第13章动量矩定理

1、理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理3.重为 的小车停在光滑的轨道上，重为 的人站在车上。某瞬时人在车上以相对速度 行走，求此时小车的速度 的大小。NP10001NP6002smu/5 . 0vxvu思考题理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理第一节第一节 动量矩动量矩第二节第二节 动量矩定理动量矩定理刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程第四节第四节 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量第三节第三节 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程第五节第五节 质点系相对于质心的动量矩定

2、理质点系相对于质心的动量矩定理理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理动量定理：动量定理：质点、质点系动量的改变质点、质点系动量的改变外力（外力系主矢）外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量，则其动量恒等于零，质心无运动，可是质点系确受外力的作用。恒等于零，质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。之矩两者之间的关系。质心的运动

3、质心的运动外力（外力系主矢）外力（外力系主矢）质心运动定理质心运动定理：理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 第一节第一节 动动 量量 矩矩质点对点质点对点O的动量矩：的动量矩： 矢量vmrvmMO)(OABvmMO 2)(2)(BOAvmMz正负号规定与力对轴矩的规定相同正负号规定与力对轴矩的规定相同:对着轴看：对着轴看： 顺时针为负顺时针为负逆时针为正逆时针为正1 1质点的动量矩质点的动量矩)()(xyOzvmMvmM质点对轴质点对轴 z 的动量矩：的动量矩： 代数量质点对轴质点对轴 z 的动量矩：的动量矩： 代数量理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章

4、第十三章 动量矩定理动量矩定理质点对点质点对点O的动量矩与对轴的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系的动量矩之间的关系：质系对轴质系对轴z 动量矩动量矩：iiiiiOOvmrvmL)(M zOiizzLvmML )(动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴轴)转动的强弱。转动的强弱。2 2质点系的动量矩质点系的动量矩质系对点质系对点O动量矩动量矩:理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理ziiiizzJrmvmML2)(1)平动刚体平动刚体CCCOOvmrvmML)()(CCCiiiiivmrvrmvmr)(CzzvmML 平动刚体对固定

5、点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。该点（轴）的动量矩。定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。角速度的乘积。3. 刚体动量矩计算刚体动量矩计算：(2) 定轴转动刚体定轴转动刚体理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质

6、心轴作转动时的动量矩之和。心轴作转动时的动量矩之和。CCzzJvmML)(3) 平面运动刚体平面运动刚体滑轮滑轮A：m1，R1，R1=2R2，I1滑轮滑轮B：m2，R2，I2 ；物体物体C：m3, v3绳与滑轮间不打滑绳与滑轮间不打滑求系统对求系统对O轴的动量矩。轴的动量矩。例例131理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理11222321RRvv3232222221)(vRmmRIRILOOCOBOAOLLLL 2332222211)(RvmRvmII【解解】理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理（一）质点的动量矩定理（一）质点的

7、动量矩定理第二节第二节 动量矩定理动量矩定理动量矩对时间的导数可写成：vmdtrddtvmdrvmrdtd)()( 0vmvvmdtrd而Fdtvmd)(两边叉乘矢径 , 有Frdtvmdr)(r )(FMFrO理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理)()( , )(FMvmMdtdFrvmrdtdOO 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定质点对固定点的动量矩定理。理。故：将上式在通过固定点将上式在通过固定点O的三个直角坐

8、标轴上投影，得的三个直角坐标轴上投影，得)()( ),()( ),()(FMvmMdtdFMvmMdtdFMvmMdtdzzyyxx 上式称上式称质点对固定轴的动量矩定理质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。等于作用在质点上的力对同一轴之矩。理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理称为质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒。若)0)( 0)(FMFMzO则)( vmMO常矢量)(常量vmMz2)(mllm

9、lvmMO运动分析： 。OMlv , sin)()()(mglgmMTMFMOOO将小球视为质点。受力分析、受力图如图示。单摆已知单摆已知m，l，t =0时时 = 0，从静止开始释，从静止开始释放。放。 求单摆的运动规律。求单摆的运动规律。例例132【解】理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理由动量矩定理由动量矩定理即即)()(FMvmMdtdOO0sin , sin)(2lgmglmldtd 微幅摆动时，并令，则微幅摆动时，并令，则 , sinlgn202n 解微分方程解微分方程,并代入初始条件并代入初始条件 则运动方程则运动方程)0, 0(00ttlgcos

10、0，摆动周期，摆动周期glT2注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）针转向为正）质点动量矩定理的应用：质点动量矩定理的应用：（1）在质点受有心力的作用时。）在质点受有心力的作用时。（2）质点绕某心（轴）转动的问题。）质点绕某心（轴）转动的问题。理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）

11、。（二）质点系的动量矩定理（二）质点系的动量矩定理左边交换求和与导数运算的顺序，而左边交换求和与导数运算的顺序，而则,0)( ),()(iiOiiOOFMvmML)()()(eOeiOOMFMdtLd一一质点系对固定点的动量矩定理质点系对固定点的动量矩定理), 3 , 2 , 1( )()()()()(niFMFMvmMdtdeiOiiOiiO 对质点系，有：对质点系，有：), 3 , 2 , 1( )()()()()(niFMFMvmMdtdeiOiiOiiO 对质点对质点Mi ：将上式在通过固定点将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得的三个直角坐标轴上投影，得理论力学电子教程理论力

