借分类讨论管窥高等数学美

1、借分类讨论管窥高等数学美摘要分类讨论是数学中一种非常重要的思想，本文借用 分类讨论这一工具，让学生感受高等数学的严密性和巧妙 性，见识高等数学的美。从而激发学生的学习热情，产生对 数学的兴趣。关键词 分类讨论 数学思想高等数学中图分类号：g424文献标识码：aby the tube of classification to glimpse the beauty of higher mothematicsabstract classification discussion is a kind of important mathematics thought , this paper use cl

2、assification discuss the tools, let the students feel the higher mathematics the leakproofness and clever sex, see the beauty of higher mathematics. to stimulate students' learning enthusiasm , have interest in mathematics.key words classification； mathematical thought； higher mathematics分类讨论是数学

3、中一种非常重要的思想，它是指在解 决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准 将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小 问题一一加以解决，从而使问题得到解决。分类讨论的实质, 是将整体问题化为部分问题来解决，以增加题设条件。分类 讨论的原则是不重复、不遗漏。讨论的方法是逐类进行，还 必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整。目前关于 分类讨论在初等数学中的应用的文章比较多，而它在高等数 学中应用的研究却微乎其微。而高等数学作为理工类、管理 性院校一门重要的基础学科，素以高度的抽象性和严密的逻 辑性而使学生忘却止步。本文借用分类讨论这一工具，让学 生感受高等数学的严密性和

4、巧妙性，见识高等数学的美。从 而激发学生的学习热情，产生对数学的兴趣。1借分类讨论的管，窥有限与无限之美高等数学（上册）在讲解“无穷小的运算性质” 时，有一个定理为：有限个无穷小的代数和仍是无穷小。补 充说明了无限多个无穷小的代数和未必是无穷小，并举例予 以说明。但在讲解另一个定理：有界函数与无穷小的乘积是 无穷小的推论：有限个无穷小的乘积是无穷小时。但对于无 限个无穷小的乘积的结果，却没有涉及。无限多个无穷小的 结果是什么呢？不由引起了学生的反问，也激起了笔者的思 考。事实上，无限多个无穷小的结果是未定型，下面以结果 为无穷大的例子来佐证。例：设函数当->0时，是无限多个无穷小量，但是

5、对 于任意的>0,都不收敛（实际趋于无穷大），事实上，如 果设0<<1,则存在正整数22,使<w,于是，对于任意 正整数2,有，所以=三，因此，对于任意>0,取，则当> 时，有。这就说明，对于任意的0<<1,当时，趋于 无穷大。2借分类讨论的管，窥正负无穷之美在讲解高等数学'两个重要极限”时，有一个重要的极 限为，而在证明函数极限时，一般的证明思路如下：先考虑取正整数，且的情形。设二，下证数列单调 增加且有界=1 + 1 + + +=1 + 1 + + + + + 得(=1, 2, 3)即为单调增加数列。再证有界，因1 + 1 + + +

6、 + <1 + 1 + + + + <3由单调有界数列必有极限知，再利用夹逼准则得出， 对于一般的实数，有，而一些资料就直接下了的结论。事实 上，前者自变量的取值趋向是+,而后者自变量的取值趋向 是。从数学的严密性出发，这两者不能等价，应按照分类讨 论不重不漏的原则，要作一补充证明。令，则有。所以，得证。3借分类讨论的管，窥微分与积分之美高等数学(下册)在讲解“無级数”时，其中涉 及计算幕级数的和函数时，有的学生不知是从。事实上，利 用分类讨论这一工具，根据和函数的特征，就很容易理解掌 握。定理：设無级数的收敛半径为，则(1) 無级数的和函数在其收敛域上连续；(2) 幕级数的和函数

7、在其收敛域上可积，并且在上有 逐项积分公式=,且逐项积分后得到的幕级数和原函数 有相同的收敛半径；(3) 無级数的和函数在其收敛域上可导，并且在上有 逐项求导公式且逐项求导后得到的幕级数和原函数有 相同的收敛半径；例：求下列幕级数的和函数：(1) (2)解：(1)先求收敛域，得(-1, 1,再设和函数为，则 有二二 1 + =由积分公式=，得=+=因题设级数在时收敛，所以二(-lxwl)(2)先求收敛域，得(,1),再设和函数为，则有= 在上式两端求导，得所求和函数二登山必有径，涉川必有津。在我们日常教学过程中，只 有不断总结、不断思考，将书本上的知识排列重组，形成一 种新的知识框架，一方面有利于自身对知识的掌握、理解和 应用，另一方面也有利于学生对知识的认识，对知识的渴望， 激发学生的学习热情，从而产生对知识的渴求。注释 张志淼.数学学习与数学思想方法m.郑州：郑州大 学出版社，2008. 吴赣昌高等数学上册（理工类第四版）m.北京： 中国人民大学出版社，2011. 罗桂銮关于无