（13）和（和（16），可得出），可得出其中其中是任意正实数，习惯上取为零，这时矩阵元是任意正实数，习惯上取为零，这时矩阵元为实数为实数(20)量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )再利用式（5）可求出xj及yj的矩阵元如下：11()(1)211()(1)2i1()(1)2i1()(1)2xxyyjmjjmjmjmjmjjmjmjmjmjjmjmjmjmjjmjmjm （23）量子力

13、学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) ) 在第在第8 8章中讨论过自旋与轨道角动量的耦合，章中讨论过自旋与轨道角动量的耦合， 以及两个电子的自旋耦合以及两个电子的自旋耦合.下面普遍讨论两个角动下面普遍讨论两个角动量的耦合量的耦合. 设设1j与与2j分别表示第一和第二粒子的角动量，即分别表示第一和第二粒子的角动量，即111222,i,i,jjjjjjx,y,z （1）量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )由于它们分别对不同的粒子的态矢运算，彼此是对由于它们分别对不同的粒子的态矢运算，彼此是对易的易的12,0,jjx,y,z （2）定义两

14、个角动量之和定义两个角动量之和12jjj（3）利用对易式（利用对易式（1）和（）和（2），不难证明），不难证明,ijjj（4）或表示成或表示成ijjj量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )设设11(,)zj2j的共同本征态为的共同本征态为11j m11111111111(1)j mj mzj mj mjjjm112j（5a）类似类似，222(,)zjj的共同本征态为的共同本征态为22j m222222222(1)j mj mzj mj mjjjm22222j（5b）对于两个粒子组成的体系，它的任何一个角动量态对于两个粒子组成的体系，它的任何一个角动量态可以用可

15、以用1122(1)(2)j mj m展开展开.换言之，换言之，21122(,)zzjjj2j可作为可作为体系的对易力学量完全集体系的对易力学量完全集，1122(1)(2)j mj m是它们的共同是它们的共同本征态本征态，量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )以之为基矢的表象，称为非耦合表象以之为基矢的表象，称为非耦合表象.在给定在给定1j和和2j的情况下的情况下，1111122222,1,1,1,1,mj jjjmjjjj （6）所以所以1122(1)(2)j mj m共有共有12(21)(21)jj个，即它们张开个，即它们张开12(21)(21)jj维子空间

16、维子空间.考虑到考虑到2212122,0,0,0,0,jjjjjx,y,z jj,j,（7）量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )22212(,)zjjjj也是两粒子体系的一组对易力学量完全也是两粒子体系的一组对易力学量完全集，共同本征态记为集，共同本征态记为1 2(1,2)j j jm，以其为基矢的表象称为以其为基矢的表象称为耦合表象，即耦合表象，即1 21 21 21 21 21 21 21 211122222(1)(1)(1)j j jmj j jmj j jmj j jmj j jmj j jmzj j jmj j jmjjjjj jjm2jjj（8）

17、在给定在给定2j1j和的子空间中，耦合表象基矢可以简记为的子空间中，耦合表象基矢可以简记为(1,2)jm量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )试问试问j可以取哪些值？耦合表象和非耦合表象基矢可以取哪些值？耦合表象和非耦合表象基矢之间的关系如何？令之间的关系如何？令1122121122,(1,2)(1)(2)jmj mj mm mj m j mjm（9） 展开系数称为展开系数称为Clebsch-Gordan(CG)系数，即子空间中系数，即子空间中耦合表象和非耦合表象基矢之间幺正变换矩阵的矩阵元耦合表象和非耦合表象基矢之间幺正变换矩阵的矩阵元.考虑到考虑到12zz

18、zjjj，对式（对式（9）运算，得）运算，得112212121122,(1,2)()(1)(2)jmj mj mm mmmmj m j mjm（10）即即112212121122,()(1)(2)0j mj mm mmmmj m j mjm量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) ) 在自旋表象子空间中，非耦合表象基矢是彼此独立的在自旋表象子空间中，非耦合表象基矢是彼此独立的（完完备的）正交归一矢，式（备的）正交归一矢，式（10）右边的所有系数必须为零，即）右边的所有系数必须为零，即 121122()0mmmj m j mjm（11）所以所以12mmm，式（式（9）

19、可改写为）可改写为112111121(1,2)(1)(2)jmj mj m mmj m j mmjm（12） 我们知道，任何表象的基矢都有相位不确定性，但如取我们知道，任何表象的基矢都有相位不确定性，但如取适当的相位规定，就可以使适当的相位规定，就可以使CG系数为实数系数为实数.在此情况下，用在此情况下，用式（式（12）代入正交归一性关系）代入正交归一性关系(,)j mjmj jm m量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )对于对于mm给出给出111111212111211121(,)(,)m mj mj mj m mj m mj jj mj mmj mj m

20、j mmjm即即111 2111 21j jmj m j mmj mj m j mmjm（13）习惯上取习惯上取CG系数为实，因此式（系数为实，因此式（9）之逆可表示为）之逆可表示为1122112212(1)(2)(1,2),j mj mjmjmj m j mjmmmm（14）代入正交归一性关系代入正交归一性关系112211221122(,)j mj mj mj mm mm m量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )得得112211221122 (,)jmj mm mm mjj m mj m j mjmj mj mj m对对22mm,得得1111211121m

21、mjmj m j mmjmj mj mmjm（15）式（式（13）和（）和（15）就是）就是CG系数幺正性和实数性的反映系数幺正性和实数性的反映.的取值范围的取值范围.j给定给定1j和和2j1111122222,1,1,1,1,mjjjjmjjjj量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )即即1max12max2(),()mjmj，所以max12max12( )()mmmjj按角动量性质，可知按角动量性质，可知max12( ) jjj试问，试问，j还可以取还可以取哪些值？最小值取多少？哪些值？最小值取多少？12min12(21)(21)(21)jjjjjjj1j和

22、和2j的态空间，维数是的态空间，维数是12(21)(21)jj而在表象变换时而在表象变换时，空间的维数是不变的空间的维数是不变的.对于一个对于一个j值，值，m有有21j 个可个可能取值能取值.因此，从维数不变的要求，有因此，从维数不变的要求，有（16）左边求和得左边求和得12min12min12(1)(1)(21)(21)jjjjjjjj（17）我们注意到，对于给定的我们注意到，对于给定的量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )因此，如因此，如12min12,jjjjj，如如21min21,jjjjj总之，总之，min12jjj所以所以j取值范围如下：取值范围如

23、下：121212,1,.,jjjjjjj（18）此结果可概括为三角形法则此结果可概括为三角形法则12()j j j 按式（按式（11）和（）和（18），概括起来，），概括起来，CG系数有下列两个基系数有下列两个基本性质本性质：（a） 仅当仅当12mmm时，1122j m j mjm才不等于零才不等于零.（b）仅当）仅当1212jjjjj时，1122j m j mjm才不等于零才不等于零.（19） 应当提到，角动量非耦合表象和耦合表象之间的幺正变换应当提到，角动量非耦合表象和耦合表象之间的幺正变换有一个相位不定性，通常采用的相位规定是：让有一个相位不定性，通常采用的相位规定是：让量子力学教程量子

24、力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )（a）CG系数为实；系数为实；（b）1 121j j j jjjj为非负实数为非负实数.（20）量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )Racah利用代数方法推导出了CG系数的普遍公式312112233123231312,31231/2iiiii 1,2,312311122312321()!()!()!(21)(1)!()!()!( 1)!()!()!()!()!()!m mmj m j mj mjjjjjjjjjjjjjjmjmjjj