12、学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 上式称为上式称为质点系对固定轴的动量矩定理质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 质点系的动量矩守恒质点系的动量矩守恒（1）当时，常矢量。）当时，常矢量。（2）当时，常量。）当时，常量。0)(eOM0)(ezMOLzL 定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变

13、质点系的动量矩。变质点系的动量矩。)()()()()()()( ,)( ,)(ezeizzeyeiyyexeixxMFMdtdLMFMdtdLMFMdtdL理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理取整个系统为研究对象，取整个系统为研究对象，受力分析如图示。受力分析如图示。运动分析：运动分析： v = rPPrPrPMBABAeO)()(OBAOIrvgPrvgPL)2( , 2122PPPgrLrgPIBAOO得代入将由动量矩定理：由动量矩定理：rPPPPPgrdtdBABA)()2(22/PPPPPrgdtdBABA例例133【解解】已知已知: 。求。 ; ;

14、rPPPBA理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 系统的动量矩守恒。系统的动量矩守恒。 , 0)()(eOFmrvvmrvmABAA)(02vvA猴猴A与猴与猴B向上的绝对速度是一样的向上的绝对速度是一样的,均为均为 。2v已知：猴子已知：猴子A重重=猴子猴子B重，猴重，猴B以相对绳速度以相对绳速度v上爬，上爬，猴猴A不动，问当猴不动，问当猴B向上爬时，猴向上爬时，猴A将如何动？动的将如何动？动的速度多大？（轮重不计）速度多大？（轮重不计）例例134【解解】理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理第三节第三节 刚体绕定轴的转动微分

15、方程刚体绕定轴的转动微分方程代入质点系动量矩定理，有zzJL )()(ezzMJdtd刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程解决两类问题解决两类问题：（1）已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。（2）已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。对于一个定轴转动刚体一个定轴转动刚体)(22)( ezzezzMdtdJMJ或理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理特殊情况特殊情况：（1） 若 ,则恒量，刚体作匀速转 动或保持静止。（2） 若 常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。 将 与 比较，刚体的转动惯量 是

16、刚 体转动惯性的度量。0)()()(ezezFmM, 0)(ezM)(ezzMJFam zJ)(22)( ezzezzMdtdJMJ或理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理第四节第四节 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量若刚体的质量是连续分布，则2iizrmJdmrJmz2 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kgm2 。定义刚体对Z轴的转动惯量为理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理例例135 匀质细直杆长为l ,质量为m 。 求：（求：（

17、1）对z轴的转动惯量； （2）对z 轴的转动惯量 。1转动惯量的计算转动惯量的计算2201 3lzmJxdxmll解解：（）积分法）积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理匀质圆环半径R，质量为m ，其对中心轴z的转动惯量为:222mRmRRmJiiz匀质圆板半径R，质量为m ，其对中心轴z的转动惯量:22RmdrrmAAiii 2222142d2mRJRrrJoARoAo或 任取一圆环，则理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而

18、材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。z由所定义的长度 称为刚体对 z 轴的回转半径。mJzz2zzmJ（2） 回转半径回转半径理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。2mdJJzCz 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。乘积。（3）平行移轴定理）平行移轴定理刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。理论力学

19、电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理（4）计算转动惯量的组合法）计算转动惯量的组合法当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。222221)(2131RlmRmlm)423(213122221lRlRmlm【解解】例例136 钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 JO 。（5）实验法（复摆）实验法（复摆）理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理例例137（1）如图（a）所示，刚体由均质圆

20、环与直杆焊接而 成，两者的质量均为m ，则Jo 等于多少？（2）如图（b）所示，圆盘质量为 M，绳子无重且不可伸长，与圆盘之间无相对滑动，物块A、B质量均为m 。则系统对O点的动量矩为多少？ORR4（a）RoAB（b）理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理【解解】 （1）圆环对 点的转动惯量为O212mRJO直杆对 点的转动惯量为O222)2()4(121RmRmJO故)416121(222221mRRmmRJJJOOO2322mRORR4（a）理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理（2）由运动状态可知； 块作平动， ； 块作平

21、动， 。ARvABRvB设 的转向为旋转正向，则三个质量块对 点的动量矩分别为O2mRRmvLAOA2mRRmvLBOB221MRJLOOO故2)22(RmMLLLLOBOAOOORoAB（b）理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理例例13-8 如图所示，一匀质圆盘刚连于匀质细杆 上，可绕 轴在水平面内转动，已知杆 长 ，质量 ， 圆盘半径 ，质量 ， 为圆盘质心。若在杆上作用一常力偶矩 ，不计摩擦，试求杆 的角加速度。 OCOOCmL3 . 0kgm101mr15. 0kgm402CmNM 20OC【解解】取整体为研究对象。设角加速度为 ，由刚体定轴转动微分方

22、程，得：MJOZ式中2222212131LmrmLmJOZCr1m2mMO理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理代入已知值得：2223 . 04015. 040213 . 01031OZJ235. 4mkg 2/6 . 435. 420sradIMOZ理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时, T 形杆具有角速度 =4rad/s。求该瞬时轴承O的反力。5 . 025. 0 mgmgJO2222121712131mlmlmlmlJO由定轴转动微

23、分方程例例139选T 字型杆为研究对象。受力分析如图示。【解】理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理根据质心运动微分方程，得OxCxCXmama21mgmgYmamaOyCyC21N 96) 5 . 04 25. 04( 8)( 2221xCxCOaamXN 3 .32 ) 5 . 075.20 25. 075.20 ( 88 . 982OY rad/s 20.75 5 . 08 . 9825. 08 . 98 5 . 08121722L1理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理（一）质点系动量矩（一）质点系动量矩)( rCCrCC

24、COLLLvmrL)()( )(eCeiCrCMFmdtLd（二）质点系相对质心的动量矩定理（二）质点系相对质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力有关，而与内力无关。质点系上的外力有关，而与内力无关。第五节第五节 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，有完全相似的

25、数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系一般并不存在这种简单的关系。理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系可以简化为该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形可以简化为该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形S，质心一定位于质心一定位于S内。内。nFFF,21 取质心取质心C为动系原点，则此平面运动可分解为为动系原点，则此平面运动可分解为（1） 随质心C的平动 (xC , yC)（2） 绕质心C的转动 （）可通过质心运动定理和相对质心的动量矩定理来确定。（

26、三）刚体平面运动微分方程（三）刚体平面运动微分方程理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理写成投影形式投影形式)( , , )( eCCyCxCFmJYmaXma或)( , , )(eCCCCFmJYymXxm 上式称为刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程。 CCrCCrCJJdtdLJL , )( , )(eCCCFmJFam理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理例例13-10 质量为m半径为R的均质圆轮置放于倾角为的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为f、f，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。解

27、解：取轮为研究体。受力分析如图示。 运动分析：取直角坐标系 Oxy aC y =0，aC x =aC， 一般情况下轮作平面运动。 根据平面运动微分方程，有FmgmaC sinNmg cos 0FRJC 由式得 cosmgN ，两式中含有三个未知数aC 、F、 ，需补充附加条件。理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理1设接触面绝对光滑。因为轮由静止开始运动，故0，轮沿斜面平动下滑。常量。 , 0 ,sin , 0gaFC sin31 ; sin32 ,sin32mgFgRgaC2设接触面足够粗糙。轮作纯滚动，所以可解得,RaC故轮作纯滚动的条件： cossin31

28、maxfmgfNFmgF tg31fFmgmaC sinNmg cos 0FRJC cosmgN 运动微分方程：理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理表明：当时，轮作纯滚动； 当时，轮又滚又滑； 当 f =0 时，轮沿斜面平动下滑。 tg31f tg31f3设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。F=fN，可解得FmgmaC sinNmg cos 0FRJC cosmgN 运动微分方程：理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 1. 基本量计算基本量计算 （动量（动量,动量矩）动量矩）思考与讨论思考与讨论 mLmvpC61)6(12122L

29、mmLILOO291mL223mRLO mRp mvp 221mRLC理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 2. 长为长为 L、质量为、质量为 m 的均质细杆的均质细杆OA，在铅垂面内绕，在铅垂面内绕 O轴转动，杆对质心轴转动，杆对质心 C 的转动惯量为的转动惯量为 J，图示瞬时，图示瞬时 角速度为角速度为 ，质心，质心 C 的速度为的速度为 vC 。求：（。求：（1）杆）杆 的动量；（的动量；（2）杆对）杆对O的动量矩。的动量矩。ACOvC理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 3. 如图所示，摆由均质细杆如图所示，摆由均质细

30、杆OA和均质圆盘组成，杆和均质圆盘组成，杆 质量为质量为m1，长为，长为L，圆盘质量为，圆盘质量为m2，半径为，半径为r。 （1）求摆对于轴）求摆对于轴O的转动惯量；（的转动惯量；（2）若图示瞬时）若图示瞬时 角速度为角速度为 ，求系统的动量、动量矩。，求系统的动量、动量矩。 O AB理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 4. 直角三角形平板直角三角形平板ABC（质量不计）以角速度（质量不计）以角速度 绕铅绕铅 垂轴垂轴Z匀速转动，沿匀速转动，沿BC边上有一质量为边上有一质量为m的质点，的质点， 以速度以速度vr在板上运动。求在图示位置时该质点对在板上运动。求在图示位置时该质点对Z 轴的动量矩。轴的动量矩。AB LC ZMvr理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理5、某质点对于某定点、某质点对于某定点 的动量矩表达式为的动量矩表达式为OktjtitLO)4()68(632式中式中 t为时间，为时间，i、j、k 为单位矢量，则此质点为单位矢量，则此质点上作用力对上作用力对 O 点的力矩大小为多少？点的力矩大小为多少？114457624ttMO答案：答案：理论力学电子教程理论力学电